5 класс 23.11.20 Теория. Преобразование алгебраических выражений. Упрощение выражений.

Все свойства сложения и вычитания мы записали с помощью букв, т.е. в виде буквенных выражений.

Сегодня на уроке ты узнаешь, как можно упростить числовое или буквенное выражение, используя эти свойства. Познакомишься с понятием «подобные слагаемые» и на примерах научишься выполнять приведение подобных слагаемых, упрощая, таким образом, буквенные выражения.

Выясним смысл понятия «упрощение». Слово «упрощение» образовано от слова «упрости́ть». Упрости́ть – значит сделать простым, проще. Следовательно, упростить буквенное выражение – это сделать его более коротким, с минимальным количеством действий.

Рассмотрим выражение 9х + 4х. Это буквенное выражение, которое является суммой. Слагаемые здесь представлены в виде произведений числа и буквы. Числовой множитель таких слагаемых называется коэффициентом. В этом выражении коэффициентами будут числа 9 и 4. Обратите внимание, множитель, представленный буквой (в данном случае это х) – одинаковый в обоих слагаемых данной суммы.

(*На заметку. Между коэффициентом и буквенной частью стоит знак умножения, но для удобства мы его опустим, но всегда подразумеваем, что это произведение и между ними знак «умножить»).

Вспомним распределительный закон умножения:

Для того, чтобы сумму умножить на число, можно умножить на это число каждое слагаемое и сложить получившиеся произведения.

Это правило выражает распределительное свойство умножения относительно сложения. С помощью букв его записывают так: а плюс b умноженное на с равно а умноженное на с плюс b умноженное на с или короче ас плюс bс.

Этот закон выполняется в обе стороны ac + bc = (а + b) ∙ с

Рассмотрим на примере:


Эти выражения равны, так как имеют одно и то же значение 24.

Следующее правило, которое называют распределительным свойством умножения относительно вычитания, звучит так:

Для того, чтобы умножить разность на число, можно умножить на это число на уменьшаемое и вычитаемое и из первого произведения вычесть второе.

С помощью букв это свойство записывается таким образом: (а - b) умноженное на с равно а умноженное на с минус b умноженное на с или короче ас минус bс.

Рассмотрим на примере:

Эти выражения равны, так как имеют одно и то же значение – 24.

Отдохни 5 минут:

Теперь вернемся к нашему выражению 9х+4х.

Применим это свойство к нашему буквенному выражению: сумма произведений 9х и 4х равна произведению, первый множитель которого равен сумме 9 и 4, второй множитель – х.

9 + 4 = 13, получается 13х.

9х + 4х = (9 + 4)х = 13х.

Вместо трех действий в выражении осталось одно действие – умножение. Значит, мы сделали наше буквенное выражение проще, т.е. упрости́ли его. 

Приведение подобных слагаемых

Слагаемые 9х и 4х отличаются только своими коэффициентами – такие слагаемые называют подобными. Буквенная часть (то есть х) у подобных слагаемых одинаковая. К подобным слагаемым относятся также числа и равные слагаемые.

Например, в выражении 9а + 12 + 15 подобными слагаемыми будут числа 12 и 15.

Важно отметить, что слагаемые, у которых равны коэффициенты, а буквенные множители различны, подобными не являются, хотя к ним полезно иногда применить распределительный закон умножения, например, сумма произведений 5х и 5у равна произведению числа 5 и суммы х и у

5х + 5y = 5(x + y). В данном выражение мы вынесли общий множитель «5» за скобки.

Упрощая выражение, мы находили суммы подобных слагаемых, в математике это называют приведением подобных слагаемых.

Если приведение подобных слагаемых вызывает затруднение, можно придумать к ним слова и складывать предметы.

Например, рассмотрим выражение:

2 b + 5с + 8с

На каждую букву берем свой предмет: b-яблоко, с-груша, тогда получится: 2 яблока плюс 5 груш плюс 8 груш.

Можем яблоки сложить с грушами? Конечно, нет. А вот к 5 грушам прибавить 8 груш можем.

П риведем подобные слагаемые 5 груш + 8 груш. У подобных слагаемых буквенная часть одинаковая, поэтому при приведении подобных слагаемых достаточно выполнить сложение коэффициентов и к результату дописать буквенную часть:

(5 + 8) груш = 13 груш.

Возвращаясь к нашему буквенному выражению, имеем 5 с + 8с = 13с. Таким образом, после приведения подобных слагаемых получим выражение 2b + 13с.

Сегодня ты познакомился с буквенной записью свойств сложения и вычитания, узнал как можно упростить числовое или буквенное выражение, используя эти свойства. Также узнал как применять распределительный закон умножения при упрощении выражений и познакомился с операцией привидения подобных и вынесения общего множителя за скобки.

Теперь открой файл «23.11.20 Практикум». Разбери образцы решений и выполни самостоятельно упражнения.