Международная математическая олимпиада «Формула Единства» / «Третье тысячелетие» 2014/2015 год. Второй тур

Состоялся второй тур Международной математической олимпиады «Третье тысячелетие» / «Формула Единства» в 2014/2015 учебном году, в котором приняли участие 10 учащихся гимназии № 1 г. Ивье. Организаторы олимпиады - СПбГУ и Фонд Эйлера. 

Задачи для 5 класса

Пожалуйста, запишите не только ответы, но и их доказательства.

1. В некотором языке есть 3 гласных и 5 согласных букв. Слог может

состоять из любой гласной буквы и любой согласной в любом порядке,

а слово — из любых двух слогов. Сколько слов в этом языке?

2. Приведите пример таких целых чисел a и b, что ab(2a + b) = 2015.

3. Маша с Леной вышли из дома и пошли в магазин за мороженым. Ма-

ша шла быстрее и дошла до магазина за 12 минут. Потратив 2 минуты

на покупку мороженого, она пошла назад и встретила Лену ещё че-

рез 2 минуты. Сколько времени потребовалось Лене, чтобы дойти до

магазина? Скорости девочек постоянны.

4. Шестеро школьников решили посадить в школьном дворе 5 деревьев.

Известно, что каждое дерево сажало разное число школьников и каж-

дый школьник участвовал в посадке одинакового количества деревьев.

Могло ли так случиться?

5. В плоском мире есть два прямоугольных острова. Прибрежными во-

дами каждого острова считается часть моря, удалённая от берега не

более чем на 50 км. Может ли случиться, что площадь первого остро-

ва больше, чем второго, а площадь прибрежных вод у второго острова

больше, чем у первого? Считайте, что ближайшая к каждому острову

суша находится на расстоянии больше 50 км.

6. Аня, Галя, Даша, Соня и Лена приехали в лагерь «Формула Единства»

из разных городов: Курска, Вологды, Новороссийска, Петрозаводска

и Чебоксар. Знакомясь с другими членами отряда, они рассказали о

себе следующее. Соня и Даша никогда не были в Курске. Галя и Со-

ня были вместе в прошлом лагере с девочкой из Новороссийска. Аня

и Соня подарили девочке из Чебоксар по сувенирчику. Галя и Соня

помогли девочке из Вологды занести вещи в комнату. Галя и Лена об-

щаются по скайпу с девочкой из Чебоксар, а девочка из Новороссийска

переписывается в контакте с Аней. Кто где живёт?