Рабочая программа по элективному курсу 11 класс "Подготовка к ЕГЭ"

ЧОУ СОШ «Оренбургская Епархиальная православная гимназия им. св. пр. Иоанна Кронштадтского»

РАБОЧАЯ ПРОГРАММАЭЛЕКТИВНОГО КУРСА

для 11 класса

«Подготовка к ЕГЭ»

Автор-составитель: Болдырева Татьяна Александровна, учитель математики, 1 квалификационной категории

2016 г.

Оренбург

Оглавление

Раздел I. Планируемые результаты освоения учебного предмета, курса 3

Раздел II. Содержание учебного предмета, курса 4

Раздел III. Тематическое планирование с указанием количества часов, отводимых на освоение каждой темы 5

Приложение

Календарно-тематическое планирование 8

Учебно-методическое и материально-техническое обеспечение 11

Оценочные материалы 12

Рабочая программа элективного курса предназначена для 11класса разработанана основании следующих документов:

• Федеральный закон "Об образовании в Российской Федерации"от 29.12.2012 N 273-ФЗ;

• Федеральный государственный образовательный компонент );

• ООП ООО ЧОУ СОШ «Оренбургская Епархиальная православная гимназия им. св. пр. Иоанна Кронштадтского» (протокол № 1 от 30.08.2016 );

• положение о рабочей программе ЧОУ СОШ «Оренбургская Епархиальная православная гимназия имени св. пр. Иоанна Кронштадтского» (протокол № 6 от 31.05.2016 г )

1. Планируемые результаты освоения учебного предмета, курса

Изучение данного курса дает обучающимся возможность:

• Повторить и систематизировать ранее изученный материал школьного курса математики;

• Освоить основные приемы решения задач;

• Овладеть навыками построения и анализа предполагаемого решения поставленной задачи;

• Познакомиться и использовать на практике нестандартные методы решения задач;

• Повысить уровень своей математической культуры, творческого развития, познавательной активности;

• Познакомиться с возможностями использования электронных средств обучения, в том числе интернет-ресурсов, в ходе подготовки к итоговой аттестации в форме ЕГЭ.

1. Содержание учебного предмета, курса

Модуль тригонометрия

Простейшие тригонометрические уравнения. Прикладные задачи, сводящиеся к решению простейших тригонометрических уравнений и неравенств.

Решение тригонометрических уравнений с последующим отбором корней.

Модуль производная и ее применение

Физический и геометрический смысл производной. Производная и исследование функций. Возрастание и убывание функции. Экстремумы. Чтение графиков функции и графиков производной функции. Наибольшее и наименьшее значение функции.

Модуль комбинаторика и теория вероятности

Комбинаторика. Поочередный и одновременный выбор. Размещения с повторениями, сочетания с повторениями. Перестановки.

Вероятность. Частота события, вероятность. Равновозможные события и подсчет их вероятности. Геометрическая вероятность. Вероятности событий. Условная вероятность. Независимость событий. Вероятность произведения независимых событий. Формула Бернулли. Решение задач.

Статистические данные. Представление данных в виде таблиц, диаграмм, графиков. Понятие о статистическом выводе на основе выборки.

1. Тематическое планирование с указанием количества часов, отводимых на освоение каждой темы.

Наименование и количество контрольных мероприятий в рамках тематического и итогового контроля

Приложение

(календарно-тематическое планирование, оценочные материалы)

Календарно-тематическое планирование

Материально-техническое обеспечение реализации программы

.

Литература для учителя:

1. Л.А. Александрова «Алгебра и начала математического анализа. 10 кл.: Самостоятельные работы: Учеб. пособие для общеобразоват. учреждений» / Л.А. Александрова; под ред. А.Г. Мордковича. – М.: Мнемозина, 2015. – 100с.

2. В.И. Глизбург «Алгебра и начала математического анализа. 11 класс. Контрольные работы для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый уровень)» / В.И. Глизбург; под ред. А.Г. Мордковича. – М.: Мнемозина, 2015. – 32с.

3. Мордкович, А.Г., Семенов П.В. «Алгебра и начала математического анализа. 10-11 классы. Методическое пособие для учителя (базовый уровень)» - М.: Мнемозина, 2015.- 202 с.

4. Семенов А.Л., Ященко И.В. и др. «ЕГЭ 2014. Математика. Типовые тестовые задания» - М.: Издательство «Экзамен», 2015 -88с

5. Математика. Подготовка к ЕГЭ – 2015. Книга 1:учебно-методическое пособие/под редакцией Ф.Ф. Лысенко, С.Ю. Кулабухова. – Ростов-на-Дону: Легион, 2014., 98с.

6. Семенов, А.С. Трепалин, И.В. Ященко, П.И. Захаров, под ред. И.В. Ященко/ - М.: Интеллект-Центр, 2016. – 88с.

Оценочные материалы по учебному элективному курсу «Подготовка к ЕГЭ»

Контрольная работа №1 «Решение простейших геометрических уравнени

1. Вычислите:

2. Вычислите с помощью формулы приведения:

3. Решите графически уравнение:

4. Решите уравнение:

5. Решите уравнение:

6. Докажите, что верно равенство:

7. Решить уравнение:

8. ^*Решить уравнение:

Контрольная работа №2 «Решение тригонометрических уравнений с последующим отбором корней».

1. а) Решите уравнение cos 2x + 3sin²x = 1,25.

б). Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку .

2. а). Решите уравнение cos2x – sin²( – x) = – 0,25.
    б). Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку .

3. а) Решите уравнение sin2x = 2sinx – cosx + 1.
    б). Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

4. а) Решите уравнение 4cos²x + 4cos(  + x) – 1 = 0.
    б) Найдите все корни уравнения, принадлежащие отрезку

5. а) Решите уравнение sin³x – sinx + cos²x = 0.
     б) Найдите корни уравнения, принадлежащие промежутку [– ; –].

Контрольная работа № 3 по теме «Производная. Ее физический и геометрический смысл. Возрастание и убывание функции. Экстремумы».

1. Найдите значение производной функции в точке .

2. Найдите значение производной функции в точке .

3. На рисунке изображён график функции и касательная к нему в точке с абсциссой . Найдите значение производной функции в точке .

1. На рисунке изображён график функции и касательная к нему в точке с абсциссой. Найдите значение производной функции в точке.

1. Найдите угловой коэффициент касательной к графику функции в точке с абсциссой .

2. Найдите угловой коэффициент касательной к графику функции в точке с абсциссой .

3. На рисунке изображен график функции, определенной на интервале (-7;5).

4. Найдите сумму точек экстремума функции.

1. Найдите точки минимума функции .

2. Найдите точки максимума функции .

7

1. Точка движется прямолинейно по закону . Вычислите скорость и ускорение точки при t = 1.

2. Точка движется прямолинейно по закону . Вычислите скорость и ускорение точки при t = 1.

Контрольная работа № 4 по теме «Чтение графиков функции и графиков производной функции.

Наибольшее и наименьшее значение функции».

1. На рисунке изображен график производной функции, определенной на интервале(-8; 4).

В какой точке отрезка функция принимает наименьшее значение.

1. На рисунке изображен график производной функции, определенной на интервале(-8;3). В какой точке отрезка функция принимает наибольшее значение.

1. На рисунке изображен график функции , определенной на интервале . Определите количество целых точек, в которых производная функции положительна.

1. На рисунке изображен график  — производной функции , определенной на интервале . В какой точке отрезка функция принимает наибольшее значение?

1. На рисунке изображен график  — производной функции , определенной на интервале . Найдите промежутки возрастания функции . В ответе укажите сумму целых точек, входящих в эти промежутки.

1. На рисунке изображен график  — производной функции , определенной на интервале . Найдите промежутки убывания функции . В ответе укажите длину наибольшего из них.

Контрольная работа № 5 « Элементы комбинаторики, статистики и теории вероятностей».

• Ответ: 0,16.

• Ответ: 0,16

• 285922

• 0,16

• Кон­курс ис­пол­ни­те­лей про­во­дит­ся в 5 дней. Всего за­яв­ле­но 80 вы­ступ­ле­ний — по од­но­му от каж­дой стра­ны, участ­ву­ю­щей в кон­кур­се. Ис­пол­ни­тель из Рос­сии участ­ву­ет в кон­кур­се. В пер­вый день за­пла­ни­ро­ва­но 8 вы­ступ­ле­ний, осталь­ные рас­пре­де­ле­ны по­ров­ну между остав­ши­ми­ся днями. По­ря­док вы­ступ­ле­ний опре­де­ля­ет­ся же­ребьёвкой. Ка­ко­ва ве­ро­ят­ность, что вы­ступ­ле­ние ис­пол­ни­те­ля из Рос­сии со­сто­ит­ся в тре­тий день кон­кур­са?

• Ре­ше­ние.

• На тре­тий день за­пла­ни­ро­ва­но вы­ступ­ле­ний. Зна­чит, ве­ро­ят­ность того, что вы­ступ­ле­ние пред­ста­ви­те­ля из Рос­сии ока­жет­ся за­пла­ни­ро­ван­ным на тре­тий день кон­кур­са, равна

• Ответ: 0,225.

• Ответ: 0,225

• 285923

• 0,225

• На кон­фе­рен­цию при­е­ха­ли 3 уче­ных из Нор­ве­гии, 3 из Рос­сии и 4 из Ис­па­нии. Каж­дый из них де­ла­ет на кон­фе­рен­ции один до­клад. По­ря­док до­кла­дов опре­де­ля­ет­ся же­ребьёвкой. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что вось­мым ока­жет­ся до­клад уче­но­го из Рос­сии.

• Ре­ше­ние.

• Всего в се­ми­на­ре при­ни­ма­ет уча­стие 3 + 3 + 4 = 10 уче­ных, зна­чит, ве­ро­ят­ность того, что уче­ный, ко­то­рый вы­сту­па­ет вось­мым, ока­жет­ся из Рос­сии, равна 3/10 = 0,3.

• Ответ: 0,3.

• Ответ: 0,3

• 285924

• 0,3

• Перед на­ча­лом пер­во­го тура чем­пи­о­на­та по бад­мин­то­ну участ­ни­ков раз­би­ва­ют на иг­ро­вые пары слу­чай­ным об­ра­зом с по­мо­щью жре­бия. Всего в чем­пи­о­на­те участ­ву­ет 26 бад­мин­то­ни­стов, среди ко­то­рых 10 спортс­ме­нов из Рос­сии, в том числе Рус­лан Орлов. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что в пер­вом туре Рус­лан Орлов будет иг­рать с каким-либо бад­мин­то­ни­стом из Рос­сии.

• Ре­ше­ние.

• В пер­вом туре Рус­лан Орлов может сыг­рать с 26 − 1 = 25 бад­мин­то­ни­ста­ми, из ко­то­рых 10 − 1 = 9 из Рос­сии. Зна­чит, ве­ро­ят­ность того, что в пер­вом туре Рус­лан Орлов будет иг­рать с каким-либо бад­мин­то­ни­стом из Рос­сии, равна

• Ответ: 0,36.

• Ответ: 0,36

• 285925

• 0,36

• В сбор­ни­ке би­ле­тов по био­ло­гии всего 55 би­ле­тов, в 11 из них встре­ча­ет­ся во­прос по теме "Бо­та­ни­ка". Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что в слу­чай­но вы­бран­ном на эк­за­ме­не би­ле­те школь­ни­ку до­ста­нет­ся во­прос по теме "Бо­та­ни­ка".

• Ре­ше­ние.

• Ве­ро­ят­ность того, что в слу­чай­но вы­бран­ном на эк­за­ме­не би­ле­те школь­ни­ку до­ста­нет­ся во­прос по бо­та­ни­ке, равна

• Ответ: 0,2.

• Ответ: 0,2

• 285926

• 0,2

• В сбор­ни­ке би­ле­тов по ма­те­ма­ти­ке всего 25 би­ле­тов, в 10 из них встре­ча­ет­ся во­прос по теме "Не­ра­вен­ства". Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что в слу­чай­но вы­бран­ном на эк­за­ме­не би­ле­те школь­ни­ку не до­ста­нет­ся во­про­са по теме "Не­ра­вен­ства".

• Ре­ше­ние.

• Из 25 би­ле­тов 15 не со­дер­жат во­про­са по теме "Не­ра­вен­ства", по­это­му ве­ро­ят­ность того, что в слу­чай­но вы­бран­ном на эк­за­ме­не би­ле­те школь­ни­ку не до­ста­нет­ся во­про­са по теме "Не­ра­вен­ства", равна

• Ответ: 0,6.

• Ответ: 0,6

• 285927

• 0,6

• Вася, Петя, Коля и Лёша бро­си­ли жре­бий — кому на­чи­нать игру. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что на­чи­нать игру дол­жен будет Петя.

• Ре­ше­ние.

• Жре­бий на­чать игру может вы­пасть каж­до­му из че­ты­рех маль­чи­ков. Ве­ро­ят­ность того, что это будет имен­но Петя, равна одной чет­вер­той.

• Ответ: 0,25.

• Ответ: 0,25

• 320169

• 0,25

• В чем­пи­о­на­те мира участ­ву­ют 16 ко­манд. С по­мо­щью жре­бия их нужно раз­де­лить на че­ты­ре груп­пы по че­ты­ре ко­ман­ды в каж­дой. В ящике впе­ре­меш­ку лежат кар­точ­ки с но­ме­ра­ми групп:

1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4.

• Ка­пи­та­ны ко­манд тянут по одной кар­точ­ке. Ка­ко­ва ве­ро­ят­ность того, что ко­ман­да Рос­сии ока­жет­ся во вто­рой груп­пе?

• Ре­ше­ние.

• Ве­ро­ят­ность того, что ко­ман­да Рос­сии ока­жет­ся во вто­рой груп­пе, равна от­но­ше­нию ко­ли­че­ства кар­то­чек с но­ме­ром 2, к об­ще­му числу кар­то­чек. Тем самым, она равна

• Ответ: 0,25.

• Ответ: 0,25

• 320170

• 0,25

• На кла­ви­а­ту­ре те­ле­фо­на 10 цифр, от 0 до 9. Ка­ко­ва ве­ро­ят­ность того, что слу­чай­но на­жа­тая цифра будет чётной?

• Ве­ро­ят­ность того, что в слу­чай­ный мо­мент вре­ме­ни тем­пе­ра­ту­ра тела здо­ро­во­го че­ло­ве­ка ока­жет­ся ниже чем 36,8 °С, равна 0,81. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что в слу­чай­ный мо­мент вре­ме­ни у здо­ро­во­го че­ло­ве­ка тем­пе­ра­ту­ра ока­жет­ся 36,8 °С или выше.

• Ре­ше­ние.

• Ука­зан­ные со­бы­тия про­ти­во­по­лож­ны, по­это­му ис­ко­мая ве­ро­ят­ность равна 1 − 0,81 = 0,19.

• Ответ: 0,19.

• Ответ: 0,19

• 320197

• 0,19

• При из­го­тов­ле­нии под­шип­ни­ков диа­мет­ром 67 мм ве­ро­ят­ность того, что диа­метр будет от­ли­чать­ся от за­дан­но­го не боль­ше, чем на 0,01 мм, равна 0,965. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что слу­чай­ный под­шип­ник будет иметь диа­метр мень­ше чем 66,99 мм или боль­ше чем 67,01 мм.

• Ре­ше­ние.

• По усло­вию, диа­метр под­шип­ни­ка будет ле­жать в пре­де­лах от 66,99 до 67,01 мм с ве­ро­ят­но­стью 0,965. По­это­му ис­ко­мая ве­ро­ят­ность про­ти­во­по­лож­но­го со­бы­тия равна 1 − 0,965 = 0,035.

• Ответ: 0,035.

• Ответ: 0,035

• 320196

• 0,035

• Би­ат­ло­нист пять раз стре­ля­ет по ми­ше­ням. Ве­ро­ят­ность по­па­да­ния в ми­шень при одном вы­стре­ле равна 0,8. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что би­ат­ло­нист пер­вые три раза попал в ми­ше­ни, а по­след­ние два про­мах­нул­ся. Ре­зуль­тат округ­ли­те до сотых.

• Ре­ше­ние.

• По­сколь­ку би­ат­ло­нист по­па­да­ет в ми­ше­ни с ве­ро­ят­но­стью 0,8, он про­ма­хи­ва­ет­ся с ве­ро­ят­но­стью 1 − 0,8 = 0,2. Cобы­тия по­пасть или про­мах­нуть­ся при каж­дом вы­стре­ле не­за­ви­си­мы, ве­ро­ят­ность про­из­ве­де­ния не­за­ви­си­мых со­бы­тий равна про­из­ве­де­нию их ве­ро­ят­но­стей. Тем самым, ве­ро­ят­ность со­бы­тия «попал, попал, попал, про­мах­нул­ся, про­мах­нул­ся» равна

• Ответ: 0,02.

• Ответ: 0,02

• 320173

• 0,02

• По­ме­ще­ние осве­ща­ет­ся фонарём с двумя лам­па­ми. Ве­ро­ят­ность пе­ре­го­ра­ния лампы в те­че­ние года равна 0,3. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что в те­че­ние года хотя бы одна лампа не пе­ре­го­рит.

• Ре­ше­ние.

• Най­дем ве­ро­ят­ность того, что пе­ре­го­рят обе лампы. Эти со­бы­тия не­за­ви­си­мые, ве­ро­ят­ность их про­из­ве­де­ния равно про­из­ве­де­нию ве­ро­ят­но­стей этих со­бы­тий: 0,3·0,3 = 0,09.

• Со­бы­тие, со­сто­я­щее в том, что не пе­ре­го­рит хотя бы одна лампа, про­ти­во­по­лож­ное. Сле­до­ва­тель­но, его ве­ро­ят­ность равна 1 − 0,09 = 0,91.

• Ответ: 0,91.

• Ответ: 0,91

• 320175

• 0,91

• При ар­тил­ле­рий­ской стрель­бе ав­то­ма­ти­че­ская си­сте­ма де­ла­ет вы­стрел по цели. Если цель не уни­что­же­на, то си­сте­ма де­ла­ет по­втор­ный вы­стрел. Вы­стре­лы по­вто­ря­ют­ся до тех пор, пока цель не будет уни­что­же­на. Ве­ро­ят­ность уни­что­же­ния не­ко­то­рой цели при пер­вом вы­стре­ле равна 0,4, а при каж­дом по­сле­ду­ю­щем — 0,6. Сколь­ко вы­стре­лов по­тре­бу­ет­ся для того, чтобы ве­ро­ят­ность уни­что­же­ния цели была не менее 0,98?В от­ве­те ука­жи­те наи­мень­шее не­об­хо­ди­мое ко­ли­че­ство вы­стре­лов.

• Ре­ше­ние.

• Най­дем ве­ро­ят­ность про­ти­во­по­лож­но­го со­бы­тия, со­сто­я­ще­го в том, что цель не будет уни­что­же­на за n вы­стре­лов. Ве­ро­ят­ность про­мах­нуть­ся при пер­вом вы­стре­ле равна 0,6, а при каж­дом сле­ду­ю­щем — 0,4. Эти со­бы­тия не­за­ви­си­мые, ве­ро­ят­ность их про­из­ве­де­ния равна про­из­ве­де­нию ве­ро­ят­но­сти этих со­бы­тий. По­это­му ве­ро­ят­ность про­мах­нуть­ся при n вы­стре­лах равна:

• Оста­лось найти наи­мень­шее на­ту­раль­ное ре­ше­ние не­ра­вен­ства

• По­сле­до­ва­тель­но про­ве­ряя зна­че­ния , рав­ные 1, 2, 3 и т. д. на­хо­дим, что ис­ко­мым ре­ше­ни­ем яв­ля­ет­ся . Сле­до­ва­тель­но, не­об­хо­ди­мо сде­лать 5 вы­стре­лов.

• Ответ: 5.

• При­ме­ча­ние.

• Можно ре­шать за­да­чу «по дей­стви­ям», вы­чис­ляя ве­ро­ят­ность уце­леть после ряда по­сле­до­ва­тель­ных про­ма­хов:

• Р(1) = 0,6.

• Р(2) = Р(1)·0,4 = 0,24.

• Р(3) = Р(2)·0,4 = 0,096.

• Р(4) = Р(3)·0,4 = 0,0384;

• Р(5) = Р(4)·0,4 = 0,01536.

• По­след­няя ве­ро­ят­ность мень­ше 0,02, по­это­му до­ста­точ­но пяти вы­стре­лов по ми­ше­ни.

• При­ве­дем дру­гое ре­ше­ние.

• Ве­ро­ят­ность по­ра­зить ми­шень равна сумме ве­ро­ят­но­стей по­ра­зить ее при пер­вом, вто­ром, тре­тьем и т. д. вы­стре­лах. По­это­му за­да­ча сво­дит­ся к на­хож­де­нию наи­мень­ше­го на­ту­раль­но­го ре­ше­ния не­ра­вен­ства

• В нашем слу­чае не­ра­вен­ство ре­ша­ет­ся под­бо­ром, в общем слу­чае по­на­до­бит­ся фор­му­ла суммы гео­мет­ри­че­ской про­грес­сии, ис­поль­зо­ва­ние ко­то­рой све­дет за­да­чу к про­стей­ше­му ло­га­риф­ми­че­ско­му не­ра­вен­ству.

• Ответ: 5

• 320187

• 5

На эк­за­ме­не по гео­мет­рии школь­ник от­ве­ча­ет на один во­прос из спис­ка эк­за­ме­на­ци­он­ных во­про­сов. Ве­ро­ят­ность того, что это во­прос по теме «Впи­сан­ная окруж­ность», равна 0,2. Ве­ро­ят­ность того, что это во­прос по теме «Па­рал­ле­ло­грамм», равна 0,15. Во­про­сов, ко­то­рые од­но­вре­мен­но от­но­сят­ся к этим двум темам, нет. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что на эк­за­ме­не школь­ни­ку до­ста­нет­ся во­прос по одной из этих двух тем.

• Ре­ше­ние.

• Ве­ро­ят­ность суммы двух не­сов­мест­ных со­бы­тий равна сумме ве­ро­ят­но­стей этих со­бы­тий: 0,2 + 0,15 = 0,35.

• Ответ: 0,35.

• Ответ: 0,35

• 320171

• 0,35

• Чтобы прой­ти в сле­ду­ю­щий круг со­рев­но­ва­ний, фут­боль­ной ко­ман­де нужно на­брать хотя бы 4 очка в двух играх. Если ко­ман­да вы­иг­ры­ва­ет, она по­лу­ча­ет 3 очка, в слу­чае ни­чьей — 1 очко, если про­иг­ры­ва­ет — 0 очков. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что ко­ман­де удаст­ся выйти в сле­ду­ю­щий круг со­рев­но­ва­ний. Счи­тай­те, что в каж­дой игре ве­ро­ят­но­сти вы­иг­ры­ша и про­иг­ры­ша оди­на­ко­вы и равны 0,4.

• Ре­ше­ние.

• Ко­ман­да может по­лу­чить не мень­ше 4 очков в двух играх тремя спо­со­ба­ми: 3+1, 1+3, 3+3. Эти со­бы­тия не­сов­мест­ны, ве­ро­ят­ность их суммы равна сумме их ве­ро­ят­но­стей. Каж­дое из этих со­бы­тий пред­став­ля­ет собой про­из­ве­де­ние двух не­за­ви­си­мых со­бы­тий — ре­зуль­та­та в пер­вой и во вто­рой игре. От­сю­да имеем:

• Ответ: 0,32.

• Ответ: 0,32

• 320188

• 0,32

• В Вол­шеб­ной стра­не бы­ва­ет два типа по­го­ды: хо­ро­шая и от­лич­ная, причём по­го­да, уста­но­вив­шись утром, дер­жит­ся не­из­мен­ной весь день. Из­вест­но, что с ве­ро­ят­но­стью 0,8 по­го­да зав­тра будет такой же, как и се­год­ня. Се­год­ня 3 июля, по­го­да в Вол­шеб­ной стра­не хо­ро­шая. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что 6 июля в Вол­шеб­ной стра­не будет от­лич­ная по­го­да.

• Ре­ше­ние.

• Для по­го­ды на 4, 5 и 6 июля есть 4 ва­ри­ан­та: ХХО, ХОО, ОХО, ООО (здесь Х — хо­ро­шая, О — от­лич­ная по­го­да). Най­дем ве­ро­ят­но­сти на­ступ­ле­ния такой по­го­ды:

• P(XXO) = 0,8·0,8·0,2 = 0,128;

• P(XOO) = 0,8·0,2·0,8 = 0,128;

• P(OXO) = 0,2·0,2·0,2 = 0,008;

• P(OOO) = 0,2·0,8·0,8 = 0,128.

• Ука­зан­ные со­бы­тия не­сов­мест­ные, ве­ро­ят­ность их суммы равна сумме ве­ро­ят­но­стей этих со­бы­тий:

• P(ХХО) + P(ХОО) + P(ОХО) + P(ООО) = 0,128 + 0,128 + 0,008 + 0,128 = 0,392.

• Ответ: 0,392.

• Ответ: 0,392

• 320206

• 0,392

• В ма­га­зи­не стоят два платёжных ав­то­ма­та. Каж­дый из них может быть не­ис­пра­вен с ве­ро­ят­но­стью 0,05 не­за­ви­си­мо от дру­го­го ав­то­ма­та. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что хотя бы один ав­то­мат ис­пра­вен.

• Ре­ше­ние.

• Най­дем ве­ро­ят­ность того, что не­ис­прав­ны оба ав­то­ма­та. Эти со­бы­тия не­за­ви­си­мые, ве­ро­ят­ность их про­из­ве­де­ния равна про­из­ве­де­нию ве­ро­ят­но­стей этих со­бы­тий: 0,05 · 0,05 = 0,0025.

• Со­бы­тие, со­сто­я­щее в том, что ис­пра­вен хотя бы один ав­то­мат, про­ти­во­по­лож­ное. Сле­до­ва­тель­но, его ве­ро­ят­ность равна 1 − 0,0025 = 0,9975.

• Ответ: 0,9975.

• При­ве­дем дру­гое ре­ше­ние.

• Ве­ро­ят­ность того, что ис­пра­вен пер­вый ав­то­мат (со­бы­тие А) равна 0,95. Ве­ро­ят­ность того, что ис­пра­вен вто­рой ав­то­мат (со­бы­тие В) равна 0,95. Это сов­мест­ные не­за­ви­си­мые со­бы­тия. Ве­ро­ят­ность их про­из­ве­де­ния равна про­из­ве­де­нию ве­ро­ят­но­стей этих со­бы­тий, а ве­ро­ят­ность их суммы равна сумме ве­ро­ят­но­стей этих со­бы­тий, умень­шен­ной на ве­ро­ят­ность их про­из­ве­де­ния. Имеем:

• P(A + B) = P(A) + P(B) − P(A·B) = P(A) + P(B) − P(A)P(B) = 0,95 + 0,95 − 0,95·0,95 = 0,9975.

• Ответ: 0,9975

• 320174

• 0,9975

• В тор­го­вом цен­тре два оди­на­ко­вых ав­то­ма­та про­да­ют кофе. Ве­ро­ят­ность того, что к концу дня в ав­то­ма­те за­кон­чит­ся кофе, равна 0,3. Ве­ро­ят­ность того, что кофе за­кон­чит­ся в обоих ав­то­ма­тах, равна 0,12. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что к концу дня кофе оста­нет­ся в обоих ав­то­ма­тах.

• Ре­ше­ние.

• Рас­смот­рим со­бы­тия

• А = кофе за­кон­чит­ся в пер­вом ав­то­ма­те,

• В = кофе за­кон­чит­ся во вто­ром ав­то­ма­те.

• Тогда

• A·B = кофе за­кон­чит­ся в обоих ав­то­ма­тах,

• A + B = кофе за­кон­чит­ся хотя бы в одном ав­то­ма­те.

• По усло­вию P(A) = P(B) = 0,3; P(A·B) = 0,12.

• Со­бы­тия A и B сов­мест­ные, ве­ро­ят­ность суммы двух сов­мест­ных со­бы­тий равна сумме ве­ро­ят­но­стей этих со­бы­тий, умень­шен­ной на ве­ро­ят­ность их про­из­ве­де­ния:

• P(A + B) = P(A) + P(B) − P(A·B) = 0,3 + 0,3 − 0,12 = 0,48.

• Сле­до­ва­тель­но, ве­ро­ят­ность про­ти­во­по­лож­но­го со­бы­тия, со­сто­я­ще­го в том, что кофе оста­нет­ся в обоих ав­то­ма­тах, равна 1 − 0,48 = 0,52.

• Ответ: 0,52.

• При­ве­дем дру­гое ре­ше­ние.

• Ве­ро­ят­ность того, что кофе оста­нет­ся в пер­вом ав­то­ма­те равна 1 − 0,3 = 0,7. Ве­ро­ят­ность того, что кофе оста­нет­ся во вто­ром ав­то­ма­те равна 1 − 0,3 = 0,7. Ве­ро­ят­ность того, что кофе оста­нет­ся в пер­вом или вто­ром ав­то­ма­те равна 1 − 0,12 = 0,88. По­сколь­ку P(A + B) = P(A) + P(B) − P(A·B), имеем: 0,88 = 0,7 + 0,7 − х, от­ку­да ис­ко­мая ве­ро­я­тость х = 0,52.

• При­ме­ча­ние.

• За­ме­тим, что со­бы­тия А и В не яв­ля­ют­ся не­за­ви­си­мы­ми. Дей­стви­тель­но, ве­ро­ят­ность про­из­ве­де­ния не­за­ви­си­мых со­бы­тий была бы равна про­из­ве­де­нию ве­ро­ят­но­стей этих со­бы­тий: P(A·B) = 0,3·0,3 = 0,09, од­на­ко, по усло­вию, эта ве­ро­ят­ность равна 0,12.

• Ответ: 0,52

• 320172

• 0,52

• Две фаб­ри­ки вы­пус­ка­ют оди­на­ко­вые стек­ла для ав­то­мо­биль­ных фар. Пер­вая фаб­ри­ка вы­пус­ка­ет 45% этих сте­кол, вто­рая — 55%. Пер­вая фаб­ри­ка вы­пус­ка­ет 3% бра­ко­ван­ных сте­кол, а вто­рая — 1%. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что слу­чай­но куп­лен­ное в ма­га­зи­не стек­ло ока­жет­ся бра­ко­ван­ным.

• Ре­ше­ние.

• Ве­ро­ят­ность того, что стек­ло сде­ла­но на пер­вой фаб­ри­ке и оно бра­ко­ван­ное: 0,45 · 0,03 = 0,0135.

• Ве­ро­ят­ность того, что стек­ло сде­ла­но на вто­рой фаб­ри­ке и оно бра­ко­ван­ное: 0,55 · 0,01 = 0,0055.

• По­это­му по фор­му­ле пол­ной ве­ро­ят­но­сти ве­ро­ят­ность того, что слу­чай­но куп­лен­ное в ма­га­зи­не стек­ло ока­жет­ся бра­ко­ван­ным равна 0,0135 + 0,0055 = 0,019.

• Ответ: 0,019.

• Ответ: 0,019

• 319353

• 0,019

• Ков­бой Джон по­па­да­ет в муху на стене с ве­ро­ят­но­стью 0,9, если стре­ля­ет из при­стре­лян­но­го ре­воль­ве­ра. Если Джон стре­ля­ет из не­при­стре­лян­но­го ре­воль­ве­ра, то он по­па­да­ет в муху с ве­ро­ят­но­стью 0,2. На столе лежит 10 ре­воль­ве­ров, из них толь­ко 4 при­стре­лян­ные. Ков­бой Джон видит на стене муху, на­уда­чу хва­та­ет пер­вый по­пав­ший­ся ре­воль­вер и стре­ля­ет в муху. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что Джон про­махнётся.