Нерешенные проблемы математики: гипотеза 3n+1

Гипотеза Коллатца (гипотеза 3n+1, сиракузская проблема) — одна из нерешённых проблем математики. Названа по имени немецкого математика Лотара Коллатца, сформулировавшего эту задачу 1 июля 1932 года. Проблема «3n+1», над которой бьются математики лучших университетов мира, на которую потрачены миллионы часов машинного времени, до сих пор остается нерешенной.

Для объяснения сути гипотезы рассмотрим следующую последовательность чисел, называемую сиракузской последовательностью. Берём любое натуральное число n. Если оно чётное, то делим его на 2, а если нечётное, то умножаем на 3 и прибавляем 1 (получаем 3n + 1). Над полученным числом выполняем те же самые действия, и так далее.

Гипотеза Коллатца заключается в том, что какое бы начальное число n мы ни взяли, рано или поздно мы получим единицу. Очевидно, что далее циклическим образом будут повторяться числа 4, 2, 1.

Например, для числа 3 получаем:

3 — нечётное, 3×3 + 1 = 10 10 — чётное, 10:2 = 5 5 — нечётное, 5×3 + 1 = 16 16 — чётное, 16:2 = 8 8 — чётное, 8:2 = 4 4 — чётное, 4:2 = 2 2 — чётное, 2:2 = 1 1 — нечётное, 1×3 + 1 = 4 Очевидно, что, начиная с 1, начинают циклически повторяться числа 1, 4, 2.

Последовательность, начинающаяся числом 19, приходит к единице уже за двадцать шагов:

19, 58, 29, 88, 44, 22, 11, 34, 17, 52, 26, 13, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1, …

Современная математика не в силах дать ответ на такой, казалось бы, простой вопрос. Даже недавно доказанная великая теорема Ферма – и та формулируется с использованием возведения в степень и целых четырёх переменных. А для задачи 3n+1 на сегодня достоверно известно, что последовательность приходит в единице для всех не более чем девятнадцатизначных чисел, но в общем случае это ничего не доказывает.

Данный материал можно использовать на внеурочной деятельности или для доклада на уроке 5-8 классах.