К началу учебного года! Готовые материалы для учителей на каждый урок со скидкой от 30%

СДЕЛАЙТЕ СВОИ УРОКИ ЕЩЁ ЭФФЕКТИВНЕЕ, А ЖИЗНЬ СВОБОДНЕЕ

Благодаря готовым учебным материалам для работы в классе и дистанционно

Выбрать материалы

Скидки до 50 % на комплекты
только до

Готовые ключевые этапы урока всегда будут у вас под рукой

Организационный момент

Проверка знаний

Объяснение материала

Закрепление изученного

Итоги урока

Была в сети 19.05.2025 09:42

Гудкова Татьяна Валерьевна

учитель математики

7 лет

816

70 486

Подписчики

Подписки

Местоположение

Россия, Брянск

Специализация

Математика

Алгебра

Геометрия

Обо мне Блог Файлы Тесты Галерея Активность Награды

Методология формирования обобщённого способа решения задач «на движение» и «на числовые зависимости».

Категория: Математика

24.08.2018 20:36

Исследуем методические закономерности формирования обобщённого способа решения задач «на движение» и «на числовые зависимости» в соответствии с положениями теории поэтапного формирования умственных действий

Просмотр содержимого документа
«Методология формирования обобщённого способа решения задач «на движение» и «на числовые зависимости».»

Методология формирования обобщённого способа решения задач «на движение» и «на числовые зависимости».

Класс К₁ характеризуется следующими признаками:

в задачах участвуют два движущихся объекта с динамическими характеристиками (скорость, время, расстояние) и взаимосвязью ;
скорости объектов неизвестны, относительно независимы и постоянны;
в задачах рассматриваются 2 ситуации равновесия;
моделями динамических характеристик движущихся объектов выступают рациональные уравнения;
система трёх уравнений выступает моделью задачи;
интерпретация решений системы осуществляется на конкретных числовых множествах.

Признаки класса К₄:

- содержанием задач класса являются действия с натуральными числами в систематической записи по фиксированному основанию системы счисления;

- объектами задач выступают слагаемые в систематической записи натурального числа с динамическими характеристиками – цифрой разряда («V»), разрядом («t»), слагаемым («S»), их взаимной связью ;

- цифры разряда задаются на конечном множестве {0, 1, …, 9}, разряды – на конечном множестве {0, 1, 2, …, n}, слагаемые составлены из цифры и нулей, что в решении задач позволяет в качестве метода использовать перебор.

Материализованный уровень в классе арифметических задач К₁ «на движение» представлен конкретной задачей: Моторная лодка и парусник, находясь на озере в 30 км друг от друга, движутся навстречу и встречаются через 1 ч. Если бы моторная лодка находилась в 20 км от парусника и догоняла его, то на это потребовалось бы 3 ч 20 мин. Определите скорости лодки и парусника, полагая, что они постоянны и неизменны в обоих случаях.

Целью действия на данном уровне является нахождение скоростей лодки и парусника. Данная задача определяет становление действия и принимается субъектом изолированно, вне класса задач. Содержанием действия на данном уровне является установление системы операций, направленных на нахождение скоростей лодки и парусника. Действие представлено субъекту в форме исполнительских действий, фиксируя материализованный уровень.

Внешнеречевой уровень сформированности действия в классе арифметических задач К₄ «на числовые зависимости» представлен субъекту в форме процедур обобщения и конкретизации, так как содержание деятельности представлено в системе задач:

Установить обобщённый способ решения задач класса К₄ «на числовые зависимости».
Конкретизировать обобщённый способ решения на следующей текстовой задаче: Двузначное натуральное число записано в десятичной системе счисления. При делении квадрата суммы цифр на первую цифру получается 5. Разность числа и числа, записанного теми же цифрами, но в обратном порядке равна 18. Найти натуральное число.

Несмотря на внешнюю несхожесть классов задач К₁ и К₄, их общей характеристикой является аналогия: объектов задач, динамических характеристик объектов с их взаимной связью, структурного построения задач.

В классе задач «на движение» в качестве объектов задачи выступают движущиеся тела с динамическими характеристиками – скоростью (V), временем (t), путем (S), с условием их взаимосвязи ;

В классе задач «на числовые зависимости» в качестве объектов задачи выступают слагаемые в систематической записи натурального числа с динамическими характеристиками – цифрой («V»), разрядом («t»), слагаемым («S»), с условием их взаимосвязи .

Структура каждой задачи классов К₁ и К₄предполагает фиксацию ситуаций равновесия динамических характеристик с рациональными уравнениями в качестве математических моделей (число ситуаций (уравнений) совпадает с числом объектов задачи). Сюжет задачи предполагает также неизменяемость одной из динамических в каждой из ситуаций, вследствие чего система рациональных уравнений становится математической моделью задачи.

Аналоговая структура объектов, их динамических характеристик, сюжета задач обосновывает правомерность методической задачи по формированию общего способа решения задач каждого из классов.

В методическом плане решение конкретных задач реализует цель выделения полного операционного состава формируемого действия, имеющего закономерный характер. Следующей технологической процедурой выступает анализ операционного состава в форме фиксации каждой операции характерным именем. Именно на уровне имён операций осуществляется отрыв учащихся от материализованного уровня – первый этап обобщения. На базе уровня имён в каждом классе мы фиксируем аналоговую гипотетическую глагольную форму операций – обобщённый способ действия в данном классе задач. Обобщённый способ действия позволяет учащемуся фиксировать внешнеречевой уровень, представленный в форме процедур обобщения и конкретизации. Конкретизация на данном уровне выступает подтверждением применения сформированных операций для всего класса задач.

Технологическая схема формирования обобщённого способа действия в классе К₁ и внешнеречевого уровня формирования действия в классе К₄ представлена в форме таблицы:

Класс К₁ задач «на движение»

Класс К₄ задач «на числовые зависимости»

Обобщённый способ действия

Внешнеречевой уровень формирования деятельности (актуализируемый этап обобщения опущен)

Выделим динамические характеристики (S, V, t) с их единицами измерения для 1 объекта движения.

Выделим динамические характеристики (S, V, t) с их единицами измерения для 2 объекта движения.

В относительно изолированном фрагменте задачи зафиксируем ситуацию I взаимной связи динамических характеристик 1, 2 объектов.

В другом относительно изолированном фрагменте задачи зафиксируем ситуацию II взаимной связи динамических характеристик 1, 2 объектов.

Поставим цель – поиск неизвестных динамических характеристик (скоростей) на зафиксированном множестве значений, удовлетворяющих каждой из двух выделенных ситуаций.
В качестве независимых переменных x, y выберем одни и те же неизвестные динамические характеристики каждого из объектов с фиксированием единиц измерения их значений.
В установленной ситуации I с помощью введённых переменных фиксируем взаимные связи динамических характеристик 1 и 2 объектов.
Охарактеризуем взаимную связь динамических характеристик ситуации I математической моделью – рациональным уравнением с двумя переменными.
В установленной ситуации II с помощью введённых переменных фиксируем взаимные связи динамических характеристик 1 и2 объектов.

Охарактеризуем взаимную связь динамических характеристик ситуации II математической моделью – рациональным уравнением с двумя переменными.
Характеризуем неизвестные наборы значений переменных как решение каждого из уравнений, и значит решения системы рациональных уравнений.
Строим математическую модель всех ситуаций данной задачи – систему двух рациональных уравнений с двумя переменными.

Поставим задачу – решение системы двух рациональных уравнений с двумя переменными.
Актуализируем общий метод решения системы двух рациональных уравнений с двумя переменными.
Решаем построенную систему рациональных уравнений в соответствии с общим методом решения рациональных систем.

Интерпретируем все решения системы в содержании данной задачи.
В качестве решения задачи фиксируем те наборы значений, которые удовлетворяют условию исходной задачи с указанием единиц измерения.
В процессе решения задач на движение основными этапами являются:

A) описание каждой из двух ситуаций на языке динамических характеристик;

В) описание ситуаций с помощью математических моделей – рациональных уравнений;

С) описание задачи с помощью математической модели – системы рациональных уравнений;

D) решение системы уравнений;

Е) интерпретация решений системы в содержании задачи.

Задача. Двузначное натуральное число записано в десятичной системе счисления. При делении квадрата суммы цифр на первую цифру получается 5. Разность числа и числа, записанного теми же цифрами, но в обратном порядке равна 18. Найти натуральное число.

1. к. Выделим динамические характеристики слагаемого из десятков:

- значение слагаемого из десятков («путь» )

- разряд («время»), t=1

- цифра разряда десятков («скорость»)

2. к. Выделим динамические характеристики слагаемого из единиц:

- значение слагаемого из единиц («путь»)

- разряд («время»),t=0

- цифра разряда единиц («скорость»).

3. к. В относительно изолированном фрагменте задачи «При делении суммы квадратов цифр на первую цифру получается 5» зафиксируем ситуацию I взаимной связи динамических характеристик для слагаемых из десятков и единиц (объектов 1, 0): при делении суммы квадратов цифр разрядов десятков и единиц на цифру разряда десятков получится 5.

4. к. В другом относительно изолированном фрагменте задачи: «Разность числа и числа, записанного теми же цифрами, но в обратном порядке равна 18» зафиксируем ситуацию II взаимной связи динамических характеристик для слагаемых из десятков и единиц (объектов 1, 0): разность числа, значения слагаемых десятков и единиц которого равны цифрам разряда десятков и единиц соответственно, и числа, значения слагаемых десятков и единиц которого равны цифрам разряда единиц и десятков соответственно, равна 18.

5. к. Поставим цель – поиск неизвестных цифр разряда слагаемых из десятков, единиц на множестве {1,…,9}.

6. к. В качестве независимых переменных выберем переменные x – цифра разряда десятков, y - цифра разряда единиц, с учётом, что x{1,…,9}, y{ 0,…,9}.

7. к. В установленной ситуации I с помощью введённых переменных фиксируем взаимные связи динамических характеристик слагаемых из десятков и единиц (объектов 1, 0):

делимое имеет вид – x²+y²; делитель имеет вид – х; частное имеет вид – 5.

8. к. Охарактеризуем взаимную связь динамических характеристик ситуации I математической моделью – рациональным уравнением с двумя переменными: .

9. к. В установленной ситуации II с помощью введённых переменных фиксируем взаимные связи динамических характеристик слагаемых из десятков и единиц (объектов 1, 0):

уменьшаемое имеет вид – x∙10+y; вычитаемое имеет вид - y∙10+x; разность имеет вид - 1∙10+8 .

10. к. Охарактеризуем взаимную связь динамических характеристик ситуации II математической моделью – рациональным уравнением с двумя переменными:

(x∙10+y) − (y∙10+x) =1∙10+8.

11. к. Характеризуем неизвестные наборы значений переменных x, y как решение каждого из уравнений, и значит решения системы рациональных уравнений.

12. к. Строим математическую модель всех ситуаций данной задачи – систему двух рациональных уравнений с двумя переменными:

(*)

13. к. Поставим задачу – решение системы (*) двух рациональных уравнений с двумя переменными.

14. к. Актуализируем общий метод решения системы двух рациональных уравнений с двумя переменными.

15. к. Решаем построенную систему (*) рациональных уравнений в соответствии с общим методом решения рациональных систем:

упрощаем второе уравнение системы:

Из второго уравнения выразим x через y:

Значение x подставим в первое уравнение и решим его:

4 + 4y + y²+ y²= 10 + 5y

2y²–y - 6=0

y₁= 2

y₂= -1.5

(4,2) - первое решение системы

(0.5, -1.5) – второе решение системы

16. к. Так как x{1,…,9}, то набор (0.5, -1.5) не удовлетворяет условию задачи, а набор (4,2) удовлетворяет условию задачи.

к. В качестве решения задачи фиксируем набор (4,2) , который удовлетворяет условию исходной задачи с единицами измерения - цифра разряда.

В процессе решения задач на числовые зависимости основными этапами являются:

A) описание каждой из двух ситуаций на языке динамических характеристик;

В) описание ситуаций с помощью математических моделей – рациональных уравнений;

С) описание задачи с помощью математической модели – системы рациональных уравнений;

D) решение системы уравнений;

Е) интерпретация решений системы в содержании задачи.

Технологическая схема формирования действия «материализованный уровень → уровень имён → обобщённый способ → внешнеречевой уровень», имеющая дидактический характер позволяет планомерно формировать у учащихся обобщённый способ решения.