731, 18.04.2020 "Задача о свободном падении тела. Понятие производной, её физический и геометрический смысл."

Задача о свободном падении тела. Понятие производной, её физический и геометрический смысл.

Понятие предела имеет большой философский смысл. Окружающий нас мир бесконечен, бесконечны пространство и время. Если какое-либо явление можно описать некоторым законом, т. е. функцией, то предел этой функции на бесконечности может нам многое «рассказать» о будущем этого явления.

С понятием предела непосредственно связано понятие производной. Различные задачи из различных областей знания приводят к одной и той же математической модели – пределу отношения приращения функции к приращению аргумента при условии, что приращение аргумента стремиться

• нулю. Впервые название этой модели и ее обозначение ввел немецкий ученый Готфрид Вильгельм Лейбниц в 1675 году – основоположник дифференциального и интегрального исчисления. Лейбниц был философом и лингвистом, историком и биологом, дипломатом и политическим деятелем, математиком и изобретателем. Он в 1700 году организовал академию в

Берлине, он же рекомендовал Петру I организовать академию в России. При организации Петербургской Академии наук в 1725 г. пользовались планами Лейбница.

Производная непрерывной функции в данной точке равна пределу отношения приращения функции к приращению аргумента при условии, что приращение аргумента стремится к нулю.

Обозначается f ^′(х) или df/ dx .

Если функция имеет производную в точке х_о, то ее называют дифференцируемой в точке х_о. Процедуру нахождения производной функции называют дифференцированием функции.

Мы рассмотрим две задачи, которые приводят к понятию производной.

I. Механическая задача.

Итальянский ученый Г. Галилей, изучая свободное падение тел, экспериментальным путем определил зависимость пути S, пройденного телом за время t: S = gt²/2, где g – ускорение свободного падения. При свободном падении скорость тела v растет, движение неравномерное. Как найти скорость тела в любой момент времени, т.е. мгновенную скорость v(t)?

Мы знаем, что при равномерном движении v=S/t. При неравномерном движении по этой формуле находится средняя скорость на всем пути: v_ср=∆S/∆t. Рассмотрим два момента времени: t и t+∆t, причем ∆t – малый промежуток времени. Тогда за этот промежуток времени тело пройдет путь

Вывод. Физический смысл производной заключается в том, что мгновенная скорость – это производная пути по времени:

v = S^′ (t)

Вспомним определение ускорения: а = ∆v/∆t, но если ∆t0, то

Итак, задача механики о нахождении скорости тела в

любой момент времени решена. Нужно только вычислить предел отношения приращения пути к приращению времени, если приращение времени стремится к нулю, т. е. найти производную пути.

II. Еще одна задача, приводящая к понятию производной, – задача о касательной к графику функции = f( ).

Рассмотрим график непрерывной функции и проведем в точке А секущую и касательную к графику

Прямая АВ – секущая, ee уравнение y = k_секх +b, где k_сек – угловой коэффициент секущей,

k_сек =∆y/∆x = tg α_сек, где α_сек – угол наклона секущей (отсчитывается от положительного направления оси Ох против часовой стрелки).

Пусть ∆х стремится к нулю, тогда секущая стремится к своему предельному положению – к касательной в точке А, т. е. угловой коэффициент касательной равен пределу углового коэффициента секущей:

=k_кас, причем k_кас = tg α, где α - это угол наклона касательной, отсчитываемый от положительного направления оси Ох.

Вывод. Геометрический смысл производной заключается в том, что угловой коэффициент или тангенс угла наклона касательной к графику функции в данной точке с абсциссой равен производной функции в этой точке:

k_кас = tg α = f ^′ (x)

Алгоритм составления уравнения касательной:

1. Найти значение функции в точка х₀: у(х₀)

2. Найти производную функции у′

3. Найти значение производной в точке х₀: у′(х₀)

4. Составить уравнение касательной: у= у(х₀) + у′(х₀)*(х-х₀)