Бесконечные десятичные дроби, периодические бесконечные десятичные дроби

Бесконечные десятичные дроби

До сих пор мы рассматривали десятичные дроби, которые называются конечными , потому что после запятой у них стоит конечное число цифр. Конечные дроби всегда можно записать в виде обыкновенных дробей. Например,

Разложить обыкновенную дробь в десятичную делением числителя на знаменатель:

Разложить обыкновенную дробь в десятичную делением числителя на знаменатель:

6

2

4

Разложить обыкновенную дробь в десятичную делением числителя на знаменатель:

6

2

4

0 ,

Разложить обыкновенную дробь в десятичную делением числителя на знаменатель:

6

0

2

4

0,

2

Разложить обыкновенную дробь в десятичную делением числителя на знаменатель:

6

0

4

8

2

4

0,

2

Разложить обыкновенную дробь в десятичную делением числителя на знаменатель:

6

0

4

1

8

2

2

4

0 ,

2

Разложить обыкновенную дробь в десятичную делением числителя на знаменатель:

6

4

0

1

8

2

2

4

0

0,

2

Разложить обыкновенную дробь в десятичную делением числителя на знаменатель:

6

4

0

1

8

2

1

2

0

4

0,

2

0

2

0

5

Разложить обыкновенную дробь в десятичную делением числителя на знаменатель:

6

4

0

1

8

2

1

2

0

4

0 ,

2

0

2

0

5

Разложить обыкновенную дробь в десятичную делением числителя на знаменатель:

Разложить обыкновенную дробь в десятичную делением числителя на знаменатель:

1

2

3

2

0

Разложить обыкновенную дробь в десятичную делением числителя на знаменатель:

1

2

1

3

2

0

3

2

0

6,

Разложить обыкновенную дробь в десятичную делением числителя на знаменатель:

1

2

1

3

2

0

3

2

0

0

6,

1

Разложить обыкновенную дробь в десятичную делением числителя на знаменатель:

1

2

1

3

2

0

3

2

0

2

0

1

0

6,

0

1

Разложить обыкновенную дробь в десятичную делением числителя на знаменатель:

1

2

1

3

2

0

3

2

2

0

0

1

0

6,

0

1

1

0

0

5

0

0

Разложить обыкновенную дробь в десятичную делением числителя на знаменатель:

1

2

1

3

2

0

3

2

2

0

0

1

0

6,

0

1

1

0

0

5

0

0

Бесконечные периодические десятичные дроби

Если знаменатель несократимой дроби имеет простой делитель, отличный от 2 и 5, то эта дробь не разлагается в конечную десятичную дробь.

Поэтому при делении числителя этой дроби на знаменатель уголком не может получиться конечная десятичная дробь.

Разложим в десятичную дробь число

Это несократимая дробь, и ее знаменатель имеет простой делитель 3, отличный от 2 и 5.

Поэтому число заведомо не разлагается в конечную десятичную дробь. Проверим.

Разложим в десятичную дробь число

5,

3

На каждом этапе вычисления получается один и тот же остаток 2,а в частном одна и та же цифра 6. Этот процесс бесконечен.

5 ,

3

0

2

1

0

8

3

2

1

1,

0

8

6

6

2

0

1

6

8

…

2

…

Он приводит к выражению 1,666…, где точки означают, что цифра 6 повторяется бесконечно много раз.

5,

3

2

1

0

8

2

3

0

1 ,

1

8

6

6

2

1

0

6

8

…

2

…

Выражение 1,666… называют бесконечной периодической десятичной дробью или просто периодической дробью.

Записывают так: 1,(6) и читают : «одна целая и шесть в периоде». Цифра 6 – период дроби 1,(6).

Надо иметь в виду, что и 1,(6) является разными обозначениями одного и того же числа.

0,6363… = 0,(63)

7,

0

6

6

4

0

3

3

1

7

1

0 ,

0

6

6

3

6

6

4

3

0

3

3

…

7

…

2,31818… = 2,3(18)

5

4

1,

4

7

6

0

2

6

4

2

2,

0

2

3

1

1

2

8

1

8

7

0

…

6

4

…

Если числитель положительной несократимой дроби разделить на ее знаменатель уголком, то в частном получится либо конечное, либо бесконечное периодическое ее десятичное разложение.

Поставив перед положительной периодической дробью знак «-», получим отрицательную периодическую дробь.

Приписывая к целому числу ( после запятой ) или к конечной десятичной дроби бесконечно много нулей, мы превращаем ее в равную ей бесконечную периодическую десятичную дробь с периодом 0.

13 = 13,000 … = 13,(0)

-3,1 = -3,1000…= -3,1(0)