Анализ устойчивости равномерных вращений тяжелого гиростата

Анализ устойчивости равномерных вращений тяжелого гиростата.

Презентацию подготовила:

Студентка 2 курса, группы MEXG-121

Клюева Марина

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор

Илюхин Александр Алексеевич

Теория устойчивости  — техническая и физико-математическая дисциплина, изучающая закономерности поведения систем под действием внешних воздействий.

• В аналитическом аспекте является разделом теории дифференциальных уравнений.

• В прикладном аспекте наибольшее развитие получила теория устойчивости механических систем, поскольку именно механика, как старейшая наука, впервые столкнулась с проблемами устойчивости. Эйлер впервые строго поставил и решил задачу устойчивости состояния равновесия механический системы — стержня, сжатого сжимающей силой.

• В наиболее общем виде теория устойчивости была разработана А. М. Ляпуновым, сформулировавшим и доказавшим основные теоремы теории устойчивости движения.

• Одним из основных вопросов этой

теории является вопрос

об устойчивости решения,

или движения системы, если ее

трактовать как модель физической системы.

• Устойчивость равномерных вращений абсолютно твердого тела, имеющего неподвижную точку, по Ляпунову и при постоянно действующих возмущениях относится к критическому случаю двух пар чисто мнимых корней и двукратного нулевого корня.

• Истории развития понятия устойчивости посвящена первая глава.

Целью дипломной работы являлось изучение различных вариантов теории устойчивости решения дифференциальных уравнений; сопоставительный анализ особенностей каждого их этих направлений и возможности их практического применения для задач механики и других естественных наук. А для ответа на последний вопрос необходимо было рассмотреть конкретные примеры в первую очередь иллюстрирующего характера.

Исследуем устойчивость таких движений относительно проекции угловой скорости

и единичного вектора направления силы тяжести

на подвижные оси.

Для того чтобы на изучаемом движении гамильтониан не имел особенностей, центр масс помещаем на первую главную ось.

Направляя оси связанной с телом системы координат по главным осям эллипсоида инерции, получаем выражение для гамильтониана

- компоненты тензора инерции относительно неподвижной точки ;

Г- произведение веса тела т проекции вектора центра масс на первую ось;

- углы Эйлера ( отсчитывается от идущей вниз вертикали);

, , - соответствующие обобщенные импульсы.

Уравнения движения имеют вид

Изучаемым стационарным движениям соответствует следующее решение системы уравнений :

где - величина угловой скорости равномерного вращения твёрдого тела .

Представим функцию Гамильтона в виде

с точностью до членов пятого порядка, относительно канонических переменных

где

Характеристическое уравнение линеаризованной системы с функцией Н 2 имеет вид

где

Вопрос о поведении решения

в следующих случаях:

а также в областях С 4, С 5 в которых выполнены необходимые условия устойчивости, но функция Н 2 является знакопеременной.

При достаточно малых значениях в шаре

имеем

причем , где

При достаточно малых конец вектора угловой скорости находится в замкнутой ограниченной области, принадлежащей шару

и содержит точку С

Спасибо за внимание!