Презентация к обобщающему занятию "Степенная функция"

Бюджетное профессиональное образовательное учреждение Республики Алтай «Горно-Алтайский государственный политехнический колледж им. М.З.Гнездилова»

Степенная функция (обобщающее занятие)

Дисциплина ПД.01 Математика

1 курс

Разработчик: Евсюкова С..Е

«Пусть кто-нибудь попробует вычеркнуть из математики степени, и он увидит, что без них далеко не уедешь» М.В. Ломоносов, русский ученый (1711-1765)

Содержание

Исторические сведения

Области применения

Народная мудрость

Пункты содержания можно изменить (удалить или добавить). На все пункты установлены гиперссылки. Справа можно вставить рисунок, раскрывающий тему урока.

Викторина

Домашнее задание

3

«Математика, вероятно, никогда не достигла бы такой высокой степени совершенства, если бы древние не приложили столько усилий для изучения вопросов, которыми сегодня многие пренебрегают из-за их мнимой бесплодности» Леонард Эйлер, швейцарский математик, механик (1707-1783)

3

Пятое действие арифметики

Потребность в действиях возведения в степень и извлечения корня была вызвана практической необходимостью.

Представление о возведении в степень как о самостоятельной операции сложилось не сразу, хотя задачи на вычисление степеней встречаются еще в математических текстах Древнего Египта и Междуречья. Глиняные плитки содержат записи таблиц квадратов, кубов и их обратных значений.

Первоначально под степенью понимали произведение нескольких одинаковых сомножителей.

В XIV в. французский епископ города Лизье в Нормандии Никола Орем впервые стал заменять корни из чисел дробными показателями степени.

Английский математик Джон Валлис в 1665 г. впервые подробно рассмотрел вопрос о целесообразности употребления отрицательных показателей.

Современное обозначение натуральной степени впервые ввел Декарт, а отрицательных степеней - И. Ньютон в 1676 году.

Джон Валлис

К каждой теме можно вставить рисунок или чертеж. На названиях тем установлены гиперссылки. Все кнопки навигации работают.

Исаак Ньютон

5

Шестое действие арифметики

Еще 4000 лет назад вавилонские ученые умели находить приблизительные значения квадратного корня из любого целого числа.

Среди знаменитых задач, которыми занимались древнегреческие ученые еще в V – IV вв. до н.э., была задача «об удвоении куба»: «Найти ребро куба, объем которого в 2 раза больше объема данного куба». Схему для приближенного извлечения кубических корней дал греческий математик Герон Александрийский в I в. н.э.

Приемы извлечения кубического и квадратного корня с помощью счетной доски и счетных палочек содержатся в китайском трактате XIII в. «Математика в девяти книгах».

Слово «корень» пришло от арабов, которые представляли себе квадрат числа, вырастающим из корня, как растение.

Современный знак корня ввел Рене Декарт в 1637 году, однако во всеобщее употребление он вошел лишь в начале XVIII в. Тогда же было установлено, что квадратный корень из положительного числа имеет два значения – положительное и отрицательное, а из отрицательного числа квадратный корень извлекать нельзя.

К каждой теме можно вставить рисунок или чертеж. На названиях тем установлены гиперссылки. Все кнопки навигации работают.

Герон

Рене Декарт

6

Биографические сведения о Рене Декарте

Честь придания алгебре современного вида принадлежит Р. Декарту.

Рене Декарт родился в маленьком городке Лаэ провинции Турень, в не очень знатной, но зажиточной дворянской семье. Его мать умерла, когда ему был 1 год. Отец Декарта был судьёй. В детстве Рене отличался хрупким здоровьем и невероятной любознательностью.

В восемь лет Рене отдали на полное попечение в одну из лучших иезуитских коллегий. Впоследствии Декарт с благодарностью вспоминал о заботах ее воспитателей.

Парадоксально, но именно иезуиты, учителя Декарта, станут потом его заклятыми врагами. Декарта стали преследовать за его философское учение, и он был вынужден искать убежища в Голландии, где прожил около 20 лет. Однако, это его не спасло. Произведения Декарта были присуждены сожжению.

Он ведёт обширную переписку с лучшими учёными Европы, изучает самые различные науки – от медицины до метеорологии. Декарт сформулировал свой метод познания: дедуктивные (математические) рассуждения над результатами воспроизводимых опытов.

К каждой теме можно вставить рисунок или чертеж. На названиях тем установлены гиперссылки. Все кнопки навигации работают.

6

Биографические сведения о Рене Декарте

Швецией в это время правила 20-летняя королева Кристина Августа. Энергичная королева обладала незаурядными способностями. Она пригласила к себе Декарта в 1649 году для занятий философией.

Несмотря на зимние холода, уроки начинались в пять утра. Это было тяжело для Декарта. Однажды, направляясь во дворец, он простудился. началось воспаление легких, и 11 февраля 1650 года Декарт умер.

В 1980 г. в архиве Лейденского университета нашлось письмо личного врача королевы Кристины, которое показывает, что ученый умер не от воспаления легких, а был отравлен. Предполагают, что это было сделано из опасения влияния католика Декарта на протестантку Кристину. Тем не менее через четыре года после смерти ученого королева отреклась от престола, перешла в католичество и уехала в Италию.

Так спустя 330 лет после смерти, возможно, была раскрыта тайна гибели великого Декарта.

К каждой теме можно вставить рисунок или чертеж. На названиях тем установлены гиперссылки. Все кнопки навигации работают.

6

« Мало иметь хороший ум, главное – хорошо его применять » Рене Декарт, французский философ, математик (1596 -1650)

6

Применение степенной функции

Траектория, по которой движется брошенное под углом к горизонту тело с учетом сопротивления воздуха – это баллистическая кривая. 

СТЕПЕНЬ С натуральным четным ПОКАЗАТЕЛЕМ - парабола

Применение степенной функции

Стрелочный перевод

СТЕПЕНЬ С натуральным нечетным показателем – кубическая парабола

Применение степенной функции

В экономике – функции спроса; кривые безразличия

СТЕПЕНЬ С ОТРИЦАТЕЛЬНЫМ ДРОБНЫМ ПОКАЗАТЕЛЕМ - гипербола

Применение степенной функции

В кинематике – график равнозамедленного движения

СТЕПЕНЬ С положительным ДРОБНЫМ ПОКАЗАТЕЛЕМ (правильная дробь) – ветвь параболы

Применение степенной функции

Многие функциональные зависимости выражаются через степенную функцию. Например,

• В геометрии зависимость объема куба V от его ребра a:

V = a 3 ;

• В географии дальность d расстояния горизонта от наблюдателя - это функция высоты, на которую поднят наблюдатель над уровнем моря:

d = 3,8h 1/2 ;

• В строительстве сопротивление балки изгибу зависит от момента инерции сечения относительно нейтрального слоя. Момент инерции для круглой балки радиуса R равен

 R 2 /4,

а для квадратного сечения со стороной а:

 а 4 /12,

где  - плотность материала на единицу площади.

К каждой теме можно вставить рисунок или чертеж. На названиях тем установлены гиперссылки. Все кнопки навигации работают.

6

Применение степенной функции в экономике

В экономике используются функции полезности, показывающие отношение потребителя к товару.

Функции полезности, описывающие поведение человека в зависимости от характера, темперамента, отношения к риску:

• Ровное отношение – полезность оценивается пропорционально количеству купленного;
• Осторожное отношение – полезность больших приобретений преуменьшается, а «вредность» больших потерь преувеличивается;
• Смелое отношение – полезность больших приобретений преувеличивается, а «вредность» больших потерь преуменьшается.

К каждой теме можно вставить рисунок или чертеж. На названиях тем установлены гиперссылки. Все кнопки навигации работают.

6

Применение степенной функции в физике

Многие физические зависимости выражаются через степенную функцию. Например,

• сила притяжения F двух тел массами m 1 и m 2 зависит от расстояния r между ними:

F = γ m 1 m 2 r – 2 ;

• зависимость между расстоянием h и временем t при свободном падении с начальной скоростью v 0 такова:

где g – ускорение свободного падения;

• зависимость периода колебаний математического маятника T от его длины x:

T = 2  (x/g) 1/2 ;

• зависимость давления газа P при расширении или сжатии без теплообмена с окружающей средой от его объема V:

V· P k = C

(для воздуха k = -1,4).

Заметим, что в двух последних случаях показатель степени не является целым числом.

К каждой теме можно вставить рисунок или чертеж. На названиях тем установлены гиперссылки. Все кнопки навигации работают.

6

  «Русский народ создал огромную изустную литературу... Напрасно думать, что эта литература была лишь плодом народного досуга. Она была достоинством и умом народа»  А.Н. Толстой, русский писатель (1882-1945) 

6

Степенная функция в пословицах и поговорках

«Чем дальше в лес, тем больше дров» 

«Горяч на почине, да скоро остыл»

Степенная функция в пословицах и поговорках

« Поменьше говори, побольше услышишь»

«Как аукнется, так и откликнется»

Степенная функция в пословицах и поговорках

«Недосол на столе – пересол на спине»

«Душа в пятки ушла»

Викторина

  «Счет и вычисления - основа порядка в голове»   Иоганн Генрих Песталоцци, швейцарский педагог (1746-1827) 

6

1. Функция у = 1/х является степенной.

6

2. Установите пары взаимно обратных функций

у = 1/5· (х + 3)

y = 3х + 5

у = х 3 + 5

y = 3/( х – 5)

у = 1/3· (х - 5)

y = 5х – 3

у = 3 – 5/х

y = 5/(3 – х)

у = 3/х + 5

y = (х – 5) 1/3

6

3. Найдите область определения функции у = (3х + 1) -2

х  -1/3

6

4. Найдите множество значений функции у = х - 4

(0; +  )

6

5. Функция у = х 1/3 является возрастающей на всей области определения.

6

6а). Какой из графиков соответствует функции y = - х 3 + 3

Ответ: а

6б). Какой из графиков соответствует функции y = (х – 2) 1/3

Ответ: г

6в). Какой из графиков соответствует функции y =  (х-3) 3 - 1 

Ответ: в

7. В каком случае уравнения являются равносильными?

(2х – 3) 2 = 25 и 2х – 3 = 5

(х 2 – 3х + 2)/(х – 1) = 0 и х 2 – 3х + 2 = 0

(х + 18) 1/3 = (2 – х) 1/3 и х + 18 = 2 – х

х – 1 = 0 и 2 х – 1 = 0

(х – 5) 2 = 3(х – 5) и х – 5 = 3

6

8. Найдите область определения уравнения

 -3;0 

6

9. Какая из функций соответствует графику?

у = х 4

у = х 0,2

у = х - 4

у = х -3

у = х 7

6

10. Подберите для каждого уравнения предпочтительный метод решения

возведение в квадрат с последующей проверкой

графический

замена переменной

использование свойства монотонности функции

оценка ОДЗ

6

11. Какая из функций является нечетной:

у = 5/ х 3

у = 5/х + 1

у = 5х 6

у = х 4/3 + 5

у = х 4/3

Домашнее задание

• Алимов Ш.А. и др. Алгебра и начала анализа. 10-11 кл. - Упр. к главе 3, «Проверь себя»

Использованные источники

• Удивительная история математики / В.С. Кессельман. – М. : ЭНАС-КНИГА, 2013. – 232 с. : ил. – (О чем умолчали учебники).
• Алимов Ш.А. и др. Алгебра и начала анализа. 10-11 кл. Учебник для общеобразовательных учреждений. - М.:Просвещение, 2014.
• Черкасов О.Ю., Якушев А.Г. Математика для поступающих в вузы. М.: Учебный центр «Московский Лицей», 1996.
• http://le-savchen.ucoz.ru/publ/19-2
• https://xn--j1ahfl.xn--p1ai/library/shablon_prezentatcii_142810.html (шаблон презентации)

6