Показникові рівняння

Показникові рівняння

Показниковими рівняннями називають такі рівняння, в яких невідоме входить лише до показників степенів при сталих основах.

Розв’язування показникових рівнянь

1. Розв’язування зведенням до спільної основи

,

,

,

,

, x = ±2.

Відповідь: x1 = 2; x2 = -2.

2. Показникові рівняння, що мають показники з однаковою буквеною частиною

Очевидно, що , де C — const, .

1)  .

Винесемо за дужки спільний множник лівої частини :

,

,

,

,

.

Відповідь: 1.

2)  .

Зведемо всі степені до спільної основи 2.

,

,

,

,

,

,

,

.

Відповідь: 1,75.

3. Показникові рівняння, що зводяться до квадратних

,

.

Нехай , .

;

.   .

  ;    ;

.   .

Відповідь: ; .

4. Однорідні показникові рівняння

.

Зверніть увагу, що , , . Отже, .

Усі члени лівої частини цього рівняння мають степінь 2х, тобто рівняння однорідне. Поділимо обидві частини його на :

.

Нехай , .

;

; не задовольняє умову .

; .

Відповідь: 0.

5. Рівняння, які одночасно містять і .

.

Помножимо обидві частини рівняння на :

.

Нехай , .

;

.   .

  ;    ;

.   .

Відповідь: 2; 0.

6. Показникові рівняння, які містять обернені вирази

Зверніть увагу: в рівняннях можна зустріти вирази, добуток яких дорівнює 1, наприклад: і ; і і т. д.

.

Нехай , .

,

, отже, на y можна помножити обидві частини рівняння.

,

,

,  .

1)  , .

2)  ,

,

;  .

Відповідь: 2; -2.

7. Для розв’язування деяких рівнянь зручно використовувати монотонність показникової функції

1)  .

Очевидно, що є коренем рівняння. Функція є зростаючою, а функція — спадна. Отже, рівняння не може мати більш ніж один корінь.

Відповідь: 1.

2)  ; .

Функція є сумою двох зростаючих функцій, тобто є зростаючою на R. Права частина рівняння 1 — стала величина. Отже, рівняння не може мати більш ніж один корінь.

є коренем рівняння.

Відповідь: 2.

Розв’язування показниковостепеневих рівнянь

Показниково-степенева функція має вигляд . Її область визначення знаходимо, розглядаючи три випадки:

1)  ; — будь-яке число;

2)  ; — ціле число;

3)  ; — ціле додатне число.

Приклад

Розв’язати рівняння:

а) .

Розглянемо випадки:

1) ,  .

2) ,  .

3) ,  .

4) ; , .

Перевіркою переконуємося, що всі знайдені корені задовольняють рівняння.

Відповідь: –4; –6; –5; 2; –1.

б) .

1) , .

2) , .

3) ; , .

Перевірка

1)  , .

2)  , .

3)  , .

4)  ; не має змісту.

Відповідь: –7; –9; –1.

Приклади