Наблюдение и сравнение, обобщение и конкретизация, анализ и синтез

0бобщение является средством мысленного объединения предметов и явлений в группы на основе сходства их существенных признаков и отвлечения от признаков второстепенных, несущественных.

В процессе начального обучения математике обобщение используется при формулировке математических правил, выявлении закономерностей и др. В зависимости от содержания и целей уроков в процессе обобщения могут присутствовать сравнение, анализ или синтез, другие логические приемы и формы мышления.

В практике начального обучения математике различают эмпирическое и теоретическое обобщение. При эмпирическом обобщении вывод делается на основе сравнения нескольких конкретных случаев, когда общие признаки рассматриваемых явлений явно заметны. Например, при изучении темы "Перестановка слагаемых" сравнивая разные пары примеров вида 2+1=3 и 1+2=3, 4+5=9 и 5+4=9, мы заметим перестановку слагаемых и одинаковую сумму. На основе этих положений делаем вывод: от перестановки слагаемых сумма не изменяется.

При теоретическом обобщении проводится анализ предметов, явлений, содержания учебного материала и при этом выявляются скрытые, незаметные для глаз, общие признаки, после чего делается вывод. Рассмотрим пример: предлагается сравнить произведения каждого столбика:

100?2 100?3 100?4 100?5 100?6 100?7

10?2 10?3 10?4 10?5 10?6 10?7

1?2 1?3 1?4 1?5 1?6 1?7

и определить, как с помощью последнего произведения каждого столбика найти значение двух других произведений. Учащиеся рассуждают так: 1 единицу умножили на 2, получили 2 единицы, значит 1 десяток умножим на 2, получим 2 десятка и т.д. Сходство этих 2 примеров скрыто от учащихся, что затрудняет сделать обобщение. Запишем так, как рассуждаем при вычислении: "1 ед.?2, 1 дес.?2, 1 сот.?2" и ставим вопрос: "Чем похожи эти примеры?" Учитель должен добиться ответа: разрядные числа в пределах 1000 умножаются так же, как и однозначные числа в таблице умножения. Происходит обобщение, чему способствует реконструкция записи.

Для получения правильного обобщения индуктивным способом необходимо:

1) продумывать подбор математических объектов и последовательность вопросов для целенаправленного наблюдения и сравнения;

2) рассмотреть как можно больше частных объектов, в которых повторяется та закономерность, которую ученики должны подметить;

3) варьировать виды частных объектов, т.е. использовать предметные ситуации, схемы, таблицы, примеры, отражая в каждом виде объекта одну и ту же закономерность;

4) помогать детям словесно формулировать свои наблюдения с помощью наводящих вопросов, уточнять и корректировать те формулировки, которые они предлагают.

Рассмотрим, как можно было бы выполнить эти рекомендации при изучении темы: "Перестановка множителей".

1) Для изучения темы в тетради сделаем рисунок,где будем подсчитывать число предметов по горизонтали и вертикали, затем сформулируем правило. Далее мысленно продумываем вопросы, которые будем задавать учащимся.

2-3) Предлагаем нарисовать в одну строчку 5 кружков и написать число 5. Далее учащиеся рисуют еще две строки по 5 кружков и записывают пример на умножение без ответа: 5?3. Затем нарисуем в один столбец 3 кружка и еще 4 таких столбцов. Записываем пример 3?5 и составим равенство 5?3=3?5. Разбираем рисунки и выявляем общее свойство этих равенств: множители одинаковы, переставлены местами, значение произведения не изменилось.

4) Вместе с учащимися формулируем правило: от перестановки множителей, произведение не изменяется.

Работу с рисунками в тетради можно заменить индивидуальной работой учащихся с разными моделями на рабочем месте.

Абстрагирование - это мысленное выделение тех существенных свойств и признаков предмета или явления, которые нужны в зависимости от цели их изучения, при одновременном отвлечении от других свойств и признаков.

Рассмотрим изучение темы: "Нахождение неизвестного делимого и делителя"

Таблица 4

Аналогичным методом в начальных классах можно изучить темы: "Нахождение неизвестного слагаемого", "Нахождение неизвестного уменьшаемого и вычитаемого", "Нахождение неизвестного множителя".

Абстрагирование при решении задач способствует более глубокому пониманию смысла указанных в ней скрытых математических операций и облегчает их решение. Например, решая задачу: "В классе было 18 мальчиков и 12 девочек. Сколько всего учащихся в классе?", изобразив условно краткую запись через множества или отрезки (рис.5):

Рис. 5

мы сначала "возвращаем" их в реальную жизнь (так как они в свое время собирали игрушки, складывали палочки) и потом обратно переводим на язык математики, отвлекаясь при этом от предметов. С этой целью учитель проводит такую беседу.

- Ребята! Нарисуем условие задачи "кругами". Нарисуем мальчиков. (Рисуют первый "круг") Что это обозначает? (18 мальчиков.) Напишем внизу. (Пишут 18.) Как нарисуем девочек? (Добавим следующий "круг".) Значит, что это обозначает и как напишем? (напишем: 12 девочек.) Из двух маленьких "кругов" какой мы получили "круг"? (Большой "круг") Что он обозначает и что напишем. (Всего учащихся класса, поставим знак вопроса.) Значит, как у нас получается большой "круг"? (Объединили два маленьких "круга") Объединили, собирали и т.д. Какое математическое действие это напоминает? (Сложение). Чтобы узнать, что написать вместо знака вопроса, нам. (нужно к 18 прибавить 12). Теперь запишем решение задачи. (18+12=30 (учащихся)).

Аналогичная беседа может быть проведена и с отрезками. Здесь основной упор делается на выражение: "Большой отрезок - это "сложение" двух маленьких отрезков".

Конкретизация - это мысленный переход от более общего к менее общему, от общего к единичному. Процесс конкретизации противоположен процессам абстрагирования и обобщения.

Обучение конкретизации в учебном процессе понимается в том смысле, что учитель должен научить учащихся подтверждать общие положения математики (правила, закономерности, свойства и т.п.) конкретными примерами. Например:

Учитель: Скажите правило перестановки слагаемых и приведите пример.

Ученик: От перестановки слагаемых сумма не изменяется. Например, 2+3 равно 3+2, т.к. обе эти суммы равны 5.

В учебном процессе конкретизация связывает теоретические знания с практикой. Ее отсутствие приводит к формализму знаний, которые становятся оторванными от реальной жизни. Если в начальных классах это не так заметно, то в более старших классах это проявляется как одна из причин низкого уровня математических знаний.

Итак, обобщение, абстрагирование и конкретизация - логические приемы, способствующие более глубокому пониманию и усвоению математических знаний. В большинстве случаев они применяются в единстве и поэтому их нельзя рассматривать изолированно друг от друга. Где преобладает один из них, там будут и другие, возможно даже в скрытой форме. Успех в развитии ученика в определенной степени зависит от правильного применения этих приемов

Ещё одна проблема, которая волнует всех учителей – это самостоятельное решение составных задач, с которыми дети начинают знакомиться уже в 1 – м классе. Ключом к их решению является анализ решения, на основе которого устанавливается зависимость между данными и искомыми значениями величин. В основном используют такие приёмы анализа задачи: - разбор от вопроса; - разбор от числовых данных. Разбор задачи от вопроса – это суждение, которое состоит в том, чтобы подобрать два числовых значения одной или разных величин таким образом, чтобы дать ответ на вопрос задачи. Одно из значений или оба могут быть неизвестными, для их нахождения подбираются два других. Так продолжается до тех пор, пока не приходим к известным числовым значениям величин. В результате разбора задачи от вопроса учащиеся устанавливают зависимость между числовыми значениями величин, «разбирают» задачу на простые задачи и составляют план ее решения. Это можно сделать и путем разбора от числовых данных. Разбор задачи от числовых данных состоит в том, что к двум числовым данным подбирается вопрос. Затем к следующим двум данным, одно из которых может быть результатом первого действия, подбирается еще один вопрос. И так до тех пор, пока не будет получен ответ на вопрос задачи. Если разбор задачи ведется от числовых данных, то он сопровождается разбором. В методической литературе разбор задачи от числовых данных называется «синтетическим методом», а разбор задачи от вопроса – «аналитическим методом». Оба метода разбора – это анализ условия задачи, поскольку они направлены на расчленение основной задачи на простые. Здесь можно выделить несколько этапов. На первом этапе необходимо: - научить детей анализировать условие составной задачи и проводить рассуждение при ее разборе от вопроса; - довести до сознания учащихся, что для ответа на вопрос задачи необходимо, чтобы в ее условии было дано не менее двух числовых данных. На втором этапе решаются задачи в два или в три действия, с полным анализом и его графической иллюстрацией. На третьем этапе, когда дети овладели полным анализом задачи от вопроса и от числовых данных, возникают условия для дальнейшего развития абстрактного мышления учащихся и повышения эффективности работы над задачей, с использованием неполного анализа при разборе задач. Для того чтобы дети смогли проанализировать задачу, надо, чтобы они понимали, о чём говорится в задаче и что надо найти. Для этого предлагается детям такое задание: «расскажите задачу», не пересказ условия задачи, а именно «расскажите задачу», например, при решении задачи: «Маша посадила 3 куста клубники, а мама на 4 куста клубники больше. Сколько кустов клубники посадила мама?» Здесь важно, чтобы дети понимали, о чём идет речь, что важное в задаче. И рассказать задачу можно так: «В задаче есть Маша и мама, они садили клубнику. Маша посадила 3 куста клубники, а ее мама посадила неизвестное количество кустов, но сказано больше на 4 куста. Нам неизвестно, сколько кустов посадила мама, но мы знаем, что она посадила на 4 куста больше, чем Маша, поэтому мы можем найти, сколько кустов посадила мама». Важно, чтобы дети поняли, какое понятие важнее «куст» или «клубника». Чаще всего дети выбирают слова «клубника», «ягоды», «игрушки», а не «кусты», «килограммы», «корзины» и т. д. Задание «расскажите задачу» помогает учителю определить, как дети поняли задачу. Ребята с удовольствием выполняют домашнее задание, когда им говорят: «Подготовьте задачу для устного счета и «нарисуйте ее», конечно, часто подключаются к такому заданию родители, но здесь преследуется важная цель: дети понимают содержание задачи и рассказывают ее своим одноклассникам. Такие задания способствуют формированию осознанных предметных математических знаний, прочных умений и навыков, а также формированию универсальных учебных действий. Задачи на уроке должны быть одновременно занимательны и доступны для учащихся, но в то же время не даваться им легко.