Практическая работа 5 по теме "Решение алгебраических и трансцендентных уравнений приближенными методами ( метод итераций)"

Цель: Освоить численные методы, используемые при решении алгебраических и трансцендентных уравнений

Студент должен:

знать:

- способы решения алгебраических и трансцендентных уравнений приближенными методами;

уметь:

- находить приближенное значение корней алгебраических и транс­цендентных уравнений;

- составлять алгоритмы и программы для нахождения приближен­ных решений алгебраических и трансцендентных уравнений.

Форма организации занятия – индивидуальная.

Методические указания

Итерация (лат) Повторное применение какой-либо математической операции.

Заменим уравнение F(x) = 0 равносильным уравнением х = f(x).

Пусть ξ – корень уравнения х = f(x), а х₀, полученное каким-либо способом нулевое приближение к корню ξ. Подставляя х₀ в правую часть уравнения х = f(x), получим некоторое число х₁ = f(x₀). Повторим данную процедуру с х₁ и получим х₂ = f(x₁), Повторяя описанную процедуру, получим последовательность: х₀, х₁, х₂……х_n…… , называемую итерационной последовательностью.

Геометрическая интерпретация данного алгоритма:

f(x₃)

f(x₂)

f(x₁)

f(x₀)

x₀ x₁ x₂ x₃ ξ

Итерационная последовательность может быть как сходящейся, так и расходящейся, что определяется видом функции f(x).

У сходящейся последовательности существует конечный предел.

Теорема 1: Если функция f(x) непрерывна, а последовательность х₀, х₁, х₂……х_n…… сходится, то предел последовательности х₀, х₁, х₂……х_n…… является корнем уравнения х = f(x).

x_n=f(x_n-1)

Найдем предел x_n

Условие сходимости итерационного процесса определяется теоремой о достаточном условии сходимости итерационного процесса.

Теорема 2: Пусть х = f(x) имеет единственный корень на отрезке [a,b] и выполнены условия:

1. f(x) определена и дифференцируема на [a,b].

2. 

3. Существует такое вещественное q , что для всех .

Тогда итерационная последовательность x_n=f(x_n-1) (n=1,2…..) сходится при любом начальном приближении

Оценка погрешности метода простой итерации:

Пусть x_n - приближение к истинному значению корня уравнения х = f(x).

Абсолютная ошибка приближения x_n оценивается

Δ x_n = |ξ - x_n |

Отсюда можно вывести: Δ x_n

При заданной точности ответа ε итерационный процесс прекращается, если Δ x_n ≤ ε.

Итак:

Метод итераций для решения уравнений типа состоит в том:

• что сначала отделяется корень уравнения,

• затем оно преобразуется к виду x = φ(x). с правой частью, имеющей производную по модулю меньшую, чем 1, на всем отрезке, отделяющем корень, Этот переход можно осуществить разными способами, в зависимости от вида f(x). Например, можно положить φ(x) = x + bf(x), где b = const

• Если известно начальное приближение к корню x₀, то новое приближение x₁ = φx(₀), т.е. общая схема итерационного процесса:
  x_k+1 = φ(x_k).

Процесс построения последовательности надо прервать тогда, когда два раза подряд получится одно и то же число с заданной степенью точности.

Наиболее простой критерий окончания процесса .

Пример №5. Методом итераций уточнить корень уравнения заключенный на отрезке [0; 1] с точностью ε = 0,01

Решение

Уравнение F(x)=0 приведем к виду Это можно сделать разными способами, например:

1) тогда

2) тогда

3) тогда

Определим, какой из полученных функций следует воспользоваться для вычисления последовательных приближений. Итерационный процесс сходится, если

Выберем на отрезке [0; 1] произвольную точку x₀. Пусть x₀=0,5. Тогда

Проверим условие сходимости итерационного процесса:

- расходящийся итерационный процесс;

- сходящийся итерационный процесс.

Следовательно, для вычисления последовательных приближений можно использовать только

Составляем итерационную формулу x_k+1 = φ(x_k).

х_к+1=. В качестве начального значения выберем середину отрезка [0; 1].

Ответ: х = 0,15

Задание для практической работы:

Решить уравнения методом итераций

Вопросы по теме:

1. Что значит решить уравнение?

2. Какое число называется корнем уравнения?

3. Какие уравнения называются равносильными?

4. Какие существуют методы решения нелинейных уравнений с одной переменной?

5. Из каких этапов состоит решение нелинейного уравнения?

6. В чем заключается этап отделения корней при использовании численных методов решения уравнения?

7. Как аналитически проверить, что корень уравнения f(x)=0 находится на интервале (a;b)?

8. Как произвести отделение корней нелинейного уравнения?

9. В чем сущность метода итераций?

Литература:

1. Лапчик М.П. Элементы численных методов: учебник для студ. сред. проф. образования М.:Издательский центр» Академия 2007

2. Бахвалов Н.С. , Жидков Н.П. Кобельков Г.М. Численные методы. – М.: Лаборатория Базовых Знаний, 2001. – С.35-75.

3. Плотников А.Д. Численные методы Минск ООО «Новое знание» 2007

4. Поршнев С.В., Беленкова И.В. Численные методы на базе Mathcad. – СПб.: БХВ-Петербург, 2005. – 464 с.:ил.