Арифметические и геометрические прогрессии 9 класс

Определение

Арифметической Геометрической

прогрессией

а 1 ,а 2 ,а 3 ,…а n ,.. b 1 ,b 2 ,b 3 ,…b n ,…

называется п оследовательность,

отличных от нуля чисел

каждый член которой, начиная со второго,

равен предыдущему члену,

сложенному с одним

и тем же числом.

умноженному на одно

и то же число.

Определение

• Числовая последовательность

а 1 ,а 2 ,а 3 ,…а n ,.. b 1 ,b 2 ,b 3 ,…b n ,…

называется

арифметической геометрической

если для всех натуральных n

выполняется равенство

a n+1 = a n + d b n+1 = b n * q

0 арифметическая прогрессия возрастающая d арифметическая прогрессия убывающая q 1 геометрическая прогрессия возрастающая 0 геометрическая прогрессия убывающая " width="640"

Вывод

• d0

арифметическая прогрессия возрастающая

• d

арифметическая прогрессия убывающая

• q 1

геометрическая прогрессия возрастающая

• 0

геометрическая прогрессия убывающая

прогрессии

Формула n-го члена прогрессии

• Пусть заданы а 1 и d

а 2 =а 1 +d

a 3 =a 2 +d=a 1 +d+d=а 1 +2d

a 4 =a 3 +d=а 1 +3d

…………………………… ..

a n =a 1 +(n-1)d

• Пусть заданы b 1 и q

b 2 = b 1 *q

b 3 = b 2 *q= b 1 *q*q=b 1 *q 2

b 4 =b 1 *q 3

…………………………………………… .. b n = b 1 * q n-1

Чтобы задать

арифметическую геометрическую

прогрессию, достаточно указать её

первый член и первый член и

разность знаменатель

Истинно или ложно

каждое высказывание

1. В арифметической прогрессии

2,4; 2,6;… разность равна 2.

2. В геометрической прогрессии

0,3; 0,9;… третий член равен 2,7

3. 11-ый член арифметической прогрессии, у

которой равен 0,2

4. Сумма 5 первых членов

геометрической прогрессии,

у которой

равна 11.

5. Последовательность чисел, кратных 5,

является геометрической прогрессией.

6. Последовательность степеней числа 3

является арифметической прогрессией.

Проверь себя!

1. В арифметической прогрессии

2,4; 2,6;… разность равна 2.

d = 2,6 – 2,4 = 0,2 высказывание ложно

2. В геометрической прогрессии

0,3; 0,9;… третий член равен 2,7

высказывание истинно

3. 11-ый член арифметической прогрессии, у которой

равен 0,2

высказывание ложно

4. Сумма 5 первых членов геометрической прогрессии,

у которой равна 11.

высказывание истинно

5. Последовательность чисел, кратных 5, является

геометрической прогрессией.

высказывание ложно, т.к.

5; 10; 15;… - арифм. прогрессия

6. Последовательность степеней числа 3 является

арифметической прогрессией

высказывание ложно, т.к.

3; 9; 27;…- геометрическая прогрессия

1) Дано: ( а n ) арифметическая прогрессия

а 1 = 5 d = 3

Найти: а 6 ; а 10 .

Решение: используя формулу

а n = а 1 +( n -1) d

а 6 = а 1 +5 d = 5+ 5 . 3 = 20

а 10 = а 1 +9 d = 5+ 9 . 3 = 32

Ответ: 20; 32

Решение

• Дано: ( b n ) геометрическая прогрессия

b 1 = 5 q = 3

Найти: b 3 ; b 5 .

Решение: используя формулу b n = b 1 q n-1

b 3 =b 1 q 2 = 5 . 3 2 =5 . 9=45

b 5 =b 1 q 4 = 5 . 3 4 =5 . 81 =4 0 5

Ответ: 45; 4 0 5.

Решение

3) Дано: ( а n ) арифметическая прогрессия

а 4 = 11 d = 2

Найти: а 1 .

Решение: используя формулу

а n = а 1 + ( n – 1) d

а 4 = а 1 +3 d ; а 1 = а 4 – 3 d =11 – 3 . 2 = 5

Ответ: 5.

Решение

4) Дано: ( b n ) геометрическая прогрессия

b 4 = 40 q = 2

Найти: b 1 .

Решение: используя формулу b n = b 1 q n-1

b 4 =b 1 q 3 ; b 1 = b 4 : q 3 =40:2 3 =40 : 8=5

Ответ: 5.

Решение

5) Дано: ( а n ) арифметическая прогрессия

а 4 =12,5; а 6 =17,5

Найти: а 5

6) Дано: ( b n ) геометрическая прогрессия

b 4 =12,5; b 6 =17,5

Найти: b 5

0, b 2 = 4, b 4 = 9. Найти: b 3 – ? 5)Дано: ( а n ), а 1 = 28, а 21 = 4. Найти: d - ? 6) Дано: ( b n ) , b 5 = 8 q = 2. Найти: b 1 – ? 7 ) Дано: ( а n ), а 7 = 16, а 9 = 30.Найти: а 8 –? " width="640"

1)Дано: ( а n ), а 1 = – 3, а 2 = 4. Найти: а 16 – ?

2)Дано : ( b n ) , b 12 = – 32, b 13 = – 16. Найти : q – ?

3)Дано: ( а n ), а 21 = – 44, а 22 = – 42.Найти: d - ?

4)Дано : ( b n ) , b п 0, b 2 = 4, b 4 = 9. Найти: b 3 – ?

5)Дано: ( а n ), а 1 = 28, а 21 = 4. Найти: d - ?

6) Дано: ( b n ) , b 5 = 8 q = 2. Найти: b 1 – ?

7 ) Дано: ( а n ), а 7 = 16, а 9 = 30.Найти: а 8 –?

Ответы:

1) 102

2) 0,5

3) 2

4) 6

5) – 1,2

6) 0 ,5

7) 23

Задания ГИА

1 ) Пятый член арифметической прогрессии равен 8,4, а ее десятый член равен 14,4. Найдите пятнадцатый член этой прогрессии.

2) Число –3,8 является восьмым членом арифметической прогрессии (а п ), а число –11 является ее двенадцатым членом. Является ли членом этой прогрессии число а п = -30,8 ?

3) Между числами 6 и 17 вставьте четыре числа так, чтобы вместе с данными числами они образовали арифметическую прогрессию.

4) В геометрической прогрессии b 12 = 3 15 и

b 14 = 3 17 . Найдите b 1 .

Решите задачи

• Курс воздушных ванн начинают с 15 минут в первый день и увеличивают время этой процедуры в каждый следующий день на 10 минут. Сколько дней следует принимать воздушные ванны в указанном режиме, чтобы достичь их максимальной продолжительности 1 час 45 минут.

• Ребенок заболеет ветрянкой, если в его организме окажется не менее 27000 вирусов ветряной оспы. Если заранее не сделана прививка от ветрянки, то каждый день число попавших в организм вирусов утраивается. Если в течении 6 дней после попадания инфекции болезнь не наступает, организм начинает вырабатывать антитела, прекращающие размножение вирусов. Какое минимальное количество вирусов должно попасть в организм, чтобы ребенок, которому не сделали прививку, заболел

Ответы:

1. 20,4

2. является

3. 6;8,2;10,4;12,6;14,8;17 4. b 1 =3 4 или b 1 = – 3 4

5. 10

6. 74