№ 125-126. Сумма n первых членов геометрической прогрессии"

9 класс

Урок № 125-126

Сумма n первых членов геометрической прогрессии

Автор: Золотько Л.И., учитель математики МАОУ «СОШ № 10»,

г. Миасс, Челябинская область

ПОВТОРЕНИЕ: № 646, 647(дополнительно)

ПРОВЕРКА: № 647(дополнительно)

Блиц-опрос

• Какая числовая последовательность называется геометрической прогрессией?
• Что называется знаменателем геометрической прогрессии?
• Как задается геометрическая прогрессия?
• Сформулируйте формулу n- го члена геометрической прогрессии.

Блиц-опрос

Среди последовательностей распознать прогрессии и назвать разность арифметической или знаменатель геометрической прогрессии:

d = 3

q = 1/5

q = 3

d = -3

d = 0

Блиц-опрос

• В третьем тысячелетии високосными годами будут 2004, 2008, 2012, 2016, 2020… В какой последовательности записаны года?
• В искусственном водоеме 10 кг водорослей. Через 3 дня их стало 20 кг. Через 6 дней – 40 кг, через 9 дней – 80 кг. В какой последовательности увеличивается масса водорослей?

Блиц-опрос

Перед вами четыре конечные последовательности чисел. Какая из этих последовательностей задается рекуррентной формулой

и условием

1) 2; 0; -2; -4;

2) 3; -2; 8; -12;

3) - 2; 8; -12; 28;

4) 3; 2; -4; 0.

Является ли данная последовательность

арифметической или геометрической прогрессией? Почему?

ПОДГОТОВКА К ПРОВЕРОЧНОЙ РАБОТЕ: № 626, 628(б,в), 638(дополнительно)

ПОДГОТОВКА К ПРОВЕРОЧНОЙ РАБОТЕ: № 628(б,в), 638(дополнительно)

ПРОВЕРКА: № 638(дополнительно)

ОТВЕТ: 64 945 человек.

СТАРТ

5

0

10

Кому выгодна сделка?

Приходит как-то раз к одному богатому

купцу мужик и предлагает сделку.

«Давай, говорит, в течение месяца я

буду приносить тебе каждое утро по

100 000 руб, а ты мне взамен в первый

день отдашь 1 коп, а в каждый последую-

щий в 2 раза больше. Во второй день-

2 коп, в третий- 4 коп и т.д.»

Подумал купец и подписал договор.

Сумма, которую получит купец

S купец = 100 000руб * 30дней = 3 000 000 руб

Сумма, которую получит мужик

1-ый день- 1коп

2-ой день- 2коп

3-ий день- 4коп

4-ый день- 8коп

5-ый день- 16коп

6-ой день- 32коп

…

Замечаем, что каждая

последующая выплата

в 2 раза больше предыдущей.

Последовательность чисел 1; 2; 4; 8; 16;…представляет собой геометрическую прогрессию , у которой b 1 =1, q =2.

Следовательно, необходимо найти сумму первых

30 членов данной геометрической прогрессии.

III . Сумма n первых членов геометрической прогрессии:

Сумма, которую получит мужик

Дано:

геометрическая прогрессия, b 1 =1, q =2

Найти:

S 30

Решение:

S 30 =

S 30 = 1073741823 коп = 10 737 418 руб 23 коп

Сравним доходы

купец получил 3 000 000 руб

мужик – 10 737 418 руб 23 коп

разница составляет 7 737 418 РУБ 23 КОП !!!

Так кому выгодна эта сделка?

С геометрической прогрессией связана и легенда о шахматах.

В какой стране были

придуманы шахматы?

Шахматная игра была придумана в Индии, и когда индусский царь Шерам познакомился с нею, он был восхищён её остроумием и разнообразием возможных в ней положений.

Рассказ ведёт Шехрезада

• Царь приказал позвать изобретателя, чтобы лично наградить за удачную выдумку.

Рассказ ведёт Шехрезада

Изобретатель, его звали Сета, явился к трону повелителя. Это был скромно одетый учёный, получавший средства к жизни от своих учеников.

— Я желаю достойно вознаградить тебя, Сета, за прекрасную игру, которую ты придумал. Я достаточно богат, чтобы исполнить самое смелое твоё пожелание. Назови награду, которая тебя удовлетворит, и ты получишь её.

Шах

— Повелитель, прикажи выдать мне за первую клетку шахматной доски одно пшеничное зерно.

— Простое пшеничное зерно? - изумился царь.

— Да, повелитель. За вторую клетку прикажи выдать 2 зерна, за третью 4, за четвёртую - 8, за пятую - 16, за шестую - 32 …

Сет и шах

— Ты получишь свои зёрна за все 64 клетки доски, согласно твоему желанию: за каждую вдвое больше предыдущей. Но знай, что просьба твоя недостойна моей щедрости.

— Ступай. Слуги мои вынесут тебе твой мешок с пшеницей.

Шах разговаривает с Сетом

Вечером, отходя ко сну, царь

осведомился, давно ли Сета со своим мешком пшеницы покинул ограду дворца и

услышал…

- Придворные математики исчисляют число зёрен. Они трудятся без устали и надеются ещё до рассвета закончить подсчёт.

Шехрезада и придворные математики

- Я желаю услышать, выдана ли, наконец, Сете та ничтожная награда, которую он себе назначил?

С изумлением внимал царь словам старца. - Не в твоей власти, повелитель, исполнять подобные желания. Во всех амбарах твоих нет такого числа зёрен, какое потребовал Сета. Нет его и в житницах всего государства. Не найдётся такого числа зёрен и на всём пространстве Земли. И если желаешь непременно выдать обещанную награду, то прикажи превратить земные царства в пахотные поля, прикажи осушить моря и океаны, прикажи растопить льды и снега. Пусть всё пространство их сплошь будет засеяно пшеницей. И всё то, что родится на этих полях, прикажи отдать Сете. Тогда он получит свою награду.

Шехрезада

- Назови же мне это чудовищное число. - 18 квинтильонов 446 квадрильонов 744 триллиона 73 биллиона 709 миллионов 551 тысяча 615 зёрен.

18446744073709551615

Такое количество зерен пшеницы можно собрать лишь с площади в 2000 раз большей поверхности Земли. Это превосходит количество пшеницы, собранной человечеством до настоящего времени.

Шах, придворные математики, Шехрезада

РАБОТА ПО УЧЕБНИКУ: № 648(а), 649(в), 653, 656, 655*

РАБОТА ПО УЧЕБНИКУ: № 649(в), 653, 656, 655*

РАБОТА ПО УЧЕБНИКУ: № 653, 656, 655*

РАБОТА ПО УЧЕБНИКУ: № 656, 655*

ПРОВЕРКА: № 655*

Т.к. члены прогрессии чередуются по знаку, то q = -3.