Арифметическая прогрессия. Формула n-го члена арифметической прогрессии

Конспект урока №77

Разработчик: Шейхаметова С.Э.

Учебный предмет: алгебра

Класс: 9

Тема урока: Арифметическая прогрессия. Формула n-го члена арифметической прогрессии

Цели урока:

Образовательные:

• Расширить знания учащихся о числовых последовательностях, рассмотрев числовую последовательность особого вида – арифметическую прогрессию.

• Вывести формулу n-го члена арифметической прогрессии.

• Вырабатывать навыки, умения применения формулы n-го члена арифметической прогрессии.

Развивающие:

• Развитие памяти, внимания, логического мышления.

• Развитие познавательного интереса учащихся

Воспитательные:

• Способствовать совершенствованию навыков индивидуальной, фронтальной работы

Тип урока: урок изучения нового материала.

Методы и формы обучения: фронтальная, индивидуальная, парная

Учебник: Учебник Алгебра 8 класс Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова

Ход урока

1. Организационный момент.

Здравствуйте, садитесь. Сегодня на уроке мы будем изучать новую тему. Поэтому нужно быть внимательными. В конце урока я проверю, как вы усвоите тему.

2. Актуализация знаний учащихся.

1. Давайте вспомним, какую тему мы изучали на прошлых уроках.

- Мы познакомились с числовыми последовательностями.

2. Приведите примеры числовых последовательностей. (Учащиеся приводят примеры последовательностей).

3. Как задаются числовые последовательности?

- Числовые последовательности могут задаваться перечислением, словесно, рекуррентным способом, формулой n- члена, таблицей.

4. Рассмотрим задачу. Слайд № 1, 2.

- Какую последовательность чисел получили? Продолжите эту последовательность.

5.Сравните члены этой последовательности. Как они получаются?

- В этой последовательности каждый ее член, начиная со второго, равен предыдущему, сложенному с одним и тем же числом 4.

6.Приведите примеры таких же последовательностей. (Учащиеся приводят свои примеры.)

Такие последовательности называются арифметическими прогрессиями. И тема нашего урока: Арифметическая прогрессия. Открыли тетради, записали число и тему урока.

3. Изучение нового материала. Слайд №3. Немного истории.

- Итак. Какая последовательность называется арифметической прогрессией? Слайд № 4.

- Таким образом, арифметическая прогрессия – это числовая последовательность, заданная рекуррентной формулой:

a_n+1 = a_n + d,

n =1, 2, 3, 4, … , где a_n и d – заданные числа.

- Число d называется разностью арифметической прогрессии.

- Как вы думаете, почему разность?

- Как найти разность арифметической прогрессии?

- Чтобы найти разность арифметической прогрессии нужно из последующего члена вычесть предыдущий.

_{d = an+1 an}

_{-Найдите разность арифметической прогрессии и задайте ее рекуррентной формулой.Слайд № 5.}

- Можно ли, глядя на последовательность, определить, является ли она арифметической прогрессией?

-Можно. Если мы убедимся в том, что разность между любым членом последовательности и предшествующим ему членом постоянна и, что обнаруженная закономерность справедлива не только для явно выписанных членов последовательности, но и для всей последовательности в целом, то перед вами - арифметическая прогрессия. (т. е. ). Слайд № 6

- Какими могут быть арифметические прогрессии?

- Возрастающими, убывающими, постоянными. Слайд №7.

-Какие способы задания числовых последовательностей, а значит, и арифметической прогрессии вы знаете?

- Арифметическую прогрессию можно задать следующими способами:

Слайд 8.

- Рассмотрим задачу. Слайды № 9 ,10,11.
На турбазе можно взять напрокат лодку. Стоимость проката определяется следующим образом: за первые сутки надо заплатить 100 рублей, за каждые следующие (полные или неполные) – 50 рублей. Сколько рублей надо заплатить за лодку, взятую на один день, на два дня, на три дня, на неделю, на две недели?

1 день. 100 рублей.

2 день. 100 + 50 = 150 рублей.

3 день. 150 + 50 = 200 рублей.

4 день. 200 + 50 = 250 рублей

5 день. 250 + 50 = 300 рублей

6 день. 300+ 50 = 350 рублей

7 день. 350 + 50 = 400 рублей

8 день. 400 + 50  = 450 рублей

9 день. 450 + 50 = 500 рублей

10 день. 500 + 50 = 550 рублей

11 день. 550 + 50 = 600 рублей.

12 день. 600 + 50 = 650 рублей

13 день. 650 + 50 = 700 рублей

14 день . 700 + 50 = 750 рублей.

- Какую последовательность чисел получили?

100, 150, 200, 250, 300, 350, …
- Является ли эта последовательность арифметической прогрессией?

- Да.

- Чему равна разность этой арифметической прогрессии?

- Как вы думаете, можно ли упростить вычисление, сделав их как-то короче?

- А если надо вычислить стоимость проката лодки за 28 дней или больше?

- Нельзя ли сразу вычислить стоимость проката за определенное количество дней?

- Для этого применяется формула n- члена арифметической прогрессии.

Выведем эту формулу. Слайд №12.

Рассмотрим арифметическую прогрессию с разностью d и первым членом a₁.

Нетрудно догадаться, что для любого номера n справедливо равенство

Это формула n-го члена арифметической прогрессии. Теперь мы быстро можем вычислить стоимость проката лодки за 28 дней.

а₂₈ = a₁ + d (28 - 1)= 100 +50 · 27 = 100+1350= 1450 рублей.

-Какие задачи мы можем решать, используя эту формулу?

Слайд 13. Ключевые задачи на формулу: a_n = a₁ + d (n-1).

4. Закрепление изученного материала.

Сейчас выполним задания из учебника.

№ 593(а). Слайд №14.

-14; - 9; - 4;… Найти формулу n-члена, a_{15 ,} a_{26 ,} a_{101 .}

Решение:

a_n = a₁+ d (n – 1)

a₁ = -14, d = a₂ – a₁ = -9 – (-14) = -9 + 14 = 5

a_n = a₁+5 (n – 1) = - 14 +5(n – 1) = -14 +5n – 5 = 5n – 19

a_n = 5n – 19

a₁₅ = - 14 + 5 ·(15 – 1 ) = -14 + 5 · 14= -14 +70 = 56

a₂₆ = -14 + 5 ·(26 – 1 ) = -14 + 5 ·25 = -14 +125 = 111

a₁₀₁ = - 14 + 5 ·(101 – 1 ) = -14 + 5 · 100 =-14 + 500 = 486

Ответ: a_n = 5n - 19 , a₁₅ = 56, a₂₆ = 111, a₁₀₁ = 486

№ 596 (б). Слайд №15.

Дано: а₁=2,7; d = - 0,3; a_n= - 2,7. Найти n.

Решение:

a_n = a₁+ d (n – 1)

Подставим а₁=2,7; d = - 0,3; a_n= - 2,7 в эту формулу.

-2,7 = 2,7 – 0,3 (n-1)

-2,7 = 2,7 – 0,3n + 0,3

-2,7 = 3 – 0,3n

3 – 0,3n = - 2,7

-0,3n = - 2,7 - 3

-0,3n = - 5,7

n = - 5,7: (- 0,3)

n = 19

Ответ: n = 19

№ 597 (а).

5. Первичная проверка усвоения.

Итак, наш урок подошел к концу. Посмотрим, как вы усвоили новый материал?

Решите тест (приложение 1)

За верно решенные 6 заданий теста –«5», за 5 – «4», за 4-3 – «3», менее 3 – «2

6. Гимнастика для глаз.

7.Подготовка к ОГЭ.

8. Итог урока. Дополните фразы.

Сегодня на уроке я

- узнал…

- учился…

- смог, потому что …

- у меня не получилось, потому что…

- дома надо потренироваться…

9. Домашнее задание:

стр. 209 -213, выучить определение арифметической прогрессии,

способы задания.

№593 (б)

№596 (а)

№ 590

Приложение №1.

Вариант 1

1.Арифметическая прогрессия – это числовая последовательность, в которой каждый член начиная со второго равен предыдущему

а) сложенному с одним и тем же числом;

б) умноженному на одно и то же число;

в) разделенному на одно и то же число;

г) возведенному в квадрат.

2. Чтобы найти разность арифметической прогрессии надо

а) из первого члена вычесть второй;

б) второй член разделить на первый;

в) первый член умножить на второй;

г) из последующего члена вычесть предыдущий.

3. Укажите формулу n-го члена арифметической прогрессии

а)

б)

в) a_n=a_n-1 + d,

г)

4. Первый член арифметической прогрессии , , 4, 8,… равен

а) 1; б) 12; в) - 4; г) - 1.

5.Найдите разность арифметической прогрессии, если = 4; = 8.

а) – 4; б) 0,5; в) 6; г) 4.

6. Найдите четвертый член арифметической прогрессии, если = 10; d =

= - 0,1.

а) 97; б) 9,7; в) – 97; г) – 9,7.

Вариант 2

1.Арифметическая прогрессия – это числовая последовательность, в которой каждый член начиная со второго равен предыдущему

а) возведенному в квадрат ;

б) разделенному на одно и то же число;

в) умноженному на одно и то же число;

г) сложенному с одним и тем же числом;

2. Чтобы найти разность арифметической прогрессии надо

а) из последующего члена вычесть предыдущий

б) первый член умножить на второй;

в) второй член разделить на первый

г) из первого члена вычесть второй;

3. Укажите формулу n-го члена арифметической прогрессии

а)

б)

в)

г)

4. Первый член арифметической прогрессии , , 3, 6,… равен

а) 1; б) 9; в) - 3; г) - 1.

5.Найдите разность арифметической прогрессии, если = 3; = 6.

а) 3; б) 0,5; в) 4,5; г) -3.

6. Найдите пятый член арифметической прогрессии, если = 10; d = - 0,1.

а) 96; б) - 9,6; в) – 96; г) 9,6.

6