Геометрия 7-9 класс (теория + практика)

Геометрия

7 -9 класс

Тема: Углы

Теоретический блок

Два угла называются вертикальными, если сторона одного угла является продолжением сторон другого угла.

Вертикальные углы равны

(на рис 1и3; 6и8 и др.)

Внутренние накрест лежащие углы 

при параллельных прямых и секущей равны. (на рис 4и6; 1 и 7)

Сумма внутренних односторонних углов при параллельных прямых и секущей равна 180˚(на рис 4 и 7; 1 и6)

Соответственные углы при параллельных прямых и секущей равны.(на рис 3 и 7; 1 и 5 и др.)

Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна третьей прямой, то и другая перпендикулярна третьей прямой.

Практический блок: разбор заданий

Задание 1:

На плоскости даны четыре прямые. Известно, что   ,   ,   . Найдите   . Ответ дайте в градусах.

Решение.

Так как   и  , односторонние и их сумма равна 180°, прямые, которые заключают эти углы, — параллельны. Найдем угол, смежный с углом 3:   Этот угол и угол 4 соответственные и равны так как прямые параллельны.

 

Таким образом, угол 4 = 125°.

 

Ответ: 125.

З адание 2:

Углы, отмеченные на рисунке одной дугой, равны. Найдите угол α. Ответ дайте в градусах.

Решение.

Углы 1 и 2 равны как вертикальные, поэтому 

 

Ответ: 40.

Практический блок: задания для самостоятельного решения

 Задание 1:

Углы, отмеченные на рисунке одной дугой, равны. Найдите угол   . Ответ дайте в градусах.

Задание 2:

Прямые m и n параллельны. Найдите ∠3, если ∠1 = 22°, ∠2 = 72°. Ответ дайте в градусах.

Задание 3:

На прямой AB взята точка M. Луч MD — биссектриса угла CMB. Известно, что ∠DMC = 60°. Найдите угол CMA. Ответ дайте в градусах.

Чек - лист №2

Тема: Виды треугольников

Теоретический блок

Сумма углов в любом треугольнике 180˚

Средняя линия треугольника -- прямая проходящая через середины двух сторон. Средняя линия параллельна одной из сторон и равна половине этой стороны

I признак: по двум равным углам

II признак:по двум пропорциональным сторонам и углу между ними

III признак: по трем пропорциональным сторонам

• Площади подобных фигур относятся как коэффициент подобия в квадрате.

• Объемы подобных фигур относятся как коэффициент подобия в кубе.

Практический блок: разбор заданий

Задание 1

В треугольнике два угла равны 48° и 79°. Найдите третий угол. Ответ дайте в градусах.

Решение:

Сумма углов треугольника равна 180°, поэтому третий угол равен:

180° – (48° + 79°) = 180° – 127° = 53°.

Ответ: 53°.

Задание 2

В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС внешний угол при вершине С равен 132°. Найдите угол АВС. Ответ дайте в градусах.

Решение:
.

, так как углы при основании равнобедренного треугольника равны.

, сумма углов треугольника равна 180.

Ответ:

З адание 3

Точки М и N являются серединами сторон АВ и ВС треугольника АВС, сторона АВ равна 28, сторона ВС равна 44, сторона АС равна 42. Найдите МN.

Решение:

Средняя линия треугольника параллельна одной из сторон треугольника и равна ее половине.

Ответ: 21.

Практический блок: задания для самостоятельного решения

Задание 1

В треугольнике ABC угол C равен 133°. Найдите внешний угол при вершине C. Ответ дайте в градусах.

Задание 2

В треугольнике два угла равны 53° и 68°. Найдите третий угол. Ответ дайте в градусах.

Задание 3

Прямая, параллельная стороне AC треугольника ABC, пересекает стороны AB и BC в точках M и N соответственно, AB = 9, AC = 18, MN = 8. Найдите AM.

Чек - лист №3

Тема: Медиана, биссектриса, высота треугольника

Теоретический блок

Биссектриса треугольника — отрезок, соединяющий вершину треугольника с точкой на противоположной стороне и делящий угол треугольника пополам.

В ысота треугольника – перпендикуляр, опущенный из вершины угла на противоположную сторону.

М
едиана треугольника — это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противолежащей стороны. 

Практический блок: разбор заданий

Задание 1

У треугольника со сторонами 16 и 2 проведены высоты к этим сторонам. Высота, проведённая к первой стороне, равна 1. Чему равна высота, проведённая ко второй стороне?

Решение.

Пусть известные стороны треугольника равны   и   а высоты, проведённые к ним   и   Площадь треугольника можно найти как половину произведения стороны на высоту, проведённую к этой стороне:

Ответ: 8.

Задание 2

В треугольнике ABC проведена биссектриса AL, угол ALC равен 112°, угол ABC равен 106°. Найдите угол ACB. Ответ дайте в градусах.

Решение.

Пусть угол   равен   угол   равен   Сумма углов в треугольнике   равна 180°, откуда   Аналогично, из треугольника     Получаем систему уравнений:

Таким образом, угол   равен 62°.

 

Ответ: 62.

 

 Задание 3

В треугольнике ABC проведены медиана BM и высота BH . Известно, что AC = 84 и BC = BM. Найдите AH.

Решение.

Поскольку   — медиана,   Рассмотрим треугольник     следовательно, треугольник   — равнобедренный,   — высота, следовательно,   — медиана, откуда   Найдём   

 

Ответ: 63.

Практический блок: задания для самостоятельного решения

Задание 1

В треугольнике   известно, что  ,   — медиана,  . Найдите  .

Задание 2

В остроугольном треугольнике ABC проведена высота BH,   Найдите угол ABH. Ответ дайте в градусах.

Задание 3

В равностороннем треугольнике ABC биссектрисы CN и AM пересекаются в точке P. Найдите 

Чек - лист №4

Тема: Прямоугольный треугольник и его свойства

Т реугольник называется прямоугольным, если один из его углов прямой.

Стороны, прилежащие к прямому углу называются катетами,

а сторона, лежащая против прямого угла, – гипотенузой.

(самая большая сторона это гипотенуза, две др. катеты)

Свойства:

• Сумма острых углов прямоугольного треугольника

Равна90 градусов 

• Катет, лежащий против угла  в 30˚,

равен половине гипотенузы.

• Центр описанной окружности прямоугольного

треугольника лежит на середине гипотенузы.

• Медиана прямоугольного треугольника,

проведенная из вершины прямого угла на гипотенузу, является радиусом описанной около этого треугольника окружности.

Пифагоровы тройки:

3,4,5

6,8,10

5,12,13

9,12,15

Синусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе.

Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе.

Тангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему.

Котангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к противолежащему.

Высота, проведенная из вершины прямого угла, разбивает прямоугольный треугольник на два подобных треугольника. Каждый из этих треугольников подобен исходному.

Высота прямоугольного треугольника: h=ab/c или h= ( где АВ гипотенуза, СЕ высота опущенная на гипотенузу)

В прямоугольном треугольнике медиана, проведённая из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы: m=c/2 (R=​с/2=m​_c)

Практический блок: разбор заданий

 Задание 1

Один из острых углов прямоугольного треугольника равен 23°. Найдите его другой острый угол. Ответ дайте в градусах.

Решение.

Сумма углов в треугольнике равна 180°. Таким образом, искомый угол равен 

Ответ: 67

Задание 2

Два катета прямоугольного треугольника равны 16 и 30. Найдите гипотенузу этого треугольника.

Решение.

По теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике сумма квадратов катетов   равна квадрату гипотенузы  . Таким образом,

Ответ: 34

Задание 3

Точка H является основанием высоты, проведённой из вершины прямого угла B треугольника ABC к гипотенузе AC. Найдите AB, если AH = 8, AC = 32.

Решение.

Рассмотрим треугольники   и   они — прямоугольные, угол   — общий, следовательно, треугольники подобны. Откуда:

Ответ: 16.

Практический блок: задания для самостоятельного решения

Задание 1

На гипотенузу AB прямоугольного треугольника ABC опущена высота CH, AH = 2, BH = 18. Найдите CH.

Задание 2

В треугольнике ABC угол C равен 90°,     Найдите AC.

Задание 3

Два катета прямоугольного треугольника равны 16 и 30. Найдите гипотенузу этого треугольника.

Чек - лист №5

Тема: Равнобедренный и равносторонний треугольники и их свойства

Т
еоретический блок

Практический блок: разбор заданий

Задание 1

В равностороннем треугольнике ABC биссектрисы CN и AM пересекаются в точке P. Найдите  .

Решение.

В равностороннем треугольнике ABC все углы равны 60°. Биссектрисы CN и AM делят углы пополам, поэтому   =   =   Сумма углов в треугольнике равна 180°, поэтому   Вертикальные углы равны, следовательно, 

 

Ответ: 120.

Задание 2

В равнобедренном треугольнике  . Найдите  , если высота  .

Решение.

В равнобедренном треугольнике высота, опущенная на основание делит основание пополам, то есть   делит   пополам. Тогда получаем прямоугольный треугольник   с двумя известными катетами   и   гипотенузой которого является искомая   По теореме Пифагора найдем

 

 

Ответ: 13.

Задание 3

В равностороннем треугольнике  ABC  медианы  BK  и  AM  пересекаются в точке O. Найдите  .

Решение.

Медианы в равностороннем треугольнике являются биссектрисами и высотами, поэтому  . Треугольник AOK — прямоугольный, поэтому  .

 

Ответ: 60.

Практический блок: задания для самостоятельного решения

Задание 1

В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC внешний угол при вершине C равен 123°. Найдите величину угла ABC. Ответ дайте в градусах.

 Задание 2

Высота равностороннего треугольника равна   Найдите его периметр.

 Задание 3

В треугольнике   известно, что  ,  . Найдите угол  . Ответ дайте в градусах.

Чек - лист №6

Тема:Четырехугольники

Теоретический блок

Сумма углов в любом четырехугольнике 360 ˚

П араллелограмм

Параллелограммом называется четырёхугольник,

противолежащие стороныкоторого

попарно параллельны.

• противолежащие стороны равны

• противолежащие углы равны

• диагонали точкой пересечения делятся пополам

Сумма любых двух соседних углов параллелограмма равна 180°

Каждая диагональ делит параллелограмм на два равных треугольника.

Две диагонали параллелограмма делят его на четыре равновеликих треугольника:

Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов всех его сторон.

Р омб

Ромбом называется параллелограмм,

у котороговсе стороны равны.

• Диагонали ромба пересекаются под прямым

углом и являются биссектрисами его углов.

• Диагонали в точке пересечения делятся пополам.

Прямоугольник

П рямоугольником называется параллелограмм,

у которого все углы прямые.

• Противоположные стороны равны

• Противоположные углы равны

• Диагонали прямоугольника равныи точкой

пересечения делятся на четыре равных отрезка.

Квадрат

Квадрат – это прямоугольник, у которого все

стороны равны.

• Диагонали в точке пересечения делятся пополам

• Диагонали равны

• Диагонали взаимно перпендикулярны

• Сторона и диагональ квадрата связаны соотношениями: d=a

Т рапеция

Трапецией называется четырёхугольник,

у которого только две противолежащие

стороны параллельны.

Параллельные стороны называются основаниями трапеции, непараллельные – боковыми сторонами.

Средняя линия трапеции параллельна её основаниям и равна их

полусумме.

Равнобокой (равнобедренной) называется трапеция, у которой боковые стороны равны.

У равнобокой трапеции:

• диагонали равны;

• углы при основании равны;

• сумма противолежащих углов равна 180.

Стороны и диагональ равнобокой трапеции связаны соотношением:

d² = ab+c².

Трапеция называется прямоугольной, если одна из её боковых сторон перпендикулярна основаниям.

Практический блок: разбор заданий

Задание 1

Диагональ BD параллелограмма ABCD образует с его сторонами углы, равные 65° и 50°. Найдите меньший угол параллелограмма.

Решение.

Углы А и В — односторонние, поэтому угол А равен 180° − 50° − 65° = 65°.

 

Ответ: 65.

Задание 2

В ромбе ABCD угол ABC равен 72°. Найдите угол ACD. Ответ дайте в градусах.

Решение.

Сумма углов   и   равна 180°, поэтому угол С равен 108°. Диагональ ромба AC является биссектрисой угла  , поэтому искомый угол   равен 54°.

 

Ответ: 54.

 Задание 3

Найдите угол АDС равнобедренной трапеции ABCD, если диагональ АС образует с основанием ВС и боковой стороной АВ углы, равные 30° и 50° соответственно.

Решение.

Сумма углов треугольника АВС равна 180°, поэтому угол ABC равен 180° − 30° − 50° = 100°. Сумма противоположных углов равнобедренной трапеции равна 180°, поэтому 180° − 100° = 80°.

 

Практический блок: задания для самостоятельного решения

Задание 1

Диагональ AC параллелограмма ABCD образует с его сторонами углы, равные 25° и 30°. Найдите больший угол параллелограмма.

Задание 2

Сторона ромба равна 4, а один из углов этого ромба равен 150°. Найдите высоту этого ромба.

Задание 3

Найдите угол  ABC  равнобедренной трапеции  ABCD, если диагональ  AC  образует с основанием  AD и боковой стороной  CD  углы, равные 30° и 80° соответственно.

Чек - лист №7

Тема: Окружность

Теоретический блок

О трезок, соединяющий центр окружности с любой точкой окружности называется радиусом (r) окружности

Отрезок , соединяющий две точки окружности, называется хордой.

Хорда, проходящая через центр окружности, называется диаметром окружности.

Прямая, имеющая с окружностью одну общую точку, называется касательной.

Свойство:

• Касательная и радиус, проведенный в точку касания, пересекаются под прямым углом

Прямая, имеющая с окружностью две общие точки, называется секущей.

Ц ентральный угол окружности – это угол, вершина которого лежит в центре окружности.

В писанный угол – это угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают ее.

Свойства:

• Центральный угол равен дуге, на которую он опирается.

• Вписанный угол равен половине дуги, на которую опирается.

• Вписанный угол, опирающийся на диаметр равен 90˚.

• Все вписанные углы, опирающиеся на одну и туже дугу равны.

Теорема косинусов:

Теорема синусов:

Практический блок: разбор заданий

Задание 1

Центральный угол AOB опирается на хорду AB длиной 6. При этом угол OAB равен 60°. Найдите радиус окружности.

Решение.

Рассмотрим треугольник AOB: он равнобедренный, его боковые стороны равны радиусу.

Углы при основании равнобедренного треугольника равны. Пусть AOB равен x, тогда x + 60° + 60° = 180°, где x = 60°. Треугольник, у которого все углы равны, — равносторонний треугольник; значит, радиус равен 6.

 

Ответ: 6.

Задание 2

В окружности с центром в точке О проведены диаметры AD и BC, угол OCD равен 30°. Найдите величину угла OAB.

Решение.

Вписанные углы ВСD и ВАD опираются на одну и ту же дугу окружности, поэтому они равны. Тем самым, угол OAB = 30°.

 

Ответ: 30.

Задание 3

Найдите ∠DEF, если градусные меры дуг DE и EF равны 150° и 68° соответственно.

Решение.

Дуга FD, не содержащая точку Е, равна 360° − 150° − 68° = 142°, поэтому ∠DEF = 71°.

 

Ответ: 71.

 Задание 4

К окружности с центром в точке О проведены касательная AB и секущая AO. Найдите радиус окружности, если AB = 12 см, AO = 13 см.

Решение.

Соединим отрезком точки O и B; полученный отрезок — радиус, проведённый в точку касания, поэтому OB перпендикулярен AB. Задача сводится к нахождению катета OB прямоугольного треугольника AOB. Из теоремы Пифагора:

Ответ: 5.

Практический блок: задания для самостоятельного решения

 Задание 1

Прямоугольный треугольник с катетами 5 см и 12 см вписан в окружность. Чему равен радиус этой окружности?

Задание 2

В угол величиной 70° вписана окружность, которая касается его сторон в точках A и B. На одной из дуг этой окружности выбрали точку C так, как показано на рисунке. Найдите величину угла ACB.

 Задание 3

В окружности с центром в точке О проведены диаметры AD и BC, угол OCD равен 30°. Найдите величину угла OAB.

Задание 4

Прямая касается окружности в точке K. Точка O — центр окружности. Хорда KM образует с касательной угол, равный 83°. Найдите величину угла OMK. Ответ дайте в градусах.

Чек - лист №8

Тема: Формулы площадей

Теоретический блок

Треугольник :

S = ½(a ⋅h_a)

S = ½(ab⋅sinC)

S = √p(p - a)(p - b)(p - c)  (р- полупериметр)Формула Герона:

S=1/2(a⋅b) (прямоугольный треугольник, а,b – катеты)

S= ( равносторонний треугольник)

S= ( R- радиус описанной окружности)

S= (r – радиус вписанной окружности, P – периметр)

Квадрат: S = a ⋅ a = a²

Прямоугольник: S = a ⋅ b

Параллелограмм:

S = a ⋅ h_a

S =ab⋅sinC

S=1/2 d₁·d₂·sinC

Ромб :S= 1/2d₁·d₂

Трапеция :S=1/2(a+b)⋅h(а, b – основаниятрапеции)

Круг: S=π⋅r²

Практический блок: разбор заданий

Задание 1

Найдите площадь параллелограмма, изображённого на рисунке.

Решение.

Площадь параллелограмма равна произведению длины основания на высоту:

 

Ответ: 40.

 Задание 2

Сторона ромба равна 5, а диагональ равна 6. Найдите площадь ромба.

Решение.

Диагонали ромба пересекаются под углом 90° и точкой пересечения делятся пополам. Из прямоугольного треугольника, катетами которого являются половины диагоналей ромба, а гипотенузой — сторона ромба, по теореме Пифагора найдем половину неизвестной диагонали:   Тогда вся неизвестная диагональ равна 8.

Площадь ромба равна половине произведения диагоналей:

Задание 3

В прямоугольном треугольнике один из катетов равен 10, а угол, лежащий напротив него, равен 45°. Найдите площадь треугольника.

Решение.

Так как в прямоугольном треугольнике один из углов равен 45°, то такой треугольник является равнобедренным. Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов. Таким образом:

 

Ответ: 50.

Задание 4

Основания трапеции равны 18 и 12, одна из боковых сторон равна  , а угол между ней и одним из оснований равен 135°. Найдите площадь трапеции.

Решение.

Пусть дана трапеция ABCD, где AD = 18, BC = 12, AB =  , а ∠ABC = 135°. Опустим перпендикуляр BH на сторону AD. Угол ABH равен: 135° − 90° = 45°. Таким образом, треугольник ABH является прямоугольным и равнобедренным. Найдем высоту BH:

Площадь трапеции равна произведению полусумму оснований на высоту:

 

Ответ: 60.

Практический блок: задания для самостоятельного решения

Задание 1

Периметр ромба равен 40, а один из углов равен 30°. Найдите площадь ромба.

Задание 2

Одна из сторон параллелограмма равна 12, а опущенная на нее высота равна 10. Найдите площадь параллелограмма

Задание 3

Найдите площадь прямоугольного треугольника, если его катет и гипотенуза равны соответственно 28 и 100.

Задание 4

О снования трапеции равны 18 и 12, одна из боковых сторон равна 6, а синус угла между ней и одним из оснований равен  . Найдите площадь трапеции.