Подготовка к олимпиадам по математике. Задачи на взвешивание.

Задачи на взвешивание

Три кубика и одна раковина весят столько же, сколько 12 бусинок, а одна раковина весит столько же, сколько один кубик и 8 бусин. Сколько бусин нужно положить на чашу весов, чтобы уравновесить раковину?

Условие задачи можно представить в виде рисунка или схемы.

К+К+К+Р=12Б

Р=К+8Б

Р=?Б

Решение:

К+К+К+Р=12Б, а так как Р=К+8Б, следовательно

К+К+К+К+8Б=12Б

4К+8Б=4Б+8Б, по 8 бусинок можно сократить, получится 4К=4Б, значит К=Б

По условию задачи Р=К+8Б, тогда

Р=Б+8Б=9Б

Ответ: 9 бусинок можно положить на чашку весов, чтобы уравновесить раковину.

Задачи для самостоятельного решения

1. На одной чаше весов лежат 6 одинаковых яблок и 3 одинаковые груши, а на другой чаше – 3 таких же яблока и 5 таких же груш. Весы находятся в равновесии. Что легче: яблоко или груша?

2. Три одинаковых яблока тяжелее, чем 4 одинаковые груши. Что тяжелее: 4 яблока или 5 груш?

3. Груша и слива весят столько же, сколько весят два яблока; 4 груши весят столько же, сколько весят 5 яблок и 2 сливы. Что тяжелее: 7 яблок или 5 груш?

4. Пусть 2 чашки и 2 кувшина весят столько же, сколько 14 блюдец, 1 кувшин весит столько же, сколько 1 чашка и 1 блюдце. Сколько блюдец уравновесят кувшин?

5. Антоше подарили весы, и он начал взвешивать свои игрушки. Машину уравновесили мяч и два кубика, а машину с кубиком – два мяча. Сколько кубиков уравновешивают машину? (все мячи у Антоши одинаковые, кубики тоже)

6. Два яблока весят столько же, сколько 3 персика, а персик весит, как 2 абрикоса. На одной чаше весов – 2 яблока. Сколько абрикосов надо положить на вторую чашу?

7. Два огурца весят столько же, сколько 4 помидора, а один помидор, как 3 репы. На правой чаше весов – один огурец и 3 репы. Сколько помидоров должно быть на левой чаше, чтобы весы были в равновесии?

8.Два ананаса весят, как 4 яблока, а одно яблоко, как 3 абрикоса. На одной чаше весов – два ананаса. Сколько

абрикосов надо положить на вторую чашу весов, чтобы весы были в равновесии?

9.Одна мышка-норушка и 2 лягушки-квакушки весят столько же, сколько 2 мышки-норушки и одна лягушка-квакушка. Кто тяжелее?

10. Пять одинаковых мячиков и 3 куклы стоят столько же, сколько 4 таких мячика и четыре куклы. Что дороже: мячик или кукла?

Теперь задачи другого вида - более сложные. В них нужно определить, где фальшивая монета, настоящая.

Из трёх монет две настоящие и одна фальшивая – она легче остальных. Как за одно взвешивание на чашечных весах без гирь можно определить фальшивую монету?

Решение:

На чашки весов надо положить по одной монете, а третью монету отложить в сторону. При взвешивании может получиться два результата – монеты на весах одинакового веса. Значит та монета, которая лежит в стороне фальшивая; или одна монета на весах тяжелее, значит та, что легче – фальшивая.

Задачи для самостоятельного решения

1. Из девяти монет одна фальшивая – она легче остальных. Как за два взвешивания на чашечных весах без гирь можно определить фальшивую монету?

2. Из 27 монет одна фальшивая – она легче других. За какое наименьшее число взвешиваний на чашечных весах без гирь можно определить фальшивую монету?

3. Из трёх одинаковых с виду монет одна фальшивая, но неизвестно, она тяжелее или легче остальных. Как определить фальшивую монету, сделав не более двух взвешиваний на чашечных весах без гирь?

4. Их 15 одинаковых с виду монет одна фальшивая. Неизвестно, она тяжелее или легче остальных. Как узнать, фальшивая монета тяжелее или легче настоящих, сделав не более двух взвешиваний на чашечных весах без гирь?

5. Имеется три мешка с монетами, в двух из них настоящие монеты весом 10 г каждая, а в одном фальшивые монеты весом 9 г каждая. Есть весы, показывающие общий вес положенных на них монет. Как с помощью одного взвешивания найти, в каком мешке фальшивые монеты?

6. Имеется 10 мешков с монетами, в девяти из них настоящие монеты весом 10 г каждая, а водном фальшивые монеты весом 9 г каждая. Есть весы, показывающие общий вес, положенных на них монет. Как с помощью одного взвешивания найти, в каком мешке фальшивые монеты?