Олимпиада в 10 классе

Школьная олимпиада

10 класс

1. На одну чашку весов положили кусок сыра, а на другую - 3/4 такого же куска и еще 3/4 кг. Установилось равновесие. Какова масса куска? (2 балла)

2. докажите, что уравнение х²-2ху=1978 не имеет решений в целых числах. (3 балла)

3. Найдите два двузначных числа, куб одного из которых равен квадрату другого. (5 баллов)

4. Как изменится объем прямоугольного ящика, если длину его увеличить на 50%, ширину оставить без изменения, а высоту уменьшить в полтора раза? (5 баллов)

5. Постройте ромб по диагонали и его высоте. (7 баллов)

Ответы:

1. 3 кг.

2. Преобразуем уравнение х²-2ху=1978 в виде х(х-2у)=2∙23∙43. Тогда либо х, либо х-2у - четное число. Пусть х - четное число, х=2n, тогда х-2у=2n-2у=

=2(n-у) тоже четное. Значит, произведение х(х-2у) кратно 4, чего не может быть. Аналогично, если х-2у - четное число. Следовательно, уравнение

х²-2ху=1978 не имеет решений в целых числах.

3. 64 и 16.

4. Останется без изменения.

5. Сначала построить треугольник по гипотенузе, равной диагонали, и катету, равному высоте. По этому треугольник построить искомый ромб.