Презентация "Способы решения тригонометрических уравнений"

Способы решения тригонометрических уравнений

Основные типы уравнений и стандартные способы их решения

Содержание

I. Введение

II. Способы решения:

1) Замена переменной

2) Решение однородных уравнений

3) Разложение на множители

4) Решение линейных уравнений

а)введение вспомогательного угла

б)сведение к однородному

5) Решение уравнений, содержащих высокие степени

6) Решение уравнений, c ограниченным ОДЗ

7) Универсальная тригонометрическая подстановка (дополнительно)

I. Введение

перейти

К оглавлению

● При решении тригонометрических уравнений, стараются привести уравнения к уравнению, содержащему одну функцию одного аргумента.

● Способы решения уравнений различны, однако, можно выделить основные типы уравнений и стандартные способы их решений.

II. Способы решения

перейти

Замена переменной

1

К оглавлению

Пример:

3 tg ² x + tgx – 2 = 0

Решение:

t = tg x

3t² + t – 2 = 0

D = 1+4 · 2 · 3=25

t = -1 t = 2/3

-1-5

-1+5

t = или t=

6

6

tgx = -1 tgx = 2/3

x =- + πk; k Є Z

x= arctg2/3+πn; nЄZ

π

4

+ πn; arctg2/3+πn; nЄZ

Ответ:

π

4

II. Способы решения

Решение однородных уравнений (теория)

2

Однородные уравнения относительно sin x и cos x:

a sinx + b cosx = 0

a sin²x + b sinx cosx + c cos²x = 0

Значения х при которых соsх = 0 , не являются решениями уравнения, т.к. если cosx = 0, то sinx = 0, а sinx и cosx не могут быть равными нулю одновременно.

cosx ≠ 0 в однородных уравнениях

II. Способы решения

перейти

Решение однородных уравнений

2

3sinx + 2 cosx = 0

Пример:

// разделим на cosx ≠0 в однородном уравнении

Решение:

3 tgx +2 =0

3tgx = -2

tgx = -2/3

x=arctg(-2/3) + πn, n Є Z

arctg(-2/3) + πn, n Є Z

Ответ:

II. Способы решения

перейти

разложение на множители

3

К оглавлению

Пример:

sin2x = 2cos²x

Решение:

2 sinx cosx -2 cos²x= 0 ! Делить на cosx нельзя

2cosx (sinx –cosx) = 0

cosx= 0 или sinx – cosx = 0 |разделим на cosx ≠0 в однородном ур-и

x = +πk, k Є Z, или tgx -1=0

x = +πn, n Є Z

π

2

π

4

Ответ:

7

II. Способы решения

4

Линейные уравнения относительно sinx и cosx (теория)

4a

Введение вспомогательного угла

Поделив обе части на получим:

II. Способы решения

4

Линейные уравнения относительно sinx и cosx

4a

Введение вспомогательного угла

Пример:

Решение:

4б

Ответ:

II. Способы решения

перейти

4

Линейные уравнения относительно sinx и cosx

4б

Сведение к однородному

Пример:

Решение:

:

Ответ:

II.Способы решения

5

Решение уравнений, содержащих выс. степени

Формулы понижения степени:

2 cos ²x = 1+ cos2x

2sin²x = 1 – cos2x

2sinx ∙ cosx = sin2x

sin²x +cos²x = 1

(sin²x + cos²x)² = 1

sin ⁴x + cos⁴x =

=sin ⁴ x + 2sin²x cos²x + cos⁴x – 2sin²x cos²x =

= 1 – 2 sin²x cos²x = 1 – 0,5 sin²2x

sin⁶x + cos⁶x =

=(sin²x + cos²x)(sin⁴x + sin²x cos²x + cos⁴x)=

=sin⁴x + 2sin²x cos²x + cos⁴x – 3 sin²x cos²x = 1 – 0,75 · sin²2x

II.Способы решения

перейти

К оглавлению

5

Решение уравнений, содержащих выс. степени

Пример:

4sin ⁴x +12 cos²x = 7

Решение:

(2sin²x)² + 6( 2cos²x) = 7

(1-cos2x)² + 6(1+cos2x)=7

1-2cos2x+cos²2x+6+6cos2x=7

cos²2x + 4cos2x = 0

cos2x(cos2x +4)=0

cos2x=0 или сos2x +4=0

2x = π/2+ πn или т.к. |cos t|

x = π/4+πn/2, n Є Z

+

-

+

-

+

π/4+πn/2, n Є Z

Ответ:

-

II. Способы решения

перейти

К оглавлению

Решение уравнений с ограниченной ОДЗ

6

Пример:

Решение:

Найдем ОДЗ:

cosx ≠-1; x ≠ π +2 πn, n Є Z

sinx=0

x= πn, n Є Z – сравним с ОДЗ

x= 2πn

2πn

Ответ:

II. Универсальная тригонометрическая подстановка

Этот способ решения применяют лишь в том случае, когда не видно других путей решения.

Полученное выражение поделим и умножим на (т.е. умножим на 1)

II. Универсальная тригонометрическая подстановка (продолжение)

II. Способы решения (продолжение)

Полученное выражение поделим и умножим на

=