Аликвотные дроби.

Аликвотные дроби

Сазанакова Лера, Бабаева Лера

научный руководитель: Воронина Г.П.

МБОУ «Средняя общеобразовательная школа №24» г. Абакан

Необходимость в дробных числах возникла в результате практической деятельности человека. Потребность в нахождении долей единицы появилась у наших предков при дележе добычи после охоты. Второй существенной причиной появления дробных чисел следует считать измерение величин при помощи выбранной единицы измерения.

Небольшая историческая справка о задачах на дроби. Эти задачи являются древнейшими из дошедших до нас по письменным источникам; их решение было весьма сложной проблемой до тех пор, пока не изобрели обозначения для обыкновенных дробей, не разработали правила действий с ними. В Древнем Египте, например, существовали иероглифы только для обозначения дробей с числителем 1. Единственным исключением была дробь ²/₃, для которой имелось соответствующее обозначение. Не случайно поэтому в тексте одной из задач папируса Ахмеса находим выражение «две трети от трети скота»— выразить эту часть стада дробью ²/₉ египтяне еще не могли. В том же папирусе Ахмеса встречается задание «Разделить 7 хлебов между 10 лицами», ответ к которому в современной записи можно выразить так: ²/_3 + ¹/₃₀. Решение более сложных задач на дроби было для египтян довольно сложной проблемой.

Гораздо позже Анания Ширакаци (Армения, VII в.) записал ответ в одной из задач в виде: ¹/₄₊¹/₆₊¹/₁₂₊¹/₂₂, что выражает дробь ⁶/₁₁, получающуюся сложением указанных дробей.

Таким образом, аликвотные дроби (с числителем 1) долгое время были единственными дробями, с которыми как-то умел оперировать человек, а правила действий с произвольными дробями разработаны «сравнительно недавно».

Свойства аликвотных дробей

Первое свойство аликвотных дробей.

,на1

Пример

Второе свойство аликвотных дробей.

Пример:

Задача

Можно найти такие пары дробей, разность которых равна их произведению? Приведём примеры.

а) , б) в)

Решение:

Ответ:

Решение олимпиадных задач

1.Найди сумму

+ +…+ =?

Чтобы найти решение данной задачи необходимо найти сумму

+ +…+ =

И вычесть из нее сумму

+ +…+ + =

- = =0.09

2.Найти сумму

+ + + + + + + + =

1. 1, b) , c) , d) , e)

+ + + + + + + =

Ответ e)

Применение

1.Аликвотная дробь (математика).2.Аликвотная струна (музыка).

3.Аликвотная часть (химия-физика).4.Аликвотное количество. 5.Аликвотная система.

Пифагор построил для своих экспериментов полуинструмент-полуприбор — «монохорд». Это был продолговатый ящик с натянутой поверх него струной. Под струной, на верхней крышке ящика, Пифагор расчертил шкалу, чтобы удобнее было зрительно делить струну на части. Множество опытов проделал Пифагор с монохордом и, в конце концов, описал математически поведение звучащей струны. Работы Пифагора легли в основу науки, которую мы называем сейчас музыкальной акустикой. С точки зрения физики тетива и струна — одно и то же. Да и сделал человек струну, обратив внимание на свойства тетивы. Звучащая струна колеблется не только целиком, но одновременно и половинками, третями, четвертями и т.д. Подойдём теперь к этому явлению с арифметической стороны. Половинки колеблются вдвое чаще, чем целая струна, трети — втрое, четверти — вчетверо. Словом, во сколько раз меньше колеблющаяся часть струны, во столько же раз больше частота её колебаний. Допустим, вся струна колеблется с частотой 24 герца. Высчитывая колебания долей вплоть до шестнадцатых, мы получим ряд чисел.Эта последовательность частот так и называется — натуральный, т.е. природный, звукоряд.

Заключение

Таким образом, при разработке данной темы, мы узнали, что первыми дробями, которыми оперировали люди, были аликвотные дроби. Выяснили, что каждое рациональное число вида может быть разложено на единичные дроби.

Задачи с использованием аликвотных дробей составляют обширный класс нестандартных задач. Аликвотные дроби используются тогда, когда требуется что-то разделить на несколько частей с наименьшим количеством действий для этого.

Разложение дробей на две аликвотные дроби систематизировали в виде формулы, преобразовав которую, легко решили олимпиадные задачи по математике разных лет.

Решив проблему разложения аликвотных дробей на две аликвотные дроби, мы пришли к выводу, что разложение на три, четыре, пять и т.д. аликвотных дробей можно произвести, разложив одно из слагаемых на две дроби, следующее слагаемое еще на две аликвотные дроби и т.д.

Таким образом, аликвотные дроби (с числителем 1) долгое время были единственными дробями, с которыми как-то умел оперировать человек, а правила действий с произвольными дробями разработаны «сравнительно недавно».

В современной математике вместо египетских дробей используются простые и десятичные дроби, однако египетские дроби продолжают изучаться в теории чисел и истории математики.

1. Левитас Г. Г. Нестандартные задачи по математике.– М.: ИЛЕКСА,2007.

2. Баженов И.И., Порошкин А.Г. и др. Задачи для школьных математических кружков. Сыктывкар, 1994.

3. Гаврилова Т. Д. «Занимательная математика». 5-11класс. Волгоград: Учитель, 2008.

4. Фарков А. В. Математические олимпиады в школе. 5-11класс. – М.: Айрис-пресс, 2005.

Приложение 2

Требования к оформлению публикации статьи

Текст статьи должен быть набран шрифтом Times New Roman 11 пт, через 1 интервал, без переносов слов в редакторе Word. Поля: сверху, снизу, справа, - 2 см, слева – 25 мм. Объем статьи – 1 стр. формата А4. Язык публикации материалов – русский.

Расположение доклада на странице:

Название доклада - строчными буквами по центру в один абзац на языке публикации материала

Инициалы и фамилия авторов через запятую – по центру в 1 абзац

Научный руководитель - инициалы, фамилия, ученое звание (или ученая степень) – по центру в 1 абзац

Полное название учебного заведения и города – по центру в один абзац курсивом

Текст доклада (первая строка всех абзацев без отступа, выравнивать строки по ширине). Ссылки на источники – цифрами в квадратных скобках.

Пронумерованный список литературы в алфавитном порядке. Фамилии авторов выделяются курсивом.

Примеры:

Для сборников научных трудов, материалов конференций и тезисов докладов:

1. Исаев А.С. Мониторинг лесных насекомых в бореальных лесах // Аэрокосмические методы и геоинформационные технологии в лесоведении и лесном хозяйстве: Докл. III Всерос. конф., 18-19 апр. 2010 г., Москва. М.: ЦЭПЛ РАН, 2010. С. 43-46.

Иллюстрации (рисунки, фотографии) должны быть высокого качества, контрастные, легко читаемые и оформлены в черно-белом изображении. Иллюстрации размещаются в рамке, компактно, следом за ссылками на них по тексту. Допускается размещение иллюстраций по полю текста в формате «обтекание текстом» (слева или справа).

Таблицы печатаются в формате «Сетка 1» с выравниванием по центру. Таблицы не должны быть громоздкими и разделенными по разным страницам. Допускается печать таблиц шрифтом размером 9 пт.

Изменения и сокращения в тексте, не влияющие на его содержание, вносятся редактором без согласования с автором.

Заявка (по форме Приложение 1) на участие в конференции прилагается на отдельном листе.

Приложение 2

Требования к оформлению публикации статьи

Текст статьи должен быть набран шрифтом Times New Roman 11 пт, через 1 интервал, без переносов слов в редакторе Word. Поля: сверху, снизу, справа, - 2 см, слева – 25 мм. Объем статьи – 1 стр. формата А4. Язык публикации материалов – русский.

Расположение доклада на странице:

Название доклада - строчными буквами по центру в один абзац на языке публикации материала

Инициалы и фамилия авторов через запятую – по центру в 1 абзац

Научный руководитель - инициалы, фамилия, ученое звание (или ученая степень) – по центру в 1 абзац

Полное название учебного заведения и города – по центру в один абзац курсивом

Текст доклада (первая строка всех абзацев без отступа, выравнивать строки по ширине). Ссылки на источники – цифрами в квадратных скобках.

Пронумерованный список литературы в алфавитном порядке. Фамилии авторов выделяются курсивом.

Примеры:

Для сборников научных трудов, материалов конференций и тезисов докладов:

1. Исаев А.С. Мониторинг лесных насекомых в бореальных лесах // Аэрокосмические методы и геоинформационные технологии в лесоведении и лесном хозяйстве: Докл. III Всерос. конф., 18-19 апр. 2010 г., Москва. М.: ЦЭПЛ РАН, 2010. С. 43-46.

Иллюстрации (рисунки, фотографии) должны быть высокого качества, контрастные, легко читаемые и оформлены в черно-белом изображении. Иллюстрации размещаются в рамке, компактно, следом за ссылками на них по тексту. Допускается размещение иллюстраций по полю текста в формате «обтекание текстом» (слева или справа).

Таблицы печатаются в формате «Сетка 1» с выравниванием по центру. Таблицы не должны быть громоздкими и разделенными по разным страницам. Допускается печать таблиц шрифтом размером 9 пт.

Изменения и сокращения в тексте, не влияющие на его содержание, вносятся редактором без согласования с автором.

Заявка (по форме Приложение 1) на участие в конференции прилагается на отдельном листе.

При подготовке издания для печати исключить фотографии. Возможны лишь графические иллюстрации. Объем материалов не должен превышать 2 стр. формата А4. Используемая литература по тексту указывается в квадратных скобках, в конце приводится библиографический список