Фракталы-геометрия красоты

Конкурс молодых исследователей муниципального этапа

«Шаг в будущее»

ФРАКТАЛЫ - ГЕОМЕТРИЯ КРАСОТЫ

Выполнила: Арасланова Ольга, ученица 11а класса

Руководитель: Попова Инна Геннадьевна

Красиво, чертовски сложно, все более полезно. Это фракталы.

Б. Мандельброт

Актуальность исследовательской работы заключается в изучении теории фракталов, которая была открыта французским математиком Бенуа Мандельбротом около 40 лет назад, и своей красотой и разнообразием форм поразившей всю планету.

Гипотеза : строение человека, растительного мира и неживой природы едино с точки зрения фрактальной геометрии.

Цель данной исследовательской работы состоит в изучении фрактальных форм, ознакомлении с направлением в математике - фрактальной геометрией и, конечно, в создании собственного фрактала.

Задачи:

• Проанализировать и проработать литературу по теме исследования.
• Рассмотреть различные виды фракталов.
• Рассмотреть природные явления и объекты окружающего мира с точки зрения проявления в них фрактала.
• Рассмотреть возможности практического применения фрактала.
• Придумать и создать собственный фрактал.

Американский математик Бенуа Мандельброт

Бенуа Мандельброт дал определение своему открытию – фрактал . «Фракталом называется структура, состоящая из частей, которые в каком-то смысле подобны целому».

Фрактал (от латинского «fractus» - разбитый, дробленый, сломанный) представляет собой сложную геометрическую фигуру, которая составлена из нескольких бесконечной последовательности частей, каждая из которых подобна всей фигуре целиком, и повторяется при уменьшении масштаба.

Георг Кантор

Джузеппе Пеано

Хельге фон Кох

Первые идеи фрактальной геометрии возникли в XIX веке.

Пыль Кантора

Кривая Пеано

Кривая Коха

Французские математики Гастон Жюлиа (1893-1978) и Пьер Фату (1878-1929) также внесли значительный вклад в развитие будущей фрактальной геометрии.

Множества Жюлиа –это множества, напоминающее береговую линию острова.

Виды Фракталов

Стохастические 

Геометрические

Алгебраические

Геометрические фракталы

При построении этих фракталов поступают так: берется "затравка" - аксиома - набор отрезков, на основании которых будет строиться фрактал. Далее к этой "затравке" применяют набор правил, который преобразует ее в какую-либо геометрическую фигуру. Далее к каждой части этой фигуры применяют опять тот же набор правил. С каждым шагом фигура будет становиться все сложнее и сложнее, и если мы проведем (по крайней мере, в уме) бесконечное количество преобразований - получим геометрический фрактал.

Алгебраические фракталы

Это самая крупная группа фракталов. Получают их с помощью нелинейных процессов в n-мерных пространствах.

Биоморфы (от греч. bios - жизнь и morphe - форма) - жизненные формы, определяемые систематическим положением видов, их

формами роста и биологическими ритмами.

Множество Жюлиа Бассейны Ньютона

Стохастические фракталы

Это фракталы, которые получаются в том случае, если в инерационном процессе случайным образом менять какие-либо его параметры. При этом получаются объекты очень похожие на природные - несимметричные деревья, изрезанные береговые линии и т.д. Двумерные стохастические фракталы используются при моделировании рельефа местности и поверхности моря.

Плазма

Фракталы в живой и не живой природе

Фракталы в математике и изобретениях человека

Фрактальная структура Теоремы Пифагора

Фракталы в литературе:

У попа была собака,

он ее любил.

Она съела кусок мяса,

он ее убил.

Вот дом.

В землю закопал,

Надпись написал:

Который построил Джек.

У попа была собака…

А вот пшеница.

Которая в тёмном чулане хранится

В доме,

Который построил Джек

А вот весёлая птица-синица,

Которая ловко ворует пшеницу,

Которая в тёмном чулане хранится

В доме,

Который построил Джек…» .

Фракталы в телекоммуникации

Для передачи данных на расстояния используются антенны, имеющие фрактальные формы, что сильно уменьшает их размеры и вес.

Фракталы в медицине:

Теория фракталов применятся для анализа электрокардиограмм.

Оценка величины и ритмов фрактальной размерности позволяют на более ранней стадии и с большей точностью и информативностью судить о нарушениях гомеостазиса и развитии конкретных заболеваний сердца.

Рентгеновские снимки, обработанные с помощью фрактальных алгоритмов, дают более качественную картинку, а соответственно и более качественную диагностику.

Еще одна область активного применения фракталов – гастроэнтерология.

Новый метод исследования в медицине, электрогастроэнтерография — метод исследования, позволяющий оценить биоэлектрическую активность желудка, двенадцатиперстной кишки и других отделов ЖКТ.

Фракталы в архитектуре

Фрактальный принцип развития природных и геометрических объектов проникает вглубь архитектуры и как образ внешнего решения объекта, и как внутренний принцип архитектурного формообразования.

Дизайнеры со всего мира начали использовать в своих работах замечательные фрактальные структуры, только недавно описанные видными математиками.

Использование фракталов поставило практически все направления современного дизайна на новый уровень.

Фракталы в экономике

Последнее время фракталы стали популярны у экономистов для анализа курса фондовых бирж, валютных и торговых рынков.

Фракталы появляются на рынке достаточно часто.

Фракталы в играх

Сегодня в очень многих играх (Minecraft), где присутствуют разного рода природные ландшафты, так или иначе используются фрактальные алгоритмы. Создано большое количество программ для генерации ландшафтов и пейзажей, основанных на фрактальных алгоритмах.

Фракталы в кино

В кино для создания различных фантастических пейзажей используется фрактальный алгоритм. Фрактальная геометрия позволяет художникам по спец. эффектам без труда создавать такие объекты как облака, дым, пламя, звёздное небо и т.д. Что уж тогда говорить о фрактальной анимации, это действительное потрясающее зрелище.

Фракталы в физике

В физике фракталы применяются очень широко. В физике твёрдых тел фрактальные алгоритмы позволяют точно описывать и предсказывать свойства твёрдых, пористых, губчатых тел, аэрогелей. Это помогает в создании новых материалов с необычными и полезными свойствами.

Пример твёрдого тела - кристаллы.

Изучение турбулентности в потоках очень хорошо подстраивается под фракталы.

Фракталы в народном творчестве

«Матрешка»: присмотревшись внимательней, с уверенностью можно сказать, что эта игрушка-сувенир - типичный фрактал.

Принцип фрактальности очевиден, когда все фигурки деревянной игрушки выстроены в ряд, а не вложены друг в друга.

Создание собственного фрактала

Я выбрала 2 способа:

1. Фрактал в квиллинге.

2. Фрактал в среде графического исполнителя «Стрелочка».

Фрактал в технике «Квиллинг»

Фрактал в ГРИС Стрелочка