Просмотр содержимого документа
«6. Тема Применение производной для исследования непрерывной функций на монотонность и экстремумы»
Применение производной для исследования непрерывной функций на монотонность и экстремумы
Изучим основные понятия:
Если вы увидите задание: «Исследовать функцию и построить её график», то вы должны понять, что нам сложно будет по точкам построить график. С помощью производной мы упростим задачу и сможем сделать выводы о монотонности и экстремумах функции без её построения.
Рассмотрим на примере функции
:
или
Находим знаки производной
Точки 0 и 2 делят всю числовую ось на 3 промежутка. На каждом из них мы найдем знак производной, по которому определим «поведение» графика
Берем из любого промежутка число и подставляем в производную (пункт 1) – сами точки брать нельзя.
У вас будет получаться или положительное или отрицательное число.
Там где «+» – функция возрастает (стрелочка на всём промежутке возрастает, направлена вверх), там где «–» – функция убывает (стрелочка на всём промежутке убывает, направлена вниз).
По стрелочкам можно уже понять, как примерно будет выглядеть график.
И
это промежутки монотонности
так, сделаем выводы по рисунку: При – функция возрастает
При – функция убывает
Точки экстремума
– точка максимума
– точка минимума
Экстремумы функции
(подставляем точки максимума и минимума в функцию )
– максимум функции
– минимум функции
Запишите алгоритм, он поможет выполнять «исследование непрерывной функции на монотонность и экстремумы»
Рассмотрим на примерах
№866 Определите промежутки монотонности функции
в)
: / :6
И
это промежутки монотонности
так, сделаем выводы по рисунку:
При – функция возрастает
При – функция убывает
№880 Найдите стационарные и критические точки
в)
:
или
Итак, сделаем выводы по рисунку:
Точки экстремума
, – точки максимума
– точка минимума
№866 Исследуйте функцию
в)
:
Итак, сделаем выводы по рисунку:
При – функция возрастает
При – функция убывает
Точки экстремума
– точка максимума
– точка минимума не существует
Экстремумы функции
(подставляем точки максимума и минимума в функцию )
– максимум функции
– минимум функции не существует
Задания на закрепление из задачника (зеленый, Мордкович А.Г.): 891 а, 892 в