Серия статей "Позиционные системы счисления"

1. Базис, алфавит, основание.

Система счисления - способ записи (изображения) чисел.

Символы, при помощи которых записывается число, называются цифрами.

Системы счисления, в которых количественный эквивалент каждой цифры зависит от ее положения (позиции) в коде(записи) числа, называютсяпозиционными.

Основанием позиционной системы счисления называется количество знаков или символов, используемых для изображения числа в данной системе счисления.

Базисом позиционной системы счисления называется последовательность чисел, каждое из которых задает количественное значение или "вес" каждого разряда.

Например: Базисы некоторых позиционных систем счисления.

Десятичная система: 10⁰, 10¹, 10², 10³, 10⁴,., 10ⁿ,.

Двоичная система: 2⁰, 2¹, 2², 2³, 2⁴,., 2ⁿ,.

Восьмеричная система: 8⁰, 8¹, 8², 8³, 8⁴,., 8ⁿ,.

Совокупность различных цифр, используемых в позиционной системе счисления для записи чисел, называется алфавитом системы счисления. Количество цифр в алфавите равно основанию системы счисления.

Например: Алфавиты некоторых позиционных систем счисления.

Десятичная система: {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}

Двоичная система: {0, 1}

Восьмеричная система: {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}

Пятнадцатеричная система: {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E}

Задания

Запишите базисы следующих систем счисления:

1. Троичная с.с.

2. Пятеричная с.с.

3. Семиричная с.с

4. Двенадцатеричная с.с.

5. Двадцатеричная с.с.

6. Тридцатишестиричная с.с.

Базисы каких позиционных систем счисления записаны:

7. 9⁰, 9¹, 9², 9³, 9⁴,., 9ⁿ,.

8. 15⁰, 15¹, 15², 15³, 15⁴,., 15ⁿ,.

9. 24⁰, 24¹, 24², 24³, 24⁴,., 24ⁿ,.

10.60⁰, 60¹, 60², 60³, 60⁴,., 60ⁿ,.

11.16⁰, 16¹, 16², 16³, 16⁴,., 16ⁿ,.

12.4⁰, 4¹, 4², 4³, 4⁴,., 4ⁿ,.

Запишите алфавиты следующих систем счисления:

13.Троичная с.с.

14.Пятеричная с.с.

15.Семиричная с.с

16.Двенадцатеричная с.с.

17.Двадцатеричная с.с.

18.Двадцатипятеричная с.с.

Алфавиты каких позиционных систем счисления записаны:

19.{0, 1, 2, 3}

20.{0, 1, 2, 3, 4, 5}

21.{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}

22.{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B}

23.{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F, G, H}

24.{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F, G, H, I, J, K, L, M, N, O}

В какой системе счисления с наименьшим основанием записаны данные числа

25.7, 1, 5, А, F

26.101, 358, 109, 24, 6D

27.2153, 7070, A19B, FF, 57241

2. Представление чисел в позиционных системах счисления.

Любое число в позиционной системе счисления можно представить в развернутой и свернутой форме. ?

Например, число 15936 в десятичной системе счисления можно записать так:

15936₁₀= 1 ? 10⁴ + 5? 10³ + 9? 10² + 3? 10¹ + 6? 10⁰, где

15936₁₀ - свернутая форма записи числа с указанием основания системы счисления,

1 ? 10⁴ + 5? 10³ + 9? 10² + 3? 10¹ + 6? 10⁰ - развернутая форма записи числа в указанной системе счисления.

Задания

Запишите в развернутой форме записи числа:

28.143511₁₀

29.457₈

30.13521₁₆

31.111₉

32.2А31₁₂

Запишите в числа с свернутой форме записи:

33.5 ? 10³ + 0? 10² + 2? 10¹ + 7? 10⁰

34.6 ? 7⁴ + 0? 7³ + 9? 7² + 0? 7¹ + 3? 10⁰

35.1 ? 12⁶ + 5? 12⁵ + 0? 12⁴ + А? 12³ + 9? 12² + С? 12¹ + 6? 10⁰

36.1 ? 3³ + 0? 3² + 2? 3¹ + 1? 3⁰

37.1 ? 2⁴ + 0? 2³ + 0? 2² + 1? 2¹ + 1? 2⁰

38.1 ? 8⁴ + 5? 8³ + 9? 8² + 3? 8¹ + 6? 8⁰

39.4 ? 5⁶ + 3? 5³ + 1? 5¹ + 2? 5⁰

40.1 ? 10⁸ + 9? 10⁶ + 9? 10² + 5? 10¹

41.1 ? 2⁸ + 1? 2⁶ + 1? 2⁴ + 1? 2² + 1? 2⁰

42.1 ? 6⁷ + 5? 6⁶ + 9? 6³ + 3? 6² + 6? 6⁰

3. Двоичная система счисления

В двоичной с.с. для записи чисел используются только две цифры: 0 и 1. Основание двоичной с.с. равно 2. Двоичное число представляет собой цепочку нулей и единиц.

3.1. Перевод целых чисел из десятичной с.с. в двоичную.

Для перевода целых чисел из десятичной системы счисления в двоичную чаще всего применяют два метода - метод разностей и метод поэтапного деления на основание системы счсления.

Метод разностей. Для перевода чисел этим методом нам понадобится таблица степеней числа 2.

Например, переведем числа 25, 48, 105, 734 в двоичную с.с при помощи таблицы:

ТЕСТ

Системы счисления - 1

1. В зависимости от способа изображения чисел системы счисления делятся на.

арабские и римские позиционные и непозиционные представление в виде ряда и в виде разрядной сетки нет правильного ответа

1. Для представления чисел в 16-ричной системе счисления используются…

цифры 0-9 и буквы A-F буквы A-Q числа от 0 до 15 первые 15 букв русского алфавита

1. В какой системе счисления может быть записано число 402?

в двоичной и восьмеричной в восьмеричной и десятичной в троичной в двоичной

1. Чему равно число DXXVII в десятичной системе счисления

247 499 1027 527

1. Когда 2*2 равно 11?

в троичной системе счисления в двоичной системе счисления в восьмеричной системе счисления в пятеричной системе счисления

1. Как записывается максимальное четырехразрядное число в двоичной системе счисления?

1000 2222 1111 9999

1. Чему равна сумма десятичных чисел 5 и 3 в двоичной системе счисления?

1000 1111 100 110

1. Как записывается десятичное число 64 в восьмеричной системе счисления

26 64 1110 100

1. Какое минимальное основание должна иметь система счисления, если в ней можно записать числа 423, 768, 563, 210

8 10 9 7

1. Чему равна сумма десятичного числа 10 и двоичного числа 10 в десятичной системе счисления

20 12 21 1010

http://cnit.ssau.ru/graph/samlit/files/fionina/

http://dpk-info.ucoz.ru/test/test_sis_schis.html