Арифметическая и геометрическая прогрессии Задачи продвинутого уровня

Арифметическая и геометрическая прогрессии

Задачи продвинутого уровня

Задача 1. Разность между четвертым и первым членами геометрической прогрессии равна 52, а сумма первых трех членов прогрессии равна 26. Вычислить сумму первых шести членов этой прогрессии.

Решение: Так как b₄-b₁=52 и b₁+b₂+b₃=26, учитывая, что (b_n)-геометрическая прогрессия, имеем:

Разделив первое уравнение на второе, получим q-1=2, откуда q-1=2, откуда q=3;

Ответ: 728.

Задача 2. В геометрической прогрессии (b_n)b₁+b₂+b₃=6, а b₂+b₃+b₄=-3. Найдите эту прогрессию.

Решение: Так как b₁+b₂+b₃=6, a b₂+b₃+b₄=-3 имеем:

Разделив второе уравнение на первое, получим, что тогда b=

Ответ: 8.

Задача 3. Найдите четыре числа, образующие геометрическую прогрессию, у которой первый член меньше третьего на 24, а второй больше четвертого на 8.

Решение: Так как а₁+24=а₃ и а₂=а₄+8, то

а₂=a₁q=-27*=-9;

а₃=a₂q=-9*=-3; а₄=a₃q=-3*=-1.

Ответ: -27;-9;-3;-1.

Задача 4. Шестой член арифметической прогрессии составляет 60% от третьего члена этой прогрессии, а произведение их равно 15. Опредилите пятый член.

Решение: Пусть (а_n)-арифметическая прогрессия, в которой а₆=0,6_а3 и а₃*а₆=15. Получим:

или

Зная, что а₆=а₃+3d, то получим или

Зная, что а₅=а₃+2d, то

Ответ:

Задача 5. Сумма трех чисел, составляющих арифметическую прогрессию, равна 15, а произведение первого и второго равно 40. Найдите эти числа.

Решение: Пусть (а₃)-арифметическая прогрессия, в которой а₁+а₂+а₃=15, а₁*а₂=40. Выразим слагаемые через а₁ и d:

Значит, а₂=8-3=5; а₃=5-3=2.

Ответ: 8; 5; 2.

Задача 6. Сумма трех чисел, составляющих возрастающую геометрическую прогрессию, равна 65. Если вычесть от меньшего числа 1, а от большего 19, то вновь полученные числа составят арифметическую прогрессию. Найдите эти числа.

Решение: Пусть а₁; а₂; а₃- члены геометрической прогрессии, при чем 1. Выразим а₂ и а₃ через а₁ и q; а₂=а₁q; а₃=а₁q². Числа а₁-1; а₁q; а₁q²-19-члены арифметической прогрессии. Тогда:

13q²-26q+13=4+4q+4q², 9q²-30q+9=0,

3q²-10q+3=0, не удовлетворяет условию.

q=3, a₁=20/4=5, a₂=15, a₃=45.

Ответ: 5; 15; 45.

Задача 7. Сумма третьего и девятого членов арифметической прогрессии равна 8. Найдите сумму 11 первых членов этой прогрессии.

Решение: а₃+а₉=8. Выразим слагаемые через а₁ и d.

А₁+2d+a₁+8d=8, 2a₁+10d=8. Подставив это значение в

получим, что S₁₁=4*11=44.

Ответ: 44.

Задача 8. Доказать, что сумма n первых нечетных чисел натурального ряда равна квадрату их количества.

Решение: По условию имеем арифметическую прогрессию (а_n):

a₁=1; d=2. а_n=a₁=d(n-1), a_n=1+2(n-1)=2n-1.

Итак, требуется доказать равенство:

1+3+5=7…+(2n-1)=n².

S_n=1+3+5=7…+(2n-1)=

Ответ: Равенство 1+3+5=7…+(2n-1)=n² верно.

Задача 9. Три положительных числа, дающие в сумме 21, составляют арифметическую прогрессию. Если к ним соответственно прибавить 1, 2, 6, то полученные числа составят геометрическую прогрессию. Укажите эти числа.

Решение: Пусть а₁; а₁+d; а₁+2d арифметическая прогрессия, где а₁-первый член, d-разность.

А₁+1; а₁+d+2; а₁+2d+6 – геометрическая прогрессия.

Используя признак геометрической прогрессии получим:

36=50-5d-d², d²+5d-14=0, d₁=-7, d₂=2.

d₁=-7 не удовлетворяет условию. Если d=2, то а₁=2; а₂=4; а₃=6.

Ответ: 2; 4; 6.

Задача 10. Найдите геометрическую прогрессию, состоящую из 6 членов, зная, что сумма трех первых ее членов равна 168, а сумма трех последних равна 21.

Решение: Пусть с₁; с₂; с₃; с₄; с₅; с₆-члены геометрической прогрессии. Так как S₁=168, a S₆-S₃=21, то получим систему:

168q³=21, q³=1/8, q=1/2,

с₂=48; с₃=24; с₄=12; с₅=6; с₆=3.

Ответ: 96; 48; 24; 12; 6; 3.

Задачи на движение 8-9 классы
1.Теплоход прошел 9 км по озеру и 20 км по течению реки за 1 ч. Найдите скорость теплохода при движении по озеру, если скорость течения реки равна 3 км/ч.
Решение:
Пусть скорость теплохода по озеру х км/тогда его скорость по течению (х+3) км/ч. Пусть по озеру теплоход проходит за 9/х ч, а по течению за 20/х+3 ч. на весь путь он затратил (9/х + 20/х+3)ч, что по условию задачи равно 1 часу. Составим уравнение:
9/х + 20/х+3=1
9(х+3)+20х=х(х+3),где х0
9х+27+20х=х2+3х;
х2-26х-27=0
х1=27
х2=-1)не удовлетворяет условие задачи)

2.Велосипедисту надо было проехать расстояние в 30 км. Выехав на 3 мин позже назначенного срока, велосипедист ехал быстрее на 1 км/ч, чтобы прибыть вовремя на место. Определите скорость, с которой ехал велосипедист.
Решение:
Пусть велосипедист ехал со скоростью х км/ч, тогда планируемая его скорость должна была быть (х-1) км/ч и 30 км он собирался проехать за 30/х-ч ч, а проехал за 30/х ч. Так как велосипедист выехал на 1/20 ч(3 мин=1/20 ч) позже, то можем составить уравнение:
30/х-1-30/х=1/20;
600х-600х+600=х(х-1),где х1,
х2-х-600=0
х1=25
х2=-24(не подходит по условию задачи)
Ответ: 25 км/ч

3.Два пешехода прошли по 6 км. Но первый пешеход был в пути на 1 ч больше второго, потому, что его скорость была на 3 км/ч меньше скорости второго. Сколько времени был в пути каждый пешеход?
Решение:
Пусть второй пешеход был в пути х часов , тогда первый (х+1) ч. Первый шёл со скоростью 6/х+1 км/ч, а второй 6/х км/ч. Скорость первого была на (6/х-6/х+1) км/ч меньше, что по условию задачи равно 3км/ч. Составим уравнение:
6/х-6/х+1=3;
2/х-2/х+1=1;
2(х+1)-2х=х(х+1) - х не должно быть = 0; -1;
2х+2-2х=х2+х;
х2+х-2=0
х1=1
х2=-2(не подходит по условию задачи)
1-й был в пути 2ч(1+1=2), а второй 1 ч.

4. Расстояние по реке между пунктами А и В равно 41 км. Из пункта а в пункт В по течению плывет моторная лодка, собственная скорость которой равна 18 км/ч , а из В в А движется вторая моторная лодка ,собственная скорость которой равна 16 км/ч.При встрече оказалось, что первая лодка плывет 1ч, а вторая 1,5 ч. Найдите скорость течения реки.
Решение:
Пусть х км/ч - скорость течение реки, тогда (18+х) км/ч -скорость одной лодки. (16-х) км/ч -скорость другой;
(18+х) км - путь одной лодки, (16+-х)*1,5 км - путь другой .Общий путь 41(по условию задачи). Получим:
(18+х)+(16-х)*1,5=41
-0,5х=-1
х=2 (км/ч)

5.Катер на подводных крыльях прошел по течению реки за 2 ч такое же расстояние, какое он проходит за 2 ч 15 мин против течения. Скорость течения реки равна 3 км/ч . Найдите собственную скорость катера.
Решение:
Пусть х км/ч - собственная скорость катера, тогда (х+3) км/ч - скорость его по течению реки и (х+3)*2 км -путь катера по течению. (х-3)*2,25 км -против течения реки. По условию задачи путь пройденный по течению равен пути против течения. Получим (х+3)*2=(х-3)*2,25 , где 2ч 15 мин = 2.25 ч. Отсюда имеем -0,25х=-12,75
х=51 - скорость катера

6.Из города А в город В , расстояние между которыми 21 км, выехал велосипедист , а через 20 мин вслед за ним выехал мотоциклист, скорость которого в 2.1/3 раза больше скорости велосипедиста. Найдите скорость велосипедиста ,если известно, что мотоциклист приехал в город на 40 мин раньше него.
Решение:
Пусть скорость велосипедиста х км/ч , тогда расстояние в 21 км он проедет за 21/х ч.Скорость мотоциклиста = 2.1/3 х км/ч. Тогда на весь путь он затратит 21/2.1/3х=9/х(ч)
При этом мотоциклист был в пути на 1 ч меньше велосипедиста (20мин+40 мин) Получим 21/х-9/х=1
х=12

7.Из пункта А в пункт В, отстоящий от а на 75 км, с некоторой постоянной скоростью отправился велосипедист. Затем он выехал обратно с той же скоростью, но через 2 ч после выезда из пункта В был вынужден остановиться на 45 мин. После этого велосипедист продолжил путь, увеличив скорость на 5 км/ч . Найдите первоначальную скорость велосипедиста ,если известно, что на обратном путь он затратил столько же времени, сколько и на путь из пункта А в пункт В.
Решение:
Пусть первоначальная скорость велосипедиста х км/тогда на движение из пункта А в пункт В он потатил 75/хчасов за 2 часа на обратном пути велосипедист пройдет расстояние 2х км. Оставшиеся (75-2х) км он проехал со скоростью (х+5) км/ч за 75-2х/х+5 ч. Итак, на путь из А в В велосипедист потратил 75/х ч ,а на путь из В в А ,учитывая остановку на 45 мин = 3/4 ч., велосипедист потратил (2.3/4 + 75-2х/х+5) ч. Зная, что на обратный путь он затратил столько же времени, сколько и на путь из А в В, получим уравнение : 75/х = 2.3/3 + 75-2х/х+5
75/х=11/4+75-2х/х+5
300х+1500/4х(х+5)=11х2+55х+300х-8х2/4х(х+5)
300х+1500=11х2+55х+300х-8х2
3х2+55х-1500=0
D=21025
х=-55+145/6=15
х=--55-145/6=-100/3

8.Катер прошел 5 км против течения и 14 км по течению реки, затратив на это столько времени, сколько ему понадобилось бы для прохождения 18 км по озеру. Какова собственная скорость катера, если скорость течения реки равна 3 км/ч?
Решение:
Пусть х км/ч - скорость катера, тогда (х+3) км/ч скорость катера по течению; (х-3) км/ч - против течения. 14/х+3 ч - время, затраченное катером по течению, 5/х-3 ч - против течения. По озеру катер прошёл 18 км за 18/х ч. Имеем :
14/х+3 + 5/х-3=18/х;
14х2+5х2+15х =18х2-162;
х2-27+162=0
D=729-648=81=9
х=27+9/2=18
х2=27-9/2=9

9.Велосипедист проехал 40 км из города в деревню. На обратном пути он ехал с той же скоростью, но через 2 ч езды сделал остановку на 20 мин. Начав движение снова, он увеличил скорость на 4 км/ч , поэтому потратил на путь из деревни в город столько же времени, сколько на путь из города в деревню. Найдите скорость велосипедиста на пути из города в деревню.
Решение:
Пусть скорость велосипедиста из города в деревню х км/ч, тогда времени он затратил 40/х ч. За 2 ч обратно он проехал 2х км и ему осталось (40-2х) км, которые он проехал со скоростью (х+4) км/ч и затратил 40-2х/х+4 ч, ликвидировав отставание в 20 мин или 1/3 ч. Так как времени туда и обратно затрачено одинаково, то получаем и решаем уравнение :
40/х=2+1/3 + 40-2х/х+4;
120х+480=7х2+28х+120х-6х2
х2+28-480=0
D=196+480=676=26
х=-14+26=12
х2=-14-26=-40(не подходит условию задачи)

10. Из города а в город В выехал велосипедист . Спустя 44 мин вслед за ним выехал мотоциклист ,скорость которого на 30 км/ч больше велосипедиста. Через 36 мин после своего выхода мотоциклист ,обогнав велосипедиста ,находился от него на расстоянии 7 км. Найдите скорость велосипедиста.
Решение:
Пусть х км/ч скорость велосипедиста, тогда (х+30) км/ч скорость мотоциклиста , 1.1/3 км - путь велосипедиста и (х+30)* 0,6 км путь мотоциклиста. О условию задачи мотоциклист обогнал велосипедиста на 7 км. Получим:
(х+30) * 0,6 - 1.1/3х=7;
х=15 км/ч -скорость велосипедиста

Задачи на проценты 8-9 классы
1. Две бригады лесорубов заготовили в январе 900 м3 древесины. В феврале первая бригада заготовила на 15 % больше, а вторая на 12% больше, чем в январе . Известно, что в феврале они заготовили 1020 м3 древесины. Сколько кубических метров древесины заготовила каждая бригада в январе?
Решение
Пусть одна бригада лесорубов заготовила х м3 древесины, а вторая - у м3. Вместе они заготовили древесины (х+у) м3 или 900м3. Получаем х+у=900 - первое уравнение системы. В феврале первая бригада заготовила 1,15 х м3 древесины, а вторая - 1,12 у м3. В феврале они изготовили (1,15х+1,12у)м3 или 1012м3. Получаем 1,15х+1,12у=1020 - второе уравнение системы.
1) х+у=900
1,15х+1,12у=1020
2)-1,15х-1,15у=-1035
1,15х+1,12у=1020
3) х=400
у=500


2.Одна тракторная бригада вспахала 240 га, а другая - на 35% больше, чем первая. Ежедневно первая бригада обрабатывала на 3 га меньше , чем вторая, но закончила работу на 2 дня раньше второй. Сколько гектаров обрабатывала каждая бригада за рабочий день, если известно, что намеченная ежедневная норма в 20 га перевыполнялась обеими бригадами?
Решение
Обозначим ежедневную норму вспашки первой бригады за х , а второй за х+3. По условию задачи первая бригада вспахала 240 га, а вторая на 35% больше, т.е. 240*0,35+240=324 га
Первая бригада затратила на работу 240/х дней, а вторая 324/х+3 дней.Т.к. первая бригада закончила работу на 2 дня раньше второй, поэтому получаем уравнение:
324/х+3 -240/х=2
324х-20х-720-2х2-6х=0
-2х2+78х-720=0
х2-39х+360=0
D=1521-1440=81=9
х1=39+9/2=24
х2=39-9/2=15
Ответ : 24 га , 27 га

3. Легковой автомобиль проехал за 2 ч на 10 км больше, чем грузовой за 3 ч . Если бы скорость легкового автомобиля была меньше на 25 % , а грузового - на 20 % , то грузовой за 5 ч проехал бы на 20 км больше , чем легковой за 3 ч. Найдите скорость каждого автомобиля.
Решение
Пусть скорость легкового автомобиля х км/час, а грузового - у км/ч.Тогда за 2 ч легковой автомобиль проедет 2х км, а грузовой за 3 ч - 3у км. По условию 2х-3у=10. Если скорость легкового автомобиля станет х-0,25х=0,75х км/ч,а грузового у-0,2у=0,8у км/ч, то за 5 ч грузовик проедет 0,8у*5=4у км, а легковой за 3 ч проедет 0,75х*3=2,25х км
При этом 4у-2,25х=20
Получим систему:
1) 2х-3у=10
4у-2,25х=20
2)8х-12у=40
-6,75х+12у=60
3)х=80
у=50

4.Сплав меди и цинка содержал меди на 640 г больше, чем цинка. После того как из сплава выделили 6/7 содержащейся в нем меди и 60% цинка , масса сплава оказалась равной 200 г . Определите первоночальную массу сплава.
Решение
Пусть первоначальная масса цинка х г, а масса меди -(х+640) г. Если извлечь 6/7 массы меди , т.е.е(х+640)*6/7 г и 3/5 массы цинка, то получим 3/5 х г, таким образом, извлечённая масса будет равна:
((х+640)*6/7 +3/5х) г или (2х+640-200)г.
Получаем уравнение:(х+640)*6*5+3*7х=2х+400
30х+19200+21х=70х+15400
-19х=-3800
х=200
Первоначальная масса цинка 200 г,масса меди 840г,масса сплава 1040г.

5.В двух баках содержится 64 л бензина. Если из первого бака перелить во второй 20 % имеющегося в нем бензина, а затем из второго обратно в первый 20 % , оказавшегося в нем бензина, то в обоих баках будет бензина поровну. Сколько бензина в каждом баке?
Решение
Пусть в первом баке содержится х л бензина, а во втором - у л. Тогда х+у=64. После первого переливания в первом баке останется 0,8х л, а во втором станет (у+0,2х) л бензина. После второго переливания в первом баке окажется (0,8х+0,2(у+0,2х)) л , а во втором останется -(у+0,2х-0,2(у+0,2х)=0,8*(у+0,2х) (л)
По условию эти объёмы равны, т.е.:
0,8х+0,2(у+0,2х)=0,8(у+0,2х)
0,8х+0,04-0,16х=0,8у-0,2у
17х=15у
Получим систему уравнений и решаем её:
1) х+у=64
17х=15у
2)х=64-у
17*(64-у)=15у
3)х=30
у=34


6. За 3,5 часа работы один штамповочный пресс может изготовить 42% всех заказанных деталей. Второй пресс за 9 ч работы может изготовить 60 % всех деталей ,а скорость выполнения работы на третьем прессе относится к скорости выполнения на втором, как 6:5. За какое время будет выполнен весь заказ, если все три пресса будут работать одновременно?
Решение
Пусть заказ составляет х деталей , тогда первый пресс за 1 час изготавливает 0,42х3,5=3х/25 (дет.) , второй за это время- 0,6х/9=х/15 (дет.)
а третий - 6/5*х/15=2х/25 (дет.), Время , за которое будет выполнен весь заказ при одновременной работе трёх прессов, равно х:(3х/25+х/15+2х/25)=15/4 (ч)


7.В январе производительность труда в цехе завода повысилась на 10% по сравнению с плановой , а в феврале на 6 % по сравнению с январем. На сколько процентов цех перевыполнил план выработки изделий за эти два месяца?
Решение
Пусть весь план - х изделий. В январе изготовлено 1,1х(изд.). В феврале 1,1х*1,06=1,166х (изд.) За два месяца план перевыполнили на 0,266х изделий в сравнении с планом за два месяца (2х изделий). Имеем:
0,266х/2х * 100%=13,3%


8.Один раствор содержит 30 % (по объему) азотной кислоты, а второй 55 % азотной кислоты. Сколько нужно взять первого и второго раствора, чтобы 100 л пятидесятипроцентного раствора азотной кислоты?
Решение
Пусть первого раствора взяли х л, в нем 30 % или 0,3х л кислоты. Второго раствора у л, в не 55% или 0,55у л кислоты. Новый раствор 50 % его 100 л , в нем 100*0,5=50(л) кислоты. По условию задачи составим систему уравнение:
1)0,3х+0,55у=50
х+у=100
2)х=100-у
0,3(100-у)+0,55у=50
3)у=80
х=20

Задачи на скорость

1.Лодка двигалась 2 ч. со скоростью 5,2 км/ч, 3 ч. со скоростью 6,4 км/ч и 5 ч. со скоростью 5,5 км/ч. Найдите среднюю скорость лодки на всем пути.

Решение.

1) 5,2 *2 = 10,4 (км) – прошла лодка за 2 часа;

2) 6,4 *3 =19,2 (км) – прошла лодка за 3 часа;

3)5,5 * 5 = 27,5 (км) – прошла лодка за 5 часов;

4) 2 + 3 +5 = 10 (ч) – время ,затраченное на весь путь;

5) 10,4 + 19,2 + 27,5 = 57,1 (км) – весь путь;

6) 57,1 : 10 =5,71 (км/ч) – средняя скорость лодки.

Ответ: 5,71 км/ч.

2.Катер прошел по течению реки 76 км и по озеру 93 км. Найти среднюю скорость катера, если его собственная скорость равна 31 км/ч, а скорость течения реки 7 км/ч.

Решение.

1) 93 : 31 = 3 (ч) – время движения по озеру;

2)31 + 7 = 38 (км/ч) – скорость по течению;

3) 76 : 38 = 2 (ч) – время движения по реке;

4)3 + 2 = 5 (ч) – все время движения;

5) 93 + 76 = 169 (км) – весь путь;

6) 169 : 5 = 33,8 (км/ч) – средняя скорость катера.

Ответ: 33,8 км/ч.

3.Моторная лодка прошла вверх по реке 96 км, а вниз 240 км. Найдите среднюю скорость лодки на всем пути, если ее собственная скорость 20 км/ч , а скорость течения реки 4 км/ч.

Решение.

1)20 + 4 =24 (км/ч) – скорость лодки по течению;

2) 20 – 4 = 16(км/ч) – скорость лодки против течения;

3)96 : 16 = 16 (ч) – время движения лодки против течения;

4)240 : 2 4 =10 (ч) – время движения лодки по течению;

5) (240 + 96) : (10 + 6) = 336 : 16 = 21 (км/ч) – средняя скорость лодки.

Ответ: 21 км/ч.

4.Вертолет, идущий на посадку с высоты 800 м, опускается за каждую секунду на 5 м, а запущенные в это время шар-зонд поднимается за каждую секунду на 3 м.Через сколько секунд шар и вертолет окажутся на одной высоте? На какой высоте они будут в это время над землей?

Решение.

1) 5 + 3 = 8 (м/с) –скорость сближения вертолета и зонд –шара;

2) 800 : 8 = 100 (с) – через это время они окажутся на одной высоте;

3) 3 * 100 = 300 (м) – высота над землей, на которой встретятся шар-зонд и вертолет .

Ответ: 100 с, 300 м.

5.Путешественник шел 2 ч. со скоростью 6,3 км/ч, ехал на велосипеде 3 ч. со скоростью 12,6 км/ч и плыл 4 ч. На лодке со скоростью 9,9 км/ч. Найдите среднюю скорость путешественника.

Решение.

1) 6,3 * 2 = 12,6 (км) – шел турист пешком;

2)12,6 * 3 = 37,8 (км) – ехал турист на велосипеде;

3)9,9 * 4 = 39,6 (км) – плыл турист на лодке;

4) 12,6 + 37,8 +39,6 = 90(км) – весь путь туриста;

5)2 + 3 +4 = 9 (ч) –время, затраченное туристом на весь путь;

6) 90 : 9 = 10 (км/ч) – средняя скорость туриста.

Ответ: 10 км/ч.

6.Из поселка в одном направлении одновременно выехали два велосипедиста. Скорость одного из них 14,5 км/ч, а скорость другого 13 км/ч.Какое расстояние будет между ними через 2 часа?

Решение.

1. 14,5 *2 = 29 (км) – проедет 1 велосипедист за 2 ч.

2. 13*2 =26 (км) – проедет 2 велосипедист за 2 ч.

3. 29-26 = 3 (км) – будет между ними через 2ч.

Ответ: 3 км.

2 способ решения. 1) 14,5 – 13 – 1,5 (км/ч) – разность скоростей двух велосипедистов .

2) 1,5 * 2 = 3 (км) – расстояние между ними через 2 ч.

Ответ: 3 км.

515.Теплоход и катер отправились одновременно от одной пристани в одном направлении. Скорость теплохода 27 км/ч , скорость катера - 19 км/ч . Через сколько часов после отправления катер отстанет от теплохода на 28 км?

Решение.

Пусть катер отстанет от теплохода на 28 км через х ч.Тогда за это время теплоход пройдет 27х (км), а катер за это время 19х (км).Получим уравнение 27х-19х = 28.

Решаем уравнение:

27х-19х = 28; 8х=28; х = 28: 8; х = 3,5.

Через 3,5 ч. Катер отстанет от теплохода на 28 км.

Ответ: 3,5 ч.

2 способ решения.1)27-19 = 8 (км/ч) – разность скоростей двух катеров.

2) 28 : 8 = 3,5 (ч.) – катер отстанет от теплохода.

Ответ: 3,5 ч.

7.Автомобиль «Волга» расходует 9 л бензина на 60 км пути. Сколько литров бензина потребуется для пробега в 240 км пути?

Решение. 1) 9 : 60 = _ (л) – расход бензина на 1 км.

2)_ * 240 = 36 (л) – расход на 240 км. Ответ 36 л.

2 способ решения. 1) 240 : 60 = 4 (раза) – во столько раз больше потребуется для 240 км, чем для 60 км.

2)9 * 4 = 36 (л) – расход бензина на 240 км.

Ответ: 36 л.

530.Турист прошел 14 км за 3,5 часа. Сколько километров он пройдет за 4,5 ч, если будет двигаться с той же скоростью? Решить с помощью пропорции.

Решение. 14 км – 3,5 ч.

Х км – 4,5 ч.

Составим и решим пропорцию: _ = _ , х = _ , х = 18,

За 4,5 ч. Турист пройдет 18 км.

Ответ: 18 км.

8. Из одного пункта одновременно и противоположных направлениях вышли два пешехода. Через 2 часа расстояние между ними было 18 км. Найдите скорость другого пешехода, если скорость первого была 4 км/час.

Решение. 1 способ

1) 18 : 2 = 9 (км/ч) - скорость удаления пешеходов.

2) 9 – 4 = 5 (км/ч) – скорость 2 пешехода. Ответ 5 км/ч.

2 способ

1)4 * 2 = 8 (км) – путь 1 пешехода.

2) 18 – 8 = 10 (км) – путь 2 пешехода.

3) 10 : 2 = 5(км/ч) – скорость 2 пешехода.

Ответ: 5 км/ч.

Задача 1. Станок разрезает 300 шестиметровых досок на куски по 2 метра в каждом за 1 час. Сколько времени потребуется, чтобы на этом же станке разрезать 200 восьмиметровых досок такой же ширины и толщины на куски по 2 метра в каждом?

Решение . Для того, чтобы разрезать 300 шестиметровых досок на куски по 2 метра каждый, требуется сделать 600 распилов (два распила на доску). Для того чтобы разрезать 200 восьмиметровых досок, также требуется 600 распилов.

Ответ: Один час.

Задача 2. Школа - интернат купила 675 метров красной, синей и черной ткани для пошива пальто. Когда израсходовали половину красной, две третьих синей, три четвёртых чёрной ткани, то осталось каждого цвета ткани поровну. Сколько метров ткани каждого цвета было куплено?

Решение . За x обозначим количество красной ткани. 1 / 3 синей ткани равна x / 2,то есть 3x / 2 купили синей ткани, 4x / 2 = 2x купили чёрной ткани, следовательно, x + 3x / 2 + 2x == 675.

Ответ: Купили 150 метров красной,225 метров синей,300 метров чёрной ткани.

Задача 3. Поезд проходит мост длиной 450 метров за 45 секунд, а мимо светофора за 15 секунд. Найдите длину поезда и его скорость.

Решение . За 45 секунд поезд проходит расстояние, равное длине моста и длине поезда вместе, а за 15 с расстояние, равное длине поезда (сделайте рисунок). Следовательно, длину моста (450 м) он проходит за 30 с, т.е. его скорость равна 450:30=15(м/с). Теперь можно найти длину поезда, ведь именно свою длину поезд "протягивает" мимо светофора за 15 с со скоростью 15 м/с, его длина равна 15*15=225(м).

Ответ: 225(м).

Задача 4. На прокорм 6 лошадей и 40 коров ежедневно отпускают 472 кг сена, а на прокорм 12 лошадей и 37 коров- 514 кг сена. Сколько сена потребуется при такой же ежедневной норме на прокорм 30 лошадей и 90 коров с 15 октября по 25 марта включительно (год невисокосный)?

Решение . На прокорм 12 лошадей и 80 коров ежедневно отпускается 472*2=994 кг сена, 80 – 37 = 43 коровы съедают в день 944 – 514 = 430 кг сена. Промежуток с 15 октября по 25 марта содержит 162 дня

.Ответ: 204120 кг сена.

Задача 5. Расстояние между пристанями на реке 43,2 км. Моторная лодка, идя по течению реки, затрачивает на этот путь 2 ч 24 мин. Сколько времени затрачивает эта лодка на этот же путь, идя против течения, если скорость течения 1,8 км/ч?

Решение . 1) 43,2 : 2,4 = 18 (км/ч) - скорость лодки по течению; 2) 18 - 1,8 * 2 = 14,4 (км/ч) - против течения 3) 43,2 : 14,4 = 3 (ч) - затратит лодка на этот же путь, идя против течения.

Ответ: 3 часа.

Задача 6. Пароход прошел расстояние между двумя пристанями, двигаясь по течению реки, за 4,5 ч. На обратный путь пароход затратил 6,3 ч. Скорость течения реки составляет 40 м в минуту. Найти расстояние между пристанями.

Решение . 4,5 ч = 270 мин, 6,3 ч = 378 мин.

{1 : [(1/270 - 1/378) : 2 ]} = 75600 (м) или 75,6 км.

Ответ: 75,6 км.

Задача 7. Чашка и блюдце вместе стоят 2500 руб. а 4 чашки и 3 блюдца стоят 8870 руб. Найдите цену чашки и блюдца.

Решение . 1) 4 чашки и 4 блюдца стоят 10000 руб., а 4 чашки и 3 блюдца стоят стоят 8870 руб., следовательно, цена одного блюдца 10000 - 8870 = 1130 (руб.), 2) цена одной чашки 2500 - 1130 = 1370 (руб.).

Задача 8. Известно, что 4 персика, 2 груши и яблоко вместе весят 550 г, а персик, 3 груши и 4 яблока вместе весят 450 г. Сколько весят персик, груша и яблоко вместе?

Решение . 4 персика, 2 груши и яблоко весят 550 г, персик, 3 груши и 4 яблока - 450 г. Следовательно, 5 персиков, 5 груш, 5 яблок весят 1000 г. Таким образом, персик, груша и яблоко вместе весят 200 г. 

Задача 9. Имея полный бак топлива, катер может проплыть 36км против течения и 60км по течению. На какое наибольшее расстояние он может отплыть при условии, что топлива должно хватить и на обратный путь?

Решение . Пусть полный бак содержит 180 кг топлива. Тогда на каждый километр против течения тратится 5 кг, а по течению - 3 кг топлива. Следовательно, на 1 км по течению и против течения нужно 8 кг топлива. Имеем: 180:8 = 22,5 (км).

Задача 10.Самолет вылетел из Москвы в час ночи 15 декабря по московскому времени и прибыл в город N в семь утра того же дня по местному времени.
В полдень 15 декабря по N-скому времени он вылетел в город p и прибыл туда в 13.00 того же дня по p-скому времени.
Через два часа он вылетел в Москву и вернулся туда в 18.00 15 декабря по московскому времени.Сколько времени самолет находился в воздухе?
Решение:
Самолет отсутствовал в Москве 17 часов с 1.00 до 18.00,
при этом он находился на земле всего 7 часов с 7.00 до 12.00 по местному времени в городе Nи с 13.00 до 15.00 местного времени в городе p.
Следовательно, все остальное время он летел.

Задача 11.У Васи и Пети по 55 гирь весом 1, 2,, 55 кг.
Они по очереди подкладывают свои гири каждый на свою чашу двухчашечных весов.
Первым ходит Вася. Петя выигрывает, если разность масс гирь на чашах окажется равной 50 кг.Сможет ли он этого добиться?
Решение:
Ответ. Да.
1. Петя может просто повторять ходы Васи.
В какой-то момент Вася вынужден будет сходить гирей 50 кг и немедленно проиграет.

2. Петя откладывает в сторону свою 50-килограммовую гирю и ходит как угодно остальными гирями.
В конце игры Вася выложит все гири, а Петя все, кроме 50-килограммовой.
Следовательно, чаша Васи будет весить на 50 кг тяжелее.

Задача 12.Самолет вылетел из Москвы в час ночи 15 декабря по московскому времени и прибыл в город N в семь утра того же дня по местному времени.
В полдень 15 декабря по N-скому времени он вылетел в город p и прибыл туда в 13.00 того же дня по p-скому времени.
Через два часа он вылетел в Москву и вернулся туда в 18.00 15 декабря по московскому времени.Сколько времени самолет находился в воздухе?
Решение:
Самолет отсутствовал в Москве 17 часов с 1.00 до 18.00,
при этом он находился на земле всего 7 часов с 7.00 до 12.00 по местному времени в городе N
и с 13.00 до 15.00 местного времени в городе p.
Следовательно, все остальное время он летел.

Задача 13.У Васи и Пети по 55 гирь весом 1, 2,, 55 кг.
Они по очереди подкладывают свои гири каждый на свою чашу двухчашечных весов.
Первым ходит Вася. Петя выигрывает, если разность масс гирь на чашах окажется равной 50 кг.Сможет ли он этого добиться?
Решение:
Ответ. Да.
1. Петя может просто повторять ходы Васи.
В какой-то момент Вася вынужден будет сходить гирей 50 кг и немедленно проиграет.

2. Петя откладывает в сторону свою 50-килограммовую гирю и ходит как угодно остальными гирями.
В конце игры Вася выложит все гири, а Петя все, кроме 50-килограммовой.
Следовательно, чаша Васи будет весить на 50 кг тяжелее.

Задача 14 :
График линейной функции отсекает от второй координатной четверти равнобедренный прямоугольный треугольник с длинами катетов, равными 3. Найдите эту функцию.

Решение :
Данный график образует с осью абсцисс такой же угол в 45, как и биссектриса первого и третьего координатных углов. Значит, ее угловой коэффициент равен 1. Поскольку при x = 0 значение функции равно 3, то искомая функция есть y = x + 3.

Задача 15 :Банк ОГОГО меняет рубли на тугрики по 3000 рублей за тугрик, и еще берет 7000 рублей за право обмена независимо от меняемой суммы. Банк ЙОХОХО берет за тугрик 3020 рублей, а за право обмена берет 1 тугрик (тоже независимо от меняемой суммы). Турист установил, что ему все равно, в каком из банков менять деньги. Какую сумму он собирается менять?

Решение :
Если у туриста было X рублей, то в банке ОГОГО он получит за них (X – 7000) / 3000 тугриков, а в банке ЙОХОХО X / 3020 – 1 тугриков. Решая уравнение ( x – 7000 ) / 3000 = X / 3020 – 1, получаем X = 604000 (руб.).

Задача 16 : Из чисел A, B и C одно положительно, одно отрицательно и одно равно 0. Известно, что A = B (B – C). Какое из чисел положительно, какое отрицательно и какое равно 0? Почему?

Решение :
Если A = 0, то либо B = 0, либо B – C = 0. Ни то, ни другое невозможно. Поэтому A не 0. Если B = 0, то и A = 0. Это тоже невозможно. Поэтому B не 0. Следовательно, C = 0, и равенство из условия задачи можно переписать в виде A = B . Отсюда следует, что B 0. Значит, B положительно, а A – отрицательно.

Задача 17 :ABC – прямоугольный треугольник с гипотенузой AB. На прямой AB по обе стороны от гипотенузы отложены отрезки AK = AC и BM = BC. Найдите угол KCM.

Решение :
По теореме о внешнем угле треугольника сумма углов CKA и KCA равна углу CAB. Поскольку треугольник CAK – равнобедренный, KCA = CKA = CAB / 2. Аналогично, BCM = BMC = CBA / 2. Таким образом, KCM = KCA + ACB + BCM = ACB + ( CAB + CBA) / 2 = 90 + 45 = 135.

Задача 18 : Можно ли расположить в кружочках на рисунке натуральные числа от 1 до 11 так, чтобы суммы трех чисел на каждом из пяти выходящих из центра отрезков равнялись одному и тому же числу A, а суммы пяти чисел в вершинах внутреннего и внешнего пятиугольников равнялись одному и тому же числу B? Если да, то как? Если нет, то почему?

Решение :
Покажем, что расставить числа требуемым образом нельзя. Допустим, это удалось. Обозначим через X число, стоящее в центральном кружочке. Все остальные числа стоят в кружочках, образующих два пятиугольника. Поэтому X + 2B = 1 + ......+ 11 = 66, откуда X = 66 – 2B. Значит, число X должно быть четным. Теперь сложим все суммы чисел, стоящих на выходящих из центра отрезках. Получится 5A. При этом число X будет сосчитано пять раз, а все остальные – по одному разу. Поэтому 5A = 4X + (1 + ........... + 11) = 4X + 66 (*). Значит, число 4X + 66 должно делиться на 5. Этому условию среди чисел от 1 до 11 удовлетворяют только числа 1, 6 и 11, и при этом только число 6 четно. Следовательно, X = 6. Подставляя найденное значение X в уравнение (*), находим, что A = 18. Стало быть, на каждом из пяти выходящих из центра отрезков сумма двух чисел, стоящих там вместе с числом X, должна равняться 18 – 6 = 12. Получается, что на одном отрезке должны стоять числа 1 и 11, 2 и 10, 3 и 9, 4 и 8, 5 и 7. Заметим, что три из пяти перечисленных пар состоят из нечетных чисел, а две – из четных. Поэтому в вершинах каждого из двух пятиугольников должны стоять три нечетных и два четных числа. Это означает, что число B должно быть нечетным. Но из доказанного выше равенства X = 66 – 2B при X = 6 получаем B = 30. Противоречие.

Задача 19 :Когда Винни-Пух пришел в гости к Кролику, он съел 3 тарелки меда, 4 тарелки сгущенки и 2 тарелки варенья, а после этого не смог выйти наружу из-за того, что сильно растолстел от такой еды. Но известно, что если бы он съел 2 тарелки меда, 3 тарелки сгущенки и 4 тарелки варенья или 4 тарелки меда, 2 тарелки сгущенки и 3 тарелки варенья, то спокойно смог бы покинуть нору гостеприимного Кролика. От чего больше толстеют: от варенья или от сгущенки?

Ответ : от сгущенки.

Решение :
По условию 3м + 4с + 2в  2м + 3с + 4в,

откуда м + с  2в. (*)

По условию же 3м + 4с + 2в  4м + 2с + 3в,

откуда 2с  м + в.

Складывая последнее неравенство с неравенством (*), получаем м + 3с  м + 3в, откуда с  в.

Задача 20 :Сумма квадратов n простых чисел, каждое из которых больше 5, делится на 6. Докажите что и n делится на 6.

Решение. Если сумма нескольких чисел делится на шесть, то и сумма их остатков при делении на шесть тоже будет делится на 6. Простое число, большее пяти, может иметь при делении на 6 только остатки 1 или 5 (иначе это число будет делиться на 2 или 3). Следовательно, квадрат любого простого числа, большего чем 5, имеет при делении на 6 остаток 1. Так как сумма этих остатков равна количеству чисел n, значит n делится на 6.

Задача 21 :Петя и Вася сделали в тире по 5 выстрелов. Первыми тремя выстрелами они выбили поровну, а последними тремя Петя выбил в три раза больше очков, чем Вася. На мишени остались пробоины в 10, 9, 9, 8, 8, 5, 4, 4, 3, 2 очков. Куда попал каждый из них третьим выстрелом? Приведите все возможные варианты ответа и докажите, что других нет.

Ответ. Третьим выстрелом Петя выбил 10, а Вася - 2 очка.

Решение. Последними тремя выстрелами Вася не мог выбить больше, чем 9 очков (иначе Петя бы выбил последними тремя выстрелами не меньше 30). Меньше 9 очков Вася тоже выбить не мог, так как наименьшая сумма за три выстрела 2+3+4 = 9. Следовательно, Вася выбил 2, 3 и 4 очка а Петя 10, 9 и 8 очков (других вариантов набрать 27 очков тремя выстрелами нет). Значит первыми двумя выстрелами мальчики выбили 9, 8, 5 и 4 очка. При этом Петя третьим выстрелом выбил не меньше, чем 8, а Вася - не больше, чем 4 очка. Так как сумма очков после первых трех выстрелов была равной, значит, первыми двумя выстрелами Петя выбил по крайней мере на четыре очка меньше, чем Вася. Единственная возможность - Вася выбил 9 и 8, а Петя 5 и 4 очка, следовательно, третьим выстрелом Вася выбил 2, а Петя 10 очков.

Задача 22 :Если дату 10 февраля 2001 года записать в виде 10.02.2001, а затем убрать точки, то получится палиндром (т.е. число, читающееся слева направо и справа налево одинаково). Найдите ближайшую к 10.02.2001 дату, обладающую тем же свойством. Рассмотрите два случая:
1) требуемая дата еще не наступила,
2) требуемая дата уже прошла.
Ответ обосновать.

Ответ. 1) 20 февраля 2002 2) 29 ноября 1192 года.

Решение.
Заметим, что при условии, что дата записывается как палиндром, день и месяц однозначно находятся по заданному году.

пункт (1): в 2001 году других палиндромов быть не может, а в следующем (2002) году это должен быть 20 день второго месяца.

Пункт (2): Чтобы дата была как можно ближе к 2001 году, необходимо брать самый большой возможный год, меньший 2001. Вторая цифра года должна быть первой цифрой месяца, то есть 0 или 1, т.к. месяцев не больше 12. В 2000 году палиндрома быть не может (нулевого дня не бывает), следовательно, первые две цифры года - 11 (соответственно, месяц - ноябрь). Третью цифру года нужно взять максимально возможную, т.е. девять, тогда четвертой (так как в ноябре не больше 31 дня) может быть два. Получится дата-палиндром 29.11.1192.

Задача 23 : В трех кучках лежат соответственно 12, 24 и 19 спичек. За ход можно переложить спичку из одной кучки в другую. За какое наименьшее число ходов можно получить три кучки с 8, 21 и 26 спичками?

Ответ : 4.

Решение : Менее чем 4 ходами не обойтись: чтобы получить кучку из 8 спичек, придется из любой первоначальной кучки убрать как минимум 4 спички. Четырех ходов достаточно: перекладываем из кучки с 12 спичками по 2 спички в кучки с 19 и 24 спичками.

Задача 24 :Сколько всего есть четырехзначных чисел, которые делятся на 19 и оканчиваются на 19?

Ответ : 5 .

Решение :
Пусть — такое число. Тогда N – 19 тоже кратно 19. Но Поскольку 100 и 19 взаимно просты, то двузначное число делится на 19. А таких всего пять: 19, 38, 57, 76 и 95. Легко убедиться, что все числа 1919, 3819, 5719, 7619 и 9519 нам подходят.

Задача 25 :У даты 12.04.1961 (то есть 12 апреля 1961 года) сумма цифр равна 24. Найдите ближайшую дату после 01.01.2008, у которой сумма цифр равна: а)  35; б)  7.

Ответ : а) 29.09.2049; б) 03.01.2010.

Решение :
а) Наибольшая сумма цифр числа равна 11 для 29-го числа. Наибольшая сумма цифр месяца равна 9 для сентября, то есть для 09. Значит, наибольшая сумма цифр в текущем году будет у даты 29.09.2008. Она равна 30, что меньше 35. Следовательно, надо менять и год. Последняя цифра года не более 9, и если мы сохраняем первые две цифры, то придется цифру десятилетий увеличить до 4.

б) Для 2008 года сумма цифр года уже больше 27, поэтому год придется изменить. Ближайший год в будущем с меньшей суммой цифр — 2010-й. Соответственно, ближайшая подходящая дата 03.01.2010.

Задача 26 :Среди целых чисел от 8 до 17 включительно зачеркните как можно меньше чисел так, чтобы произведение оставшихся было точным квадратом. В ответе укажите сумму всех вычеркнутых чисел.

Ответ : 55.

Решение :Чтобы произведение было точным квадратом, нужно, чтобы каждый простой множитель входил в него в четной степени. В произведение 8 · 9·...· 17 в нечетной степени входят 2, 7, 11, 13 и 17. Значит, мы обязаны вычеркнуть сомножители 11, 13 и 17. А вот чтобы «убить» лишние простые множители 2 и 7, хватит одного вычеркнутого сомножителя 14. Итого сумма вычеркнутых чисел равна 11 + 13 + 14 + 17 = 55.

Задача 27 :На гранях кубика расставлены 6 различных чисел от 6 до 11. Кубик бросили два раза. В первый раз сумма чисел на четырех боковых гранях оказалась равна 36, во второй — 33. Какое число написано на грани, противоположной той, где написана цифра 10?

Ответ : 8.

Решение : Cумма чисел на всех гранях равна 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 = 51. При первом броске сумма на верхней и нижней гранях равна 51 – 36 = 15, при втором — 51 – 33 = 18. Значит, на третьей паре противоположных граней сумма равна 51 – 15 – 18 = 18. Сумму 18 можно получить двумя способами: 11 + 7 или 10 + 8. Значит, на парах граней с суммой 18 напротив 11 находится 7, а напротив 10 — 8.

Задача 28 :В конкурсе участвовали 5 человек. На каждый вопрос один из них дал неправильный ответ, остальные — правильный. Число правильных ответов у Пети равно 10 — меньше, чем у любого другого. Число правильных ответов у Васи равно 13 — больше, чем у любого другого. Сколько всего вопросов было в конкурсе?

Ответ : 14 .

Решение : Так как на каждый вопрос были даны 4 правильных ответа, общее число правильных ответов делится на 4. Поскольку Петя дал 10 верных ответов, Вася — 13, а остальные трое — от 11 до 12, то общее число правильных ответов не меньше, чем 10 + 13 + 3·11 = 56, и не больше, чем 10 + 13 + 3·12 = 59. Из чисел в этих пределах только 56 кратно 4, поэтому число вопросов равно 14.

Задача 29 :Команда из Пети, Васи и одноместного самоката участвует в гонке. Дистанция разделена на участки одинаковой длины, их количество равно 42, в начале каждого — контрольный пункт. Петя пробегает участок за 9 мин, Вася — за 11 мин, а на самокате любой из них проезжает участок за 3 мин. Стартуют они одновременно, а на финише учитывается время того, кто пришел последним. Ребята договорились, что один проезжает первую часть пути на самокате, остаток бегом, а другой — наоборот (самокат можно оставить на любом контрольном пункте). Сколько участков Петя должен проехать на самокате, чтобы команда показала наилучшее время?

Ответ : 18

Решение :Если Петя проедет 18 участков и пробежит оставшиеся 42 – 18 = 24, он затратит 18·3 + 24·9 = 270 мин. При этом Васе, наоборот, достанется проехать 24 участка, а пробежать 18, на что уйдет 24·3 + 18·11 = 270 мин — то же самое время. Если же Петя проедет меньшее число участков, то его время (и, соответственно, время команды) увеличится. Если Петя проедет большее количество участков, то увеличится время Васи (и время команды).

Достаточно обозначить число проезжаемых Петей участков через x и решить уравнение

x·3 + (42 – x)·9 = (42 – x)·3 + 11x.

Задачи на движение

ЗАДАЧА 1

В данный момент расстояние между двумя таксистами 345 км. На каком расстоянии будут находиться таксисты через два часа, если скорость одного 72 км /ч., а другого  -68 км /ч., и они выезжают навстречу друг другу одновременно?

Первый способ решения
1) 72 + 68 =140 (км /ч.) – скорость сближения таксистов.
2) 140 * 2 = 280 (км) – на такое расстояние таксисты    приблизятся друг к другу за 2 часа.
3) 345 – 280 = 145 (км) – на таком расстоянии будут таксисты через 2 часа.
Ответ: 145 км.

Второй способ решения

1) 72 * 2 =144 (км) – такое расстояние проедет один таксист за 2 часа.

2)  68 * 2 = 136 (км) – такое расстояние проедет другой таксист за 2 часа.

3) 144+ 136 =280 (км) – на такое расстояние таксисты приблизятся друг к другу за 2 часа.

4) 345 – 280 = 145 (км) – на таком расстоянии будут таксисты через 2 часа.

Ответ: 145 км.

ЗАДАЧА 2

Расстояние между городами А и В 720км. Из А в В вышел скорый поезд со скоростью 80 км /ч. Через 2 часа навстречу ему  из В в А  вышел

пассажирский поезд  со  скоростью 60 км /ч. Через  сколько  часов после   выхода  пассажирского  поезда  эти  поезда встретятся?

Решение

1) 80*2=160(км) -прошёл скорый поезд за 2 часа.

2) 720-160=560(км) -осталось пройти поездам.

3) 80+60=140(км/ч) -скорость сближения 2 поездов.

4) 560:140=4(ч) -был в пути пассажирский поезд.

Ответ: 4часа.

ЗАДАЧА 3

Из двух пунктов навстречу друг другу одновременно выехали два автобуса.  Скорость  одного  автобуса  45 км /ч,  а скорость другого автобуса 72 км /ч. Первый автобус до встречи проехал 135км.
Найдите расстояние между пунктами.

Решение

Первый способ решения
1) 135 : 45 = 3 (часа) – ехали автобусы до встречи.
2) 72 * 3 = 216 (км) – проехал второй автобус до встречи.
3) 135 + 216 = 351 (км) – расстояние между пунктами.
Ответ: 351 км.

Второй способ решения

1) 135 : 45 = 3 (часа) – ехали автобусы до встречи.

2) 45 +72 = 117 (км/ ч.). – скорость сближения автобусов .

3) 117 * 3 = 351 (км) – расстояние между пунктами.

Ответ: 351 км.

Что такое скорость сближения?

ЗАДАЧА 4

Машина и автобус выехали из двух городов, находящихся на расстоянии 740 км навстречу друг другу со скоростями 70 км/ч и 50 км/ч.  Какое расстояние будет между машинами через 5 часов?

Решение

Первый способ решения

1) 50 * 5 = 250 (км) – проедет машина до встречи.

2) 70 * 5 = 350 (км) – проедет автобус до встречи.

3) 250 + 350 = 600 (км) - на такое расстояние они приблизятся друг к другу.

4) 740 -600 = 140 (км)  - такое расстояние будет между ними через 5 часов.

Ответ: 140 км.

Второй способ решения

1) 50 + 70 = 120 (км /ч.) – скорость сближения автобуса и машины.

2) 120 * 5 = 600 (км) – на такое расстояние они приблизятся друг к другу.

3) 740 – 600 = 140 (км) – такое расстояние будет между ними через 5 часов.

Ответ: 140 км.

ЗАДАЧА 5

Две гоночные машины выехали навстречу друг другу. Расстояние между ними было 660 км. Одна ехала со скоростью 100 км/ч, а другая 120 км/ч.  Через какое время они встретятся?

Решение

1) 100+120=220(км/ч)- скорость сближения машин .

2) 660:220=3(ч) -через такое время встретятся гоночные машины.

Ответ: через 3 часа.

ЗАДАЧА 6

Из одного логова одновременно в противоположных направлениях выбежало два тигра. Скорость одного тигра 48 км / ч.,  а  другого  – 54 км ч. Какое расстояние будет между тиграми через 3 часа?

Решение

Первый способ решения

1) 48 * 2 = 96 (км) – пробежит один тигр за 2 часа.

2) 54 * 2 = 108 (км) – пробежит другой тигр за 2 часа.

3) 96 + 108 = 204 (км) – будет между тиграми через 2 часа.

Ответ: 204 км.

Второй способ решения

1) 48 + 54 =102 (км /ч.) – скорость удаления тигров.

2) 102 * 2 =204 (км) – будет между тиграми через 2 часа.

Ответ: 204 км.

ЗАДАЧА 7

Максим и Саша вышли из школы со скоростью 50 м/мин. Рома вышел вслед за ними через 6 минут со скоростью 80 м/мин. Через сколько минут  Рома догонит Максима и Сашу?

Решение

1) 80 - 50 = 30 (км /ч.) –скорость сближения мальчиков.

2) 50 * 6 = 300 (км) – такое расстояние было между мальчиками перед выходом из школы Ромы.

3) 300 : 30 = 10 (мин.) – через такое время Рома догонит друзей.

Ответ: через 10 мин.

Звдача 8: Первый турист проехал 2 ч на велосипеде со скоростью 16 км/ч. Отдохнув 2 ч, он отравился дальше с прежней скоростью. Спустя 4 ч после старта велосипедиста ему вдогонку выехал второй турист на мотоцикле со скоростью 56 км/ч. На каком расстоянии от места старта мотоциклист догонит велосипедиста?

Решение: Пусть туристы отправились из точки А. Точка В - место стоянки велосипедиста, далее за точкой А точка С - место, в котором мотоциклист догнал велосипедиста (точки А, В и С находятся на одной прямой). Пусть AC=s. Велосипедист проехал это расстояние за s16 ч, а мотоциклист - за s56 ч. Тогда из условия s16−s56=2. Откуда s=44,8

Ответ: 44,8 км

Задача 9: Из пункта A в пункт B отправились три машины друг за другом с интервалом в 1 ч. Скорость первой машины равна 50 км/ч, а второй — 60 км/ч. Найти скорость третьей машины, если известно, что она догнала первые две машины одновременно.

Решение: Пусть на отрезке AB отмечена точка С. Точка А - точка отправления, точка В - точка назначения, точка С - место, в котором третья машина догнала и первую, и вторую машины. Обозначим за t ч время, за которое первая машина доехала до С. Тогда вторая машина приехала в С через t−1 ч, а третья - через t−2 ч. Приравняем расстояния, пройденные всеми машинами: AC=50t=60(t−1)=v(t−2), где v - скорость третьей машины в км/ч. Из равенства 50t=60(t−1) находим t=6. Далее находим AC=300 км. Тогда из 60(t−1)=v(t−2) получаем, что v=75 км/ч

Ответ: за 75 км/ч

Задача 10: Поезд был задержан в пути на 12 мин, а затем на расстоянии 60 км наверстал потерянное время, увеличив скорость на 15 км/ч. Найти первоначальную скорость поезда. Решение: Если бы поезд после вынужденной остановки продолжал движение с прежней скоростью, то на путь в 60 км затратил бы на 12 мин (то есть 15 ч) больше, чем предусмотрено расписанием. Пусть x - первоначальная скорость в км/ч. Тогда время на 60 км со старой скоростью равно 60x, с новой скоростью - 60x+15. И эти значения отличаются на 15. Получаем уравнение 60x−60x+15=15, откуда x2+15x−4500=0.

Ответ: 60 км/ч

Задача №1.

Теплоход 3 часа шел по озеру, а потом 4 часа по реке. При этом по озеру он двигался со скоростью 23 км/час, а по реке – на 3 км/час больше. Какое расстояние (в км) за эти семь часов прошел теплоход?

Решение:

Путь, который проделал теплоход,  состоит из 2-х частей: сначала по озеру, а потом по реке. Зная время и скорость, мы сможет найти расстояние. Время движения теплохода известно, а вот скорость движения известная только по озеру. По реке – неизвестно.

1.    Находим расстояние по озеру. Для этого 23 * 3 = 69 (км).
2.    Находим скорость движения по реке. К 23 добавляем 3. Получаем 26 (км/ час).
3.    Находим расстояние по реке. Для этого 26 * 4 = 104 (км).
4.    Находим все расстояние, пройденное теплоходом. 69 +104 = 173 (км).

Задача №2.

По шоссе едут 2 машины. Расстояние между ними составляет 300 км. 1-я машина движется со скоростью 60 км/час, а вторая – 80 км/ час. Каким будет расстояние между ними через один час.

Решение:

1.    80 + 60 = 140 (км). На 140 км будет увеличено расстояние между машинами через 1 час.
2.    300 + 140 = 440 (км). Таким будет расстояние между машинами через один час.

Задача №3.

Расстояние между пунктами А и В составляет 19 км. Одновременно из них вышли два пешехода навстречу друг другу. В 9 км от пункта А они встретились. Известно, что пешеход, который вышел из пункта А двигался со скоростью на 1 км/ час больше, чем второй пешеход. При этом в пути он сделал дополнительную получасовую остановку.

Решение:

1.    Если скорость пешехода, вышедшего из пункта В принять за Х, тогда скорость второго пешехода будет составлять (Х+1).
2.    Время пешехода В = (19-9)/Х, а время пешехода А = (9/(Х+1)) + 0,5.
Если учесть, что время двух пешеходов одинаковое, то можно составить следующее уравнение: (9/(Х+1))+0,5=10/Х. Преобразовав его, получим - Х^2-X-20=0  X1=5  X2= 4. Скорость пешехода, который вышел из пункта А составит 6 км/ час, а скорость пешехода, который вышел из пункта В составит 5 км/ час.

Задача №4.

Два друга отправились в путешествие. Иван двигался со скоростью 20 км/ час, а Антон ходит со скоростью 4 км/ час. Они отправились навстречу друг другу из пунктов, расстояние между которыми составляет 72 км. Через сколько часов оба друга встретятся? На сколько они сблизятся через час и через 2.

Решение:

1.    Скорость сближения: 20 +4 = 24 (км/час). Это за один час.
2.    24*2=48 (км) – они будут через 2 часа.
3.    72:24 = 3 часа. Они встретятся через такое время.

От того места, где два друга встретились, он отправились в противоположные стороны. Каким будет расстояние между ними через час и через 2? Скорость их движения осталась той же.

Решение:

1.    Скорость удаления: 20+4=24 (км/час).
2.    24*2=48 (км). Таким будет расстояние через 2 часа.