Работа на научной конференции учащихся по теме: "Исследование геометрических задач на вычисление"

Многие вопросы о способах решения геометрических задач на вычисление еще не получили своего окончательного решения. К их числу относится вопрос о требованиях к решению геометрических задач на вычисление. Поэтому я поставила перед собой цель: установить требования к решению геометрических задач на вычисление. Для достижения поставленной мною цели необходимо выявить общие принципы и положения, на основе которых я должна объективно выработать эти требования. Это и есть моя задача.

При решении геометрических задач на вычисление мы, как правило, не производим исследование существования фигуры, заданной в условии задачи. Мне показалось интересным узнать, возможно, ли решить такого рода задачу без ее предварительного исследования. К тому же, в ходе этого анализа можно понять необходимость его проведения и получить соответствующие навыки.

Результатом моей работы является установление следующих обязательных требований к решению геометрических задач на вычисление:

1. Если при решении используется чертеж заданной в условии задачи фигуры, то следует назвать в принятых на чертеже обозначениях все заданные в условии задачи элементы фигуры, а также заданные соотношения между ними.

2. Необходимо дать полное объяснение всех проводимых самим учеником вспомогательных построений или тех построений, которые требуются самим условием задачи (построение линейных углов заданных двугранных углов, углов наклона прямой к плоскости, проведение сечений и т.д.).

3. Необходимо определить множество допустимых значений для параметров, заданных в условии задачи и для искомых элементов путем непосредственного рассмотрения этих самых условий, чертежа и геометрических соотношений между элементами фигуры.

4. Решить задачу сначала в общем виде (с параметрами), а затем провести исследование полученной формулы, и только тогда, когда будет найдено общее решение, следует приступить к вычислениям при заданных значениях параметров (если это предусмотрено условием задачи). При этом необходимо проверить, принадлежат ли заданные значения параметров множеству их допустимых значений.

5. При нахождении отдельных пяти величин в общем решении необходимо дать пояснение из рассмотрения каких фигур и на основе каких теорем, записана та или иная зависимость между данными и искомыми величинами общеизвестной зависимости, в частности, зависимости между сторонами и углами треугольника, применяется без особых пояснений.

6. Полученную общую формулу следует, если только это целесообразно, привести к виду, удобному логарифмированию.

7. После решения задачи в общем виде следует проверить, принадлежит ли значение искомой величины множеству ее допустимых значений при всех допустимых значениях параметров.

8. Если допустимые значения для параметров, полученные при исследовании формулы, находятся в более узких границах, чем полученные в первоначальном геометрическом исследовании (в пункте 3), то необходимо провести дополнительное рассмотрение геометрических соотношений данной фигуры с целью установления соответствия границ.

9. После вычисления значения искомой величины при заданных значениях параметров следует выписать ответ на вопрос задачи как в общем виде (в идее формулы) с указанием множества допустимых значений для параметров, так и числовой ответ (значений искомой величины) с указанием того, при каких значениях параметров он найден.

При выполнении данной работы я пришла к выводу, что решить задачу на вычисление – значит не только установить определенную функциональную зависимость (обычно в виде некоторой формулы) между данными и искомыми величинами, но и прежде всего, провести исследование на существование геометрической фигуры, являющейся неотъемлемой частью самого решения. Если такого исследования не проводить, то можно прийти к абсурду: вычислять объемы и поверхности несуществующих тел.