По следам Пифагора: пифагорейский пентакл и его замечательные свойства, о которых вы не знали

По следам Пифагора: пифагорейский пентакл и его замечательные свойства, о которых вы не знали

О Пифагоре (около 570 – 490 гг. до н.э.), известен как древнегреческий философ, математик и мистик. Существует много легенд о его биографии, по самой распространённой версии — родился он на острове Самос. Пифагор создал свою собственную школу. Его многочисленные ученики почитали своего учителя.

Пифагор Самосский. Источник фото: ruspekh.ru

Пифагорейский пентакл

Известно, что пифагорейский союз был одновременно философской школой, политической партией и религиозным братством. Излюбленной геометрической фигурой пифагорейцев был так называемый звёздчатый пятиугольник — пентаграмм или пифагорейская звезда, или пифагорейский пентакл.

Пентаграмм был опознавательным знаком пифагорейцев. Существует легенда, согласно которой один пифагореец заболел на чужбине и не мог перед смертью расплатиться с ухаживающим за ним хозяином дома. Хозяин дома нарисовал на стене своего дома звёздчатый пятиугольник. Увидев через несколько лет этот знак, другой странствующий пифагореец осведомился о случившемся у хозяина и щедро его вознаградил.

Пентаграмм можно получить, если продолжить стороны правильного пятиугольника до их взаимного пересечения.

Фигура эта очень интересная и обладает удивительными свойствами:

• Сумма углов пентаграмма равна двум прямым углам (см. рис.: 36 град.×5 = 180 град.) и, следовательно, напоминает нам треугольник, сумма углов которого также равна 180 град.
• Точки пересечения диагоналей в пентаграмме являются точками золотого сечения диагоналей (отношение синего отрезка к зелёному, красного к синему, зелёного к фиолетовому, равны 1.618). Интересно: здание военного ведомства США имеет форму пентаграмма — правильного пятиугольника и получило название «Пентагон».

Теорема Пифагора

Самой знаменитой теоремой Пифагора является теорема о том, что площадь квадрата, построенного на гипотенузе прямоугольного треугольника, равна сумме площадей квадратов, построенных на его катетах. В таком виде эта теорема сформулирована в Началах Евклида.

Но мы со школы помним теорему Пифагора в другой формулировке: в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов:

Справедливо и обратное утверждение: если для сторон a, b, c треугольника выполняется соотношение

то треугольник – прямоугольный, при этом a и b — катеты, c — гипотенуза.

Особенно интересны треугольники, все три стороны которых выражаются целыми числами, подчиняющимися этому пифагорейскому условию. Такие треугольники называются пифагорейскими.

Например, треугольник со сторонами 3, 4, 5

Вот ещё несколько пифагорейских треугольников:

a = 5, b = 12, c = 13

a = 15, b = 8, c = 17

a = 7, b = 24, c = 25

a = 21, b = 20, c = 29

a = 9, b = 40, c = 41

Интересно, что треугольник со сторонами 3, 4, 5 был известен уже в глубокой древности египтянам и другим народам древнего Востока. Так называемая царская комната в пирамиде Хеопса имеет размеры, особенным образом связанные с числами 3, 4, 5: диагональ всей комнаты содержит 5 тех же самых единиц, которых самая длинная стена имеет 4, а диагональ самой маленькой стены — 3 единицы.

Пифагор не открыл это свойство прямоугольного треугольника — он только первым сумел его обобщить и доказать, перевести его из области практики в область науки. В настоящее время теорема Пифагора доказана не менее 400 способами.

Сумма углов треугольника

Второй, исключительной по значению геометрической теоремой, приписываемой Пифагору, является теорема о сумме углов треугольника, равной двум прямым углам.

Плоскость вокруг точки

Считается, что Пифагор первым сформулировал положение, что плоскость вокруг точки может быть полностью заполнена лишь тремя видами правильных многоугольников: равносторонними треугольниками, квадратами и правильными шестиугольниками.

Правильные многогранники

Приписывают Пифагору и построение пяти правильных многогранников: тетраэдра (а), куба (б), октаэдра (в), додекаэдра (г) и икосаэдра (д).

Согласно представлениям современных антиковедов Пифагор не написал ни единого сочинения. Информация о жизни и учении Пифагора основана на сведениях из написанных через столетия после его смерти источников.

В созданной Пифагором школе не только превозносили мудрость своего основателя, но и приписывали ему все достижения последующих поколений. В связи с этим решить кому именно принадлежит то или иное положение, Пифагору или его последователям V — IV веков, не представляется возможным.