Для чего лучи света преломляются?

Забудем на время о лучах света и займемся следующей задачей, очень простой и легкой на вид.

Некто, находясь с лодкой у пристани A, должен достичь пункта B на лугу противоположного берега в кратчайшее время. По какому направлению ему следует плыть через реку, если известно, что в воде он движется скорее, нежели пешком по лугу?

Казалось бы, кратчайший путь будет AB – прямая линия ведь всегда указывает кратчайший путь. Однако это неверно. Помните, что мы ищем не тот путь, который геометрически короче других, а тот, который можно пройти в кратчайшее время. А если так, то по ломаной линии ADB можно, пожалуй, скорее прибыть в B, нежели по прямой AB. В самом деле, та часть пути, которую надо медленно пройти пешком по лугу, – эта часть для ломанной линии ADB гораздо короче, нежели для прямой ACB (BC чуть не вдвое длиннее BD). Правда, зато водяной путь AD для ломаной линии длиннее, нежели часть AC прямого пути ACB; но эта разница здесь относительно невелика и, к тому же, быстро проплывается в лодке. Таким образом, в результате путь ADB может быть выполнен в более короткий срок, нежели путь ACB.

Как быстрее всего добраться из A в B?

Преломление пути

Подробное рассмотрение этой задачи, кажущейся на вид столь простою, невыполнимо средствами элементарной математики. Обращаясь к услугам высшей математики, мы получаем такой отве: тот путь будет кратчайшим, при котором осуществлена пропорция:

Другими словами, путь преломляется так, что отношение синуса угла α к синусу угла β (углов между частями пути и перпендикуляром) равно отношению скоростей движения в воде и по лугу. Это отношение есть величина постоянная, не зависящая ни от ширины реки, ни от положения точек A и B¹.

Как найти синусы углов α и β?

Но ведь точно таков и закон преломления света! При переходе из одной среды в другую свет тоже преломляется, причем отношение синуса угла падения к синусу угла преломления есть величина постоянная, равная отношению скоростей света в каждой среде. Теперь вы понимаете, что свет, преломляясь, достигает экономии во времени, так как совершает свой пробег в кратчайший срок. Здесь мы видим, следовательно, ту же расчетливую поспешность, которую мы заметили ранее для отражения света.

1^ Для незнакомых с тригонометрией поясним, что отношение синусов углов α и β равно отношению перпендикуляров m и n. Окружность берется произвольного радиуса, так как отношение m/n не зависит от величины радиуса. Необходимо лишь, чтобы точка D служила ее центром.