Блок № 1-2. Точка, прямая, отрезок, луч, угол.

Б

а перпендикулярные прямые

b a и b

a b

Опр.1 Отрезком называется часть прямой, ограниченная двумя точками.

Опр.2 Точка, делящая отрезок на два равных отрезка, называется серединой отрезка.

Опр.3 Две геометрические фигуры называются равными, если их можно совместить наложением.

Опр.4 Единичный отрезок – это произвольный отрезок, длина которого принята за единицу.

Опр.5 Длина отрезка – это число, которое показывает, сколько раз выбранная единица измерения и её части укладываются в отрезке.

Единицы измерения: мм, см, дм, м …

Измерительные приборы: масштабная миллиметровая линейка, штангенциркуль, рулетка.

Свойства длин отрезков:

• равные отрезки имеют равные длины;

• б льший отрезок имеет б льшую длину

• если отрезок разделён точкой на два отрезка, то длина всего отрезка равна сумме длин его частей.

Опр.6 Лучом называется часть прямой, ограниченная с одной стороны точкой – началом луча.

Опр.7 Углом называется геометрическая фигура, которая состоит из точки и двух лучей, исходящих из этой точки.

Опр.8 Луч, исходящий из вершины угла и делящий его на два равных угла называется биссектрисой угла.

Опр.9 Градус – это единица измерения углов, равная 1/180 части развёрнутого угла.

Опр.10 Градусной мерой угла называется число, которое показывает, сколько раз градус и его части укладываются в данном угле.

Свойства градусных мер:

• равные углы имеют равные градусные меры;

• б льший угол имеет б льшую градусную меру;

• если угол разделён на два угла лучом, выходящим из вершины угла, то градусная мера угла равна сумме градусных мер его частей.

Измерительные приборы: транспортир, угломер, астролябия.

Нулевой угол содержит ноль градусов.

Острый угол может содержать от 0⁰ до 90⁰.

Прямой угол содержит 90⁰.

Тупой угол может содержать от 90⁰ до 180⁰.

Развёрнутый угол содержит 180⁰.

Полный угол содержит 360⁰.

Опр.11 Два угла, у которых одна сторона общая, а две другие являются продолжениями одна другой, называются смежными.

Сумма смежных углов равна 180⁰.

Опр.12 Два угла с общей вершиной, где стороны одного угла являются дополнительными лучами сторон другого, называются, вертикальными углами.

Теорема (свойство вертикальных углов).

Вертикальные углы равны.

2 Дано: 1 и 3 - вертикальные

1 3 углы

1. Доказать: 1= 3

Доказательство:

Т.к. 1 и 2- смежные углы, то 1+ 2= (1)

Т.к. 2 и 3- смежные углы, то 2+ 3= (2)

Из (1) и (2) 1= 3.

Опр.13 Две прямые, пересекающиеся под прямым углом, называются перпендикулярными.

Две прямые, перпендикулярные к третьей, не пересекаются.

Блок №2 п.п. 14-18

В ∆АВС; А,В,С - вершины

АВ, ВС, АС - стороны

А А, В, С - углы

С элементы

Р=АВ+ВС+АС

лок №1

М а, Д а, А а

Через любые две точки можно провести прямую, и притом только одну.

а М а и b пересекающиеся прямые

b М – точка пересечения

Две прямые имеют либо одну

с общую точку, либо не имеют

d общих точек.

М О N отрезок MN

M, N – концы отрезка, О – середина отрезка

Единицы длины: мм, см, дм, м, …

Длина отрезка – число

О М луч ОМ, h

h О - начало луча

в нешняя h угол АОВ

АОВ, О, hk

внутренняя

области

О сторона В k

в ершина

н уле- острый прямой тупой развёр- полный

вой нутый

А

биссектриса ОЕ

Е

О

В

Градус = развёрнутый угол : 180 1⁰

Градусная мера – количество градусов

В АОВ и ВОС - смежные

углы

А С АОВ + ВОС = 180⁰

О

1 и 2 - вертикальные

1 ² углы

Т. Вертикальные углы равны.

Т. (I признак равенства треугольников)

А С А₁ С₁

то ∆АВС=∆А₁В₁С₁

Доказательство:

Наложим ∆А₁В₁С₁ на ∆АВС …

Т. Из () прямой, можно провести -р к этой прямой.

медиана биссектриса высота

В любом треугольнике медианы пересекаются в одной (), биссектрисы пересекаются в одной (), высоты (или их продолжения) пересекаются в одной ().

основание равносторонний

равнобедренный

Т. А В равнобедренном тре-

угольнике углы при осно

1 2 вании равны.

Если ∆АВС – равнобед-

ренный, то В= С.

В С

В С

Теорема (I признак равенства треугольников)

Доказать: ∆АВС= ∆А₁В₁С₁

Доказательство:

Наложим ∆А₁В₁С₁ на ∆АВС так, что вершина А₁ совместится с вершиной А, сторона А₁В₁ наложится на луч АВ, сторона А₁С₁ наложится на на луч АС. Т.к. АВ=А₁В₁, то сторона А₁В₁ совместится со стороной АВ. Т.к. АС=А₁С₁, то сторона А₁С₁ совместится со стороной АС. Т.о. совместятся вершины В и В₁, С и С₁. Сл-но, совместятся стороны В₁С₁ и ВС. Итак, ∆АВС и ∆А₁В₁С₁ полностью совместятся. Значит, ∆АВС= ∆А₁В₁С₁.

Теорема. Из точки, не лежащей на прямой можно провести перпендикуляр к этой прямой, и притом только один.

Дано: прямая ВС, А ВС

А Док-ть: АН ВС,

АН-единственный

Доказательство:

Отложим от луча ВС

В Н Н₁ С МВС= АВС. Т.к.

МВС= АВС, то

А₁ М можно МВС нало-

жить на АВС так, что стороны ВА и ВС совместятся со сторонами ВМ и ВС. При этом ()А наложится на ()А₁ ВМ. Прямые ВС и АА₁ пересекаются в ()Н. При наложении МВС на АВС луч НА₁ совмещается с лучом НА. Сл-но, 1= 2. Но 1 и 2 – смежные. Значит АН ВС. Предположим, что АН₁ ВС. Значит два перпендикуляра АН и АН₁ к прямой ВС пересекаются в ()А. Но это невозможно. Значит, АН – единственный перпендикуляр к прямой ВС.

Опр.1. Отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны, называется медианой треугольника.

Опр.2. Отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину треугольника с точкой противоположной стороны, называется биссектрисой треугольника.

Опр.3. Перпендикуляр, проведённый из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону, называется высотой треугольника.

Опр.4. Треугольник называется равнобедренным, если две его стороны равны.

Опр.5. Треугольник называется равносторонним, если все его стороны равны.

Теорема. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

С В

Д

∆АВД=∆АСД (по I признаку =∆) В= С 

Теорема. В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведённая к основанию является медианой и высотой.

1= 2, т.к. АД-биссектриса

СД=ВД и 3= 4.

Т.к. СД=ВД, то АД – медиана.

Т.к. 3= 4 и 3 и 4 – смежные углы, то 3= 4=90⁰, сл-но, АД – высота. 

Высота равнобедренного треугольника, прове

ная к основанию, является медианой и биссектри

Медиана равнобедренного треугольника, прове ная к основанию, является высотой и биссектри

В В₁

Если АВ=А₁В₁, АС= А₁С₁, А= А₁,

АН

а

АН – перпендикуляр к прямой а

()Н – основание перпендикуляра

В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведённая к основанию является медианой и высотой.

Если ∆АВС – равнобедренный и АД- биссектриса, то АД медиана и высота

А

Д

1 2

3 4

Т.

В В₁

А С А₁ С₁

Дано: ∆АВС, ∆А₁В₁С₁, АВ=А₁В₁,

АС= А₁С₁, А= А₁,

1

2

А

1 2

Дано: ∆АВС, АВ=АС.

Доказать: В= С

Доказательство:

Проведём биссектрису АД. Рассмотрим ∆АВД и ∆АСД:

АВ=АС по условию

АД-общая сторона

А

1 2

3 4

С Д В

Дано: ∆АВС, АВ=АС, АД – биссектриса

Доказать:АД-медиана, высота

Доказательство:

Рассмотрим ∆АВД и ∆АСД: АВ=АС по условию

АД-общая сторона

∆АВД=∆АСД

(по I признаку =∆)

дён-

сой.

дён-

сой.