Признак перпендикулярности прямой и плоскости_10 класс_геометрия

ПРИЗНАК ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТИ

ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ

2-й урок по теме « Перпендикулярность

прямых и плоскостей».

Повторить:

-определение перпендикулярных прямых;

-лемма;

-определение прямой, перпендикулярной

к плоскости;

-теорема о параллельных прямых,

перпендикулярных к плоскости

(прямая и обратная)

Перпендикулярные прямые в пространстве

Две прямые называются перпендикулярными,

если угол между ними равен 90 о

с

а

b

α

а  b

c  b

Лемма

Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к третьей прямой, то и другая прямая перпендикулярна к этой прямой.

Дано: а || b, a  c

a

b

Доказать: b  c

M

A

c

α

C

Доказательство:

Прямая называется перпендикулярной к плоскости, если она перпендикулярна к любой прямой, лежащей в этой плоскости

а

α

а  α

Теорема 1

Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к плоскости, то и другая прямая перпендикулярна к этой плоскости.

a

Дано: а || а 1 ; a  α

а 1

Доказать: а 1  α

α

х

Доказательство:

Теорема 2

Если две прямые перпендикулярны к плоскости, то они параллельны.

β

M

с

Дано: а  α ; b  α

α

Доказать: а || b

b

a

b 1

Доказательство:

Устная работа

• Дано: ОА ┴ α .

Найдите АОС , АОВ , AOD .

Найдите ( а , b ).

2. Дано: АМ ┴ ( АВС ), ВН – медиана Δ АВС

Найдите ( ВН , АМ ).

Устная работа

Дано: BF ┴ ( АВС ), ABCD – квадрат.

Найдите ( BF , АС ), ( BF , AD ),

( BF , DC ).

Дано: АВ ┴ α , CD ┴ α , AB = CD .

Определите вид четырехугольника ABCD .

Решение задачи № 1 20

Дано: ABCD – квадрат, АВ = а ,

АС BD = О , ОK ( АВС ), ОK = b .

Найдите: АK , ВK , СK , DK .

Доказать, что АK = ВK = СK = DK .

АК =

ПРИЗНАК ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТИ

ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ

Если прямая перпендикулярна к двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна к этой плоскости

a

Доказательство:

A

а) частный случай

P

l

Q

q

L

O

p

α

m

B

Доказательство:

а) общий случай

a 1

a

α

m

q

O

p

Решение задачи № 1 2 2

Дано: Δ ABC – правильный, CD ┴ ( АВС ), О – центр Δ АВС , ОK || CD , АВ = 16 √3 см, ОK = 12 см, CD = 16 см.

Найдите : BD , AD , А K , В K .

Решение

1. BD = AD , так как Δ BCD = Δ ACD (как прямоугольные по двум катетам). АС= 16 √3 см

2. AD =32 см.(по т. Пифагора)

3. АK = ВС , так как Δ АОK = Δ ВОK (как прямоугольные по двум катетам).АО= r =a √3/3 , а= 16 √3

4. AO = 16 см.

5. АK = √12 ^2 +16 ^2 = 20 см.

Решение задачи № 1 25

Дано: РР 1 ┴ α , QQ 1 ┴ α ,

PQ = 15 см, РР 1 = 21,5 см, QQ 1 = 33,5 см.

Найдите P 1 Q 1 .

Решение

1. ( РР 1 ┴ α , QQ 1 ┴ α ) РР 1 ││ QQ 1 .

2. ( РР 1 , QQ 1 ) = β , α ∩ β = P 1 Q 1 .

3. QK = 33,5 – 21,5 = 12 см.

4. P 1 Q 1 = РK = 9 см. ( по т.Пифагора)

ОТВЕТ: 9 см

Решение задачи № 1 2 7

Дано: Δ АВС , А + В = 90°, BD ┴ ( АВС ).

Доказать, что CD ┴ АС .

Доказательство

1. А + В = 90°, С = 90°.

Домашнее задание: