15.05.2020 р. 9 клас. Геометрія. Повторення. Декартові координати на площині. Вектори на площині

Рівняння кола

Використаємо два відомих факти і виведемо рівняння кола:

1. Усі точки кола розташовані на даній відстані (радіус) від даної точки (центр).

2. Ми маємо формулу для розрахунку відстані між двома точками, якщо знаємо координати точок AB² = (x_А − x_В)² + (y_А − y_В)².

Припустимо, що центр кола розташовується в точці C(x_С;y_С), а радіус кола дорівнює R.

Будь-яка точка P(x;y) на цьому колі розташована на відстані R від центру C, отже правильною є рівність: (x−x_С)² + (y−y_С)² = R².

Це і є рівняння кола з центром C і радіусом R. Координати всіх точок, які розташовані на колі, задовольняють це рівняння.

Якщо центр кола розташований на початку координат (0;0), то рівняння має наступний вигляд: x² + y² = R².

Якщо А(х_А; у_А), В(х_В; у_В), а точка О(х_О; у_О) - середина відрізка АВ, то координати середини відрізка обчислюються за формулами: х_О = (х_А + х_В) : 2; у_О = (у_{А +} у_В) : 2.

Рівняння прямої

Для виведення рівняння прямої проведемо цю пряму як серединний перпендикуляр деякого відрізка з даними координатами кінцевих точок відрізка. Відомо, що всі точки серединного перпендикуляра розташовані на рівних відстанях від кінців відрізка.

Координати кінців відрізка: A(x_А;y_А) і B(x_В;y_В).

Будь-яка точка P(x;y) розташовується на рівних відстанях від кінцевих точок PA = PB.

Звісно, рівні й квадрати відстаней PA² = PB², тож правильною є рівність (x−x_А)² + (y−y_А)² = (x−x_В)² + (y−y_В)², яка і є рівнянням прямої.

Після зведення виразів у дужках і зведення подібних доданків: рівняння матиме такий вигляд: ax+by+c = 0.

Розглянемо особливі прямі.

1. Пряма проходить через деяку точку на осі Ox з координатами A(x_А;0).

Для будь-якої точки на цій прямій x = x_А. Це і є рівняння прямої.

Оскільки вісь Oy проходить через початок координат, то рівнянням осі Oy є x=0.

2. Пряма проходить через деяку точку на осі Oy з координатами B(0;y_В).

Для будь-якої точки на цій прямій y = y_В, це і є рівняння прямої.

Оскільки вісь Ox проходить через початок координат, то рівнянням осі Ox є y=0.

Поняття вектора

Накреслимо якийсь відрізок AB. Один кінець A назвемо початковою точкою, а другий B — кінцевою точкою.

Напрям відрізка AB з точки A в точку B позначимо за допомогою стрілки. Отримаємо спрямований відрізок. Спрямований відрізок називається вектором.

Вектор можна позначити:

• двома великими буквами, поставивши над ними стрілочку; перша буква позначає початкову точку, друга — кінцеву точку; наприклад, AB^→ (читається: вектор AB);

• маленькою буквою зі стрілочкою над нею, наприклад, a^→ (читається: вектор a).

Якщо початкова та кінцева точки вектора збігаються, виходить нульовий вектор, який позначається як 0^→.

Будь-яку точку на площині можна вважати нульовим вектором.

Довжина відрізка AB називається довжиною, або модулем вектораAB^→ і позначається як ∣AB^→∣.

Записи |g^→ | = 1.5; ∣AB^→∣ = 3 позначають так, що довжина g^→ дорівнює 1,5 одиницям, а довжина AB^→ — 3 одиницям.

Довжина нульового вектора дорівнює нулю: І0^→ І = 0.

Величини

Величини, з якими зустрічаємося в природничих науках, бувають скалярними або векторними.

Скалярними називаються величини, що мають числове значення, але не мають напряму.

Наприклад, кількість якихось предметів, довжина, щільність.

Векторними величинами, або векторами, називаються величини, що мають і числове значення, і напрям.

Наприклад, якщо сказано, що автомобіль рухається зі швидкістю 100 км/год (тобто дано числове значення швидкості), то про його швидкість відомо не все, адже невідомо, куди і в якому напрямі він рухається.

Приклади векторних величин: швидкість, сила, переміщення.

Зверни увагу! Переміщенням рухомої точки в даний момент часу називають вектор із початком у точці початку її руху, і кінцем у точці її розташування в даний момент.

Запам'ятай відмінність між відстанню і переміщенням.

Відстань характеризується лише числовим значенням, наприклад, AB+BC+CD = 5 км.

Відстань — скалярна величина.

Переміщення — вектор AD−→−, що сполучає початкове й кінцеве положення тіла, і його довжина не дорівнює 5 км. Переміщення — векторна величина.

Наприклад, можна проїхати 5 км і повернутися назад. Переміщення ж у цьому випадку дорівнюватиме 0 і позначатиметься як нульовий вектор.

Згадаймо, що при множенні вектора на число k≠0 ми отримуємо два колінеарних (паралельних) вектори, які або співнапрямлені, якщо k>0, або протилежно напрямлені, якщо k<0.

Довжини векторів відрізняються у k разів.

Правильним є і протилежне твердження:

Якщо ненульові вектори колінеарні, то обов'язково можна знайти число k≠0 так, що b^→ = ka^→.

Для неколінеарних векторів правильним є твердження, що кожен вектор на площині можна зобразити у вигляді c^→ = ka^→ +mb^→.

Будь-який вектор, що дорівнює вектору a^→, можна перемістити і відкласти від початку координат. Отже, можемо зробити висновок:

Рівні вектори мають рівні координати.

Легко зрозуміти, що різниця між абсцисами (координатами x) кінцевої і початкової точки вектора і є абсцисою вектора, а різниця між ординатами (координатами y) кінцевої і початкової точки вектора є ординатою вектора.

Зв'язок між координатами протилежних векторів випливає з того, що якщо помножити вектор на −1, результатом буде протилежний вектор.

У протилежних векторів протилежні координати.

Важливо зрозуміти ще кілька цікавих зв'язків між координатами векторів однакової довжини.

15.05.2020 р. Скласти конспект матеріалу § 3, 4. Виконати вправу № 21.57.