731, 17.04.2020 "Вычисление пределов функций."

Вычисление пределов функций.

Теоретические знания:

Число А называется пределом функции f(x) при  , если для любой бесконечно большой последовательности аргументов функции (бесконечно большой положительной или отрицательной), последовательность значений этой функции сходится к А. Обозначается  .

Пример 1.

Любой предел состоит из трех частей:

1) Всем известного значка предела  . 
2) Записи под значком предела, в данном случае  . Запись читается «икс стремится к единице». Чаще всего – именно  , хотя вместо «икса» на практике встречаются и другие переменные. В практических заданиях на месте единицы может находиться совершенно любое число, а также бесконечность ( ).
3) Функции под знаком предела, в данном случае  .

Сама запись  читается так: «предел функции  при икс стремящемся к единице».

Понятие предела – это понятие, если так можно сказать, динамическое. Построим последовательность: сначала  , затем  ,  , …,  , …. 
То есть выражение «икс стремится к единице» следует понимать так – «икс» последовательно принимает значения, которые бесконечно близко приближаются к единице и практически с ней совпадают.

Как решить вышерассмотренный пример? Исходя из вышесказанного, нужно просто подставить единицу в функцию, стоящую под знаком предела:

Пример 2.

Разбираемся, что такое  ? Это тот случай, когда  неограниченно возрастает, то есть: сначала  , потом  , потом  , затем   и так далее до бесконечности.

А что в это время происходит с функцией  ? 
,  ,  , …

Итак: если , то функция  стремится к минус бесконечности:

Грубо говоря, согласно нашему первому правилу, мы вместо «икса» подставляем в функцию    бесконечность и получаем ответ.

Пример 3.

Опять начинаем увеличивать  до бесконечности, и смотрим на поведение функции:

Вывод: при  функция    неограниченно возрастает:

Пример 4.

Решение:
Несложно увидеть, что подставив в функцию бесконечность получим неопределенность вида  .
Правило: Чтобы избавиться от неопределенности вида  , нужно числитель и знаменатель разделить на х в старшей степени.
В этом примере старшей и в числителе и в знаменателе является вторая степень, на   и делим.

В числителе и знаменателе основной дроби получили сумму мелких «поддробей», в числителе у которых находится число, а в знаменателе бесконечность, а значит, сами эти дроби стремиться к нулю. Теперь несложно посчитать, что предел нашей функции  .

Ответ: .

Пример 5.

Подставляем единицу в функцию, убеждаемся в наличии неопределенности  .
Правило: Чтобы избавиться от неопределенности вида   в функции, у которой в числителе и знаменателе находятся многочлены, нужно разложить числитель и знаменатель на множители.
Ну что же, действуем…
В числителе имеем разность квадратов, которая сразу распадается на 2 скобки. А в знаменателе чтобы разложить на множители, придется посчитать дискриминант и найти корни уравнения 

В итоге получаем:

Ответ: .