Россия, Феодосия
СДЕЛАЙТЕ СВОИ УРОКИ ЕЩЁ ЭФФЕКТИВНЕЕ, А ЖИЗНЬ СВОБОДНЕЕ
Благодаря готовым учебным материалам для работы в классе и дистанционно
Скидки до 50 % на комплекты
только до
Готовые ключевые этапы урока всегда будут у вас под рукой
Организационный момент
Проверка знаний
Объяснение материала
Закрепление изученного
Итоги урока
Была в сети 29.04.2026 10:14
Крищенко Татьяна Владимировна
учитель математики
1 464
47 214 
Местоположение
Специализация
Векторы в пространстве
Категория:
Геометрия
20.07.2024 17:37
Просмотр содержимого документа
«Векторы в пространстве»
Отрезок, для которого указано, какой из его концов считается началом, а какой концом, называется вектором
ВА
АВ
АВ
Длиной ненулевого вектора называется длина отрезка АВ
В
АВ = АВ
a
А
a
«Геометрия 10-11» Л.С. Атанасян и др.
M
MM = 0
MM
0
2
Два ненулевых вектора называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых.
Коллинеарные, сонаправленные векторы
a
c
b
b
c
b
c
a
a
«Геометрия 10-11» Л.С. Атанасян и др.
Нулевой вектор условимся считать сонаправленным с любым вектором.
o
o
o
c
a
b
3
Два ненулевых вектора называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых.
Коллинеарные,
противоположно направленные векторы
c
b
a
b
c
b
«Геометрия 10-11» Л.С. Атанасян и др.
a
4
Многие физические величины, например сила перемещение, скорость, являются векторными величинами. При изучении электрических и магнитных явлений появляются новые примеры векторных величин.
Электрическое поле, создаваемое в пространстве зарядами, характеризуется в каждой точке пространства вектором напряженности электрического поля.
На рисунке изображены векторы напряженности электрического поля положительного точечного заряда.
E
+
«Геометрия 10-11» Л.С. Атанасян и др.
5
Н а п р а в л е н и е т о к а
Электрический ток, т.е. направленное движение зарядов, создает в пространстве магнитное поле, которое характеризуется в каждой точке пространства вектором магнитной индукции.
На рисунке изображены векторы магнитной индукции магнитного поля прямого проводника с током.
B
«Геометрия 10-11» Л.С. Атанасян и др.
6
Векторы называются равными,
если они сонаправлены и их длины равны.
a
b
a
b
=
D 1
C 1
A 1
B 1
«Геометрия 10-11» Л.С. Атанасян и др. Рисунки Савченко Е.М.
D
C
A
B
7
АВС DH – правильная четырехугольная пирамида.
Верно ли равенство векторов?
DA = CB
Н
CD = BA
HC = HA
CO = OA
OD = OB
D
С
O
А
В
8
№ 320 Найдите длины векторов
3
3
АВ =
4
В C =
4
D
5
5
S
В D =
NM =
1,5
BN =
2
2
5
2,5
2,5
NK =
CB =
K
«Геометрия 10-11» Л.С. Атанасян и др.
BA =
3
DB =
А
В
NC =
N
KN =
M
4
С
9
№ 32 2 На рисунке изображен параллелепипед АВС A 1 B 1 C 1 D 1 . Точки М и К – середины ребер В 1 С 1 и А 1 D 1 . Укажите на этом рисунке все пары: а) сонаправленных векторов; б) противоположно направленных векторов; в) равных векторов.
В 1
M
С 1
А 1
K
D 1
«Геометрия 10-11» Л.С. Атанасян и др.
В
С
А
D
9
№ 325 Известно, что АА 1 =ВВ 1 . Как расположены по отношению друг к другу: а) прямые АВ и А 1 В;
В
В 1
А
А
А 1
А 1
В
«Геометрия 10-11» Л.С. Атанасян и др.
В 1
11
№ 325 Известно, что АА 1 =ВВ 1 . Как расположены по отношению друг к другу:
б) прямая АВ и плоскость, проходящая через точки А 1 и В 1 ;
В
В
А
В 1
А
В 1
«Геометрия 10-11» Л.С. Атанасян и др.
А 1
А 1
12
№ 325 Известно, что АА 1 =ВВ 1 . Как расположены по отношению друг к другу: в) плоскости, одна из которых проходит через точки А и В, а другая через точки А 1 и В 1 .
В
В
А
В 1
А
В 1
«Геометрия 10-11» Л.С. Атанасян и др.
А 1
А 1
13
№ 326 На рисунке изображен параллелепипед АВС A 1 B 1 C 1 D 1 . Точки М и К – середины ребер В 1 С 1 и А 1 D 1 . Назовите вектор, который получится, если:
а) от точки С отложить вектор, равный DD 1 ;
б) от точки D отложить вектор, равный CM ;
M
В 1
С 1
в) от точки А 1 вектор,
равный АС;
А 1
K
D 1
г) от точки С 1 вектор,
равный СВ;
«Геометрия 10-11» Л.С. Атанасян и др.
г) от точки М вектор,
равный КА 1 .
В
С
А
D
14
Сложение векторов.
Правило треугольника.
a +
b
b
a
b
«Геометрия 10-11» Л.С. Атанасян и др.
a
15
a +
b
По правилу треугольника складываются и коллинеарные векторы, хотя при их сложении треугольника и не получается
b
a +
b
a
b
«Геометрия 10-11» Л.С. Атанасян и др.
a
16
b
a +
b
a
«Геометрия 10-11» Л.С. Атанасян и др.
17
Вычитание векторов. Правило треугольника.
= a +(–
a –
b )
b
- b
b
- b
a -
b
a
«Геометрия 10-11» Л.С. Атанасян и др.
a
18
Сложение векторов. Правило параллелограмма.
a +
b
b
b
a +
b
a
«Геометрия 10-11» Л.С. Атанасян и др.
a
19
Сложение векторов.
Правило треугольника.
АВ + ВС =
АС
АО + ОР =
АР
MN + NR =
MR
MK + KM =
MM = 0
OM + MK
= OK
MK + OM =
«Геометрия 10-11» Л.С. Атанасян и др.
= MS
MF + FS
MF - SF =
RO + MR
RO - RM =
= MO
= MR + RO
20
Сложение векторов.
Правило треугольника.
АС =
АВ + ВС
ON =
OB + В N
AS =
AR + RS
XH =
XK + KH
«Геометрия 10-11» Л.С. Атанасян и др.
MD =
MA + AD
OF + FP
OP =
21
a+c+m+n
Сложение векторов.
Правило многоугольника.
= А O
АВ + ВС + С D + DO
n
m
a
m
n
c
c
«Геометрия 10-11» Л.С. Атанасян и др.
a
22
Сложение векторов.
Правило многоугольника.
А 1 A 2 + A 2 A 3 + A 3 A 4 + A 4 A 5 +A 5 A 6 +A 6 A 7
= А 1 A 7
A 1
«Геометрия 10-11» Л.С. Атанасян и др.
A 5
A 6
A 4
A 7
A 3
A 2
23
ka
Умножение вектора на число.
b
2b
2b
b
2
b
=
2b
a
1
a
a
«Геометрия 10-11» Л.С. Атанасян и др.
2
1
a
1
1
a
a
=
2
2
2
24
0 k a k Для любого числа и любого вектора векторы и коллинеарны. «Геометрия 10-11» Л.С. Атанасян и др. ka a 25 " width="640"
Умножение вектора на число.
a
k
Произведением ненулевого вектора на число
называется такой вектор , длина которого равна ,
причем векторы и сонаправлены при и
притивоположно направлены при .
b
k
a
a
b
k0
k
a
k
Для любого числа и любого вектора векторы
и коллинеарны.
«Геометрия 10-11» Л.С. Атанасян и др.
ka
a
25
Умножение вектора на число.
Произведение нулевого вектора на любое число считается нулевой вектор.
k
o
o
=
Произведение любого вектора на число нуль есть нулевой вектор.
o
a
o
=
a
b
l
k
b
Для любых , и любых чисел , справедливы равенства:
(kl)a =
k (l a)
Сочетательный закон
«Геометрия 10-11» Л.С. Атанасян и др.
ka + kb
k (a + b) =
Первый распределительный закон
ka + la
(k+l)a =
Второй распределительный закон
26
№ 3 44 Диагонали куба АВС D А 1 В 1 С 1 D 1 пересекаются
в точке О. Найдите число k такое, чтобы равенства были верны.
k
-1
АВ = С D
k
D 1
C 1
2
А C 1 = AO
A 1
B 1
k
1
O
OD 1 = D 1 B
«Геометрия 10-11» Л.С. Атанасян и др.
2
D
C
A
B
27
ВС
Диагонали параллелепипеда АВС D А 1 В 1 С 1 D 1
пересекаются в точке О. При каком значении
справедливо соотношение
k
k
АВ + В 1 С 1 + СО = С 1 A
1
k
=
С 1 A
АО
АВ + В 1 С 1 + СО =
АВ + ВС + СО =
2
D 1
C 1
A 1
B 1
O
Б.Г. Зив «Дидактические материалы по геометрии. 10 класс». Вариант 3. С – 21, №2.
D
C
A
B
28
Вебинар для учителей
Свидетельство об участии БЕСПЛАТНО!
