РАБОЧАЯ ПРОГРАММА По учебному предмету «МАТЕМАТИКА: алгебра и начала математического анализа, геометрия» (профильный уровень) 10-11 классы ( ФГОС СОО)

Приложение № 2.10

к основной образовательной программе

среднего общего образования

МБОУ СОШ№2

утверждённой приказом директора

от 31.08. 2020г.№ 136 о-д

(в действующей редакции)

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА

По учебному предмету «МАТЕМАТИКА:

алгебра и начала математического анализа, геометрия»

(профильный уровень)

10-11 классы

( ФГОС СОО)

2020-2021 учебный год

Содержание

1. Пояснительная записка ……………………………………………3

1. Планируемые результаты обучения ………………………………6

1. Содержание предмета ……………………………………….……12

1. Тематическое планирование с указанием количества часов …..24

1. Пояснительная записка

Рабочая программа предмета «Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия» (профильный уровень) обязательной предметной области «Математика и информатика» для среднего общего образования разработана на основе:

Нормативных документов:

«Закон об образовании в РФ» 273-ФЗ от 29.12.2012 г.;

Федеральный государственный образовательный стандарт среднего общего образования (Приказ Министерства образования и науки Российской Федерации от 17.05. 2012 г. № 413 «Об утверждении федерального государственного образовательного стандарта среднего общего образования» (Зарегистрировано Минюстом РФ 07.06.2012 г. № 24480), в ред. Приказов Министерства образования и науки РФ от 29.12.2014 г. № 1645, от 31.12.2015 г. № 1578, от 29.06.2017 г. № 613);

Постановление Главного государственного санитарного врача Российской Федерации от 29.12.2010 г. № 189 (ред. от 25.12.2013 г.) «Об утверждении СанПиН 2.4.2.2821-10 «Санитарно-эпидемиологические требования к условиям и организации обучения в общеобразовательных учреждениях» (Зарегистрировано в Минюсте РФ 03.03.2011 г. № 19993), (в ред. Изменений № 1, утв. Постановлением Главного государственного санитарного врача Российской Федерации от 29.06.2011 г. № 85, Изменений № 2, утв. Постановлением Главного государственного санитарного врача Российской Федерации от 25.12.2013 г. № 72, Изменений № 3, утв. Постановлением Главного государственного санитарного врача Российской Федерации от 24.11.2015 г. № 81);

Приказ Министерства образования и науки Российской Федерации от 31.03.2014 г. № 253 «Об утверждении Федерального перечня учебников, рекомендуемых к использованию при реализации имеющих государственную аккредитацию образовательных программ начального общего, основного общего, среднего общего образования» (в ред. Приказов Министерства образования и науки РФ от 08.06.2015 г. № 576, от 28.12.2015 г. № 1529, от 26.01.2016 г. № 38, от 21.04.2016 г. № 459, от 29.12.2016 г. № 1677);

Основная образовательная программа среднего общего образования МБОУ Шахунской СОШ №2.

С учётом информационно-методических материалов:

Примерная основная образовательная программа среднего общего образования (fgosreestr.ru).

Учебники

• Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа. 10 класс: учеб.общеобразоват. организаций : базовый и углубл. уровни / [Ю.М.Колягин, М.В.Ткачёва, Н.Е.Фёдорова, М.И.Шабунин]. – М. : Просвещение, 2019.

• Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия. 10-11 классы: учебник для общеобразовательных организаций: базовый и углубл. уровни[АтанасянЛ.С..и др.] - М.: Просвещение-2019

Программы

• Геометрия 10 – 11 классы авторы : Л.С. Атанасян и др.(Геометрия . Сборник примерных рабочих программ. 10 - 11 классы./сост. . Т.А. Бурмистрова - М.: Просвещение, 2018, с учетом планируемого к использованию УМК Л.С. Атанасян и др.)

• Колягин Ю.М., Ткачева М.В., Федорова Н.Е., Шабунин М.И. «Алгебра и начала математического анализа» Базовый уровень. Сборник рабочих программ 10-11 классы: базовый и профильный уровни / сост. Т.А. Бурмистрова. - М.: Просвещение, 2018

В соответствии с принятой Концепцией развития математического образования в Российской Федерации, математическое образование решает, в частности, следующие ключевые задачи:

«предоставлять каждому обучающемуся возможность достижения уровня математических знаний, необходимого для дальнейшей успешной жизни в обществе»;

«обеспечивать необходимое стране число выпускников, математическая подготовка которых достаточна для продолжения образования в различных направлениях и для практической деятельности, включая преподавание математики, математические исследования, работу в сфере информационных технологий и др.»;

«в основном общем и среднем общем образовании необходимо предусмотреть подготовку обучающихся в соответствии с их запросами к уровню подготовки в сфере математического образования».

Соответственно, выделяются три направления требований к результатам математического образования:

1. практико-ориентированное математическое образование (математика для жизни);

2. математика для использования в профессии;

3. творческое направление, на которое нацелены те обучающиеся, которые планируют заниматься творческой и исследовательской работой в области математики, физики, экономики и других областях.

Эти направления реализуются в двух блоках требований к результатам математического образования (базовый уровень и углубленный уровень)

В зависимости от уровня программы больше или меньше внимания уделяется умению работать по алгоритму, методам поиска алгоритма и определению границ применимости алгоритмов. Требования, сформулированные в разделе «Геометрия», в большей степени относятся к развитию пространственных представлений и графических методов, чем к формальному описанию стереометрических фактов.

Учебный план на изучение математики: алгебры и начал математического анализа, геометрии на углубленном уровне в 10 – 11 классах отводит:

10 класс – 6 часов в неделю/ 210 часа в год;

11 класс – 6 часов в неделю/ 204 часа в год.

Итого 414 учебных часов.

Текущий контроль и промежуточная аттестация осуществляются в соответствии с «Положением об осуществлении текущего контроля успеваемости и промежуточной аттестации обучающихся, их формах, периодичности и порядке проведения».

Текущий контроль осуществляется с целью проверки степени и качества усвоения материала в ходе его изучения в следующих формах: самостоятельные, проверочные и контрольные работы, тесты, зачеты, проекты.

Промежуточная аттестация осуществляется с целью проверки степени и качества усвоения материала по результатам изучения содержания учебного предмета в следующих формах:

10 класс – стандартизированная письменная работа;

11 класс – контрольная работа.

Государственная итоговая аттестация проводится в соответствии с законодательством РФ.

2.Планируемые результаты освоения курса 10 класса

В результате изучения математики на профильном уровне в старшей

. .

школе ученик должен знать/понимать:

• значение математической науки для решения задач, возникающих в теории и практике; широту и ограниченность применения математических методов к анализу и исследованию процессов и явлений в природе и обществе;

• значение практики и вопросов, возникающих в самой математике, для формирования и развития математической науки;

• идеи расширения числовых множеств как способа построения нового математического аппарата для решения практических задач и внутренних задач математики;

• значение идей, методов и результатов алгебры и математического анализа для построения моделей реальных процессов и ситуаций;

• возможности геометрического языка как средства описания свойств реальных предметов и их взаимного расположения;

• универсальный характер законов логики математических рассуждений, их применимость в различных областях человеческой деятельности;

• различие требований, предъявляемых к доказательствам в математике, естественных, социально-экономических и гуманитарных науках, на практике;

• роль аксиоматики в математике; возможность построения математических теорий на аксиоматической основе; значение аксиоматики для других областей знания и для практики;

• вероятностный характер различных процессов и закономерностей окружающего мира.

Числовые и буквенные выражения

Уметь:

• выполнять арифметические действия, сочетая устные и письменные при­емы, применение вычислительных устройств; находить значения корня нату­ральной степени, степени с рациональным показателем, логарифма, используя при необходимости вычислительные устройства; пользоваться оценкой и при­кидкой при практических расчетах;

• применять понятия, связанные с делимостью целых чисел, при решении математических задач;

• находить корни многочленов с одной переменной, раскладывать многочлены на множители;

• проводить преобразования числовых и буквенных выражений, включающих степени, радикалы, логарифмы и тригонометрические функции.

Использовать приобретенные знания и умения в практической дея­тельности и повседневной жизни для:

— практических расчетов по формулам, включая формулы, содержащие степени, радикалы, логарифмы и тригонометрические функции, при необходимости используя справочные материалы и простейшие вычислительные устройства.

Функции и графики

Уметь:

• определять значение функции по значению аргумента при различных способах задания функции;

• строить графики изученных функций, выполнять преобразования графиков; описывать по графику и по формуле поведение и свойства функций;

• решать уравнения, системы уравнений, неравенства, используя свойства функций и их графические представления.

Использовать приобретенные знания и умения в практической дея­тельности и повседневной жизни для:

— описания и исследования с помощью функций реальных зависимостей,
представления их графически; интерпретации графиков реальных процессов.

Уравнения и неравенства

Уметь:

• решать рациональные, показательные и логарифмические уравнения и неравенства, иррациональные и тригонометрические уравнения, их системы;

• доказывать несложные неравенства;

• решать текстовые задачи с помощью составления уравнений и неравенств, интерпретируя результат с учетом ограничений условия задачи;

• изображать на координатной плоскости множества решений уравнений и неравенств с двумя переменными и их систем;

• находить приближенные решения уравнений и их систем, используя графический метод;

Использовать приобретенные знания и умения в практической дея­тельности и повседневной жизни для:

— построения и исследования простейших математических моделей.

Элементы комбинаторики, статистики и теории вероятностей

Уметь:

• решать простейшие комбинаторные задачи методом перебора, а также с использованием известных формул, треугольника Паскаля; вычислять коэффициенты бинома Ньютона по формуле и с использованием треугольника Паскаля;

• вычислять в простейших случаях вероятности событий на основе подсче­та числа исходов.

Использовать приобретенные знания и умения в практической дея­тельности и повседневной жизни для:

— анализа реальных числовых данных, представленных в виде диаграмм, графиков; для анализа информации статистического характера.

Геометрия

Уметь:

• соотносить плоские геометрические фигуры и трехмерные объекты с их
  описаниями, чертежами, изображениями; различать и анализировать взаимное
  расположение фигур;

• изображать геометрические фигуры и тела, выполнять чертеж по условию задачи;

• решать геометрические задачи, опираясь на изученные свойства планиметрических и стереометрических фигур и отношений между ними, применяя алгебраический и тригонометрический аппарат;

• проводить доказательные рассуждения при решении задач, доказывать основные теоремы курса;

• вычислять линейные элементы и углы в пространственных конфигураци­ях, площади поверхностей пространственных тел и их простейших комбинаций;

• строить сечения многогранников и изображать сечения тел вращения.
  Использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни для:

• исследования (моделирования) несложных практических ситуаций на основе изученных формул и свойств фигур;

• вычисления длин, площадей и объемов реальных объектов при решении
  практических задач, используя при необходимости справочники и вычислительные устройства.

Планируемые результаты освоения курса 11 класса (профильный уровень)

В результате изучения математики на профильном уровне в старшей

. .

школе ученик должен знать/понимать:

• значение математической науки для решения задач, возникающих в теории и практике; широту и ограниченность применения математических методов к анализу и исследованию процессов и явлений в природе и обществе;

• значение практики и вопросов, возникающих в самой математике, для формирования и развития математической науки;

• идеи расширения числовых множеств как способа построения нового математического аппарата для решения практических задач и внутренних задач математики;

• значение идей, методов и результатов алгебры и математического анализа для построения моделей реальных процессов и ситуаций;

• возможности геометрического языка как средства описания свойств реальных предметов и их взаимного расположения;

• универсальный характер законов логики математических рассуждений, их применимость в различных областях человеческой деятельности;

• различие требований, предъявляемых к доказательствам в математике, естественных, социально-экономических и гуманитарных науках, на практике;

• роль аксиоматики в математике; возможность построения математических теорий на аксиоматической основе; значение аксиоматики для других областей знания и для практики;

• вероятностный характер различных процессов и закономерностей окружающего мира.

Числовые и буквенные выражения

Уметь:

• выполнять арифметические действия, сочетая устные и письменные при­емы, применение вычислительных устройств; находить значения корня нату­ральной степени, степени с рациональным показателем, логарифма, используя при необходимости вычислительные устройства; пользоваться оценкой и при­кидкой при практических расчетах;

• применять понятия, связанные с делимостью целых чисел, при решении математических задач;

• находить корни многочленов с одной переменной, раскладывать многочлены на множители;

• выполнять действия с комплексными числами, пользоваться геометриче­ской интерпретацией комплексных чисел, в простейших случаях находить комплексные корни уравнений с действительными коэффициентами;

• проводить преобразования числовых и буквенных выражений, включающих степени, радикалы, логарифмы и тригонометрические функции.

Использовать приобретенные знания и умения в практической дея­тельности и повседневной жизни для:

— практических расчетов по формулам, включая формулы, содержащие степени, радикалы, логарифмы и тригонометрические функции, при необходимости используя справочные материалы и простейшие вычислительные устройства.

Функции и графики

Уметь:

• определять значение функции по значению аргумента при различных способах задания функции;

• строить графики изученных функций, выполнять преобразования графиков; описывать по графику и по формуле поведение и свойства функций;

• решать уравнения, системы уравнений, неравенства, используя свойства функций и их графические представления.

Использовать приобретенные знания и умения в практической дея­тельности и повседневной жизни для:

— описания и исследования с помощью функций реальных зависимостей,
представления их графически; интерпретации графиков реальных процессов.

Начала математического анализа

Уметь:

• находить сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии;

• вычислять производные и первообразные элементарных функций, применяя правила вычисления производных и первообразных, используя справочные материалы;

• исследовать функции и строить их графики с помощью производной;

• решать задачи с применением уравнения касательной к графику функции;

• решать задачи на нахождение наибольшего и наименьшего значения
  функции на отрезке;

• вычислять площадь криволинейной трапеции.

Использовать приобретенные знания и умения в практической дея­тельности и повседневной жизни для:

— решения геометрических, физических, экономических и других приклад­ных задач, в том числе задач на наибольшие и наименьшие значения с применением аппарата математического анализа.

Уравнения и неравенства

Уметь:

• решать рациональные, показательные и логарифмические уравнения и неравенства, иррациональные и тригонометрические уравнения, их системы;

• доказывать несложные неравенства;

• решать текстовые задачи с помощью составления уравнений и неравенств, интерпретируя результат с учетом ограничений условия задачи;

• изображать на координатной плоскости множества решений уравнений и неравенств с двумя переменными и их систем;

• находить приближенные решения уравнений и их систем, используя графический метод;

• решать уравнения, неравенства и системы с применением графических
  представлений, свойств функций, производной.

Использовать приобретенные знания и умения в практической дея­тельности и повседневной жизни для:

— построения и исследования простейших математических моделей.

Элементы комбинаторики, статистики и теории вероятностей

Уметь:

• решать простейшие комбинаторные задачи методом перебора, а также с использованием известных формул, треугольника Паскаля; вычислять коэффициенты бинома Ньютона по формуле и с использованием треугольника Паскаля;

• вычислять в простейших случаях вероятности событий на основе подсче­та числа исходов.

Использовать приобретенные знания и умения в практической дея­тельности и повседневной жизни для:

— анализа реальных числовых данных, представленных в виде диаграмм, графиков; для анализа информации статистического характера.

Геометрия

Уметь:

• соотносить плоские геометрические фигуры и трехмерные объекты с их
  описаниями, чертежами, изображениями; различать и анализировать взаимное
  расположение фигур;

• изображать геометрические фигуры и тела, выполнять чертеж по условию задачи;

• решать геометрические задачи, опираясь на изученные свойства планиметрических и стереометрических фигур и отношений между ними, применяя алгебраический и тригонометрический аппарат;

• проводить доказательные рассуждения при решении задач, доказывать основные теоремы курса;

• вычислять линейные элементы и углы в пространственных конфигураци­ях, объемы и площади поверхностей пространственных тел и их простейших комбинаций;

• применять координатно-векторный метод для вычисления отношений, расстояний и углов;

• строить сечения многогранников и изображать сечения тел вращения.
  Использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни для:

• исследования (моделирования) несложных практических ситуаций на основе изученных формул и свойств фигур;

• вычисления длин, площадей и объемов реальных объектов при решении
  практических задач, используя при необходимости справочники и вычислительные устройства.

3. Содержание тем учебного предмета «Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия»

Содержание обучения на профильном уровне

10 класс.

Вводное повторение

Понятие действительного числа. Множества чисел. Свойства действительных чисел.

Линейная и квадратичная функции, их свойства и графики. Решение линейных и квадратных уравнений и неравенств. Решение дробно-рациональных уравнений.

Преобразования одночленов, многочленов, алгебраических дробей и арифметических квадратных корней.

Основная цель – систематизация знаний учащихся за курс алгебры 7-9 классов, ликвидация пробелов в знаниях учащихся.

Теория чисел

Делимость чисел. Понятие делимости. Делимость суммы и произведения. Деление с остатком. Сравнения. Признаки делимости. Решение уравнений в целых числах. Решение задач с целочисленными неизвестными.

Уравнения и неравенства

Многочлены от одной переменной. Схема Горнера. Многочлен Р(х) и его корень. Делимость многочленов. Деление многочленов с остатком. Рациональные корни многочленов с целыми коэффициентами. Теорема Безу. Алгебраическое уравнение. Следствия из теоремы Безу. Решение алгебраических уравнений разложением на множители. Многочлены от нескольких переменных, симметрические многочлены. Формулы сокращённого умножения для старших степеней. Бином Ньютона. Решение рациональных уравнений. Основные приемы решения систем уравнений: подстановка, алгебраическое сложение, введение новых переменных.

Равносильность уравнений, неравенств, систем. Решение простейших систем уравнений с двумя неизвестными.

Равносильные уравнения и неравенства. Иррациональные уравнения. Иррациональные неравенства.

Основная цель — обобщить и систематизировать имеющиеся у учащихся сведения об уравнениях, неравенствах, системах и методах их решения; познакомиться с общи­ми методами решения.

Тема носит повторительно-обобщающий, систематизирую­щий характер и фактически завершает изучение содержатель­ной линии уравнений и неравенств курса алгебры 7-9 классов. В идейном отношении в старших классах линия получила значитель­ное развитие, будут рассмотрены новые виды уравнений (тригонометрические, показательные, логарифмические), не­равенств (показательные, логарифмические) и систем уравнений, поэтому требует систематизации знаний учащихся.

Корень степени n. Степень. Логарифмы

Корень степени n1 и его свойства. Степень с рациональным показателем и ее свойства. Понятие о степени с действительным показателем. Свойства степени с действительным показателем.

Логарифм числа. Основное логарифмическое тождество. Логарифм произведения, частного, степени; переход к новому основанию. Десятичный и натуральный логарифмы, число е.

Преобразования выражений, включающих арифметические операции, а также операции возведения в степень и логарифмирования.

Основная цель — обобщить и систематизировать знания учащихся о степенной функции, а также познако­мить их с многообразием свойств и графиков степенной функции в зависимости от значений оснований и показателей степени; научить решать простейшие иррациональные уравнения; познакомить учащихся с показа­тельной функцией, ее свойствами и графиком; обобщить и систематизиро­вать знания учащихся о действительных числах, ввести понятие степени с действительным показателем, научить приме­нять ее свойства для вычислений и преобразований выраже­ний; познакомить учащихся с лога­рифмической функцией, ее свойствами и графиком; изучить свойства логарифмов, научиться применять их для преобразования логарифмических выражений.

Изучению иррациональных уравнений предшествует вве­дение понятия равносильности: именно теперь его появле­ние необходимо и требует глубокой проработки.

Умение решать иррациональные неравенства не является обязательным для учащихся и соответствующий параграф может быть предложен, например, для самостоятельного изучения.

С арифметическим корнем n-ой степени учащиеся были ознакомлены при изучении курса алгебры IX класса, а значит, они готовы к введению понятия степени с раци­ональным показателем и нет необходимости выделять на изу­чение арифметического корня большого количества времени. В противном случае следует иметь в виду, что эта тема готовит учащихся к расширению знаний понятия степени; рассмотреть этот воп­рос необходимо, но нет нужды задерживаться на формирова­нии навыков применения свойств корня для преобразования выражений.

При введении степени с действительным показателем ис­пользуются подученные выше представления о пределе чис­ловой последовательности. Важно подчеркнуть, что свойства степени, изученные прежде, распространяются на степень с любым действительным показателем.

Большое внимание следует уделить применению свойств степени с рациональным показателем, которое и послужит выработке уме­ний выполнять преобразования.

До введения понятия логарифмической функции форми­руется понятие логарифма числа, изучаются свойства лога­рифмов. Специально выделяются десятичные и натуральные лога­рифмы, Это сделано как с целью обоснования целесооб­разности введения формулы перехода, так и для того, чтобы показать возможности применения калькулятора для нахож­дения значений логарифмической функции (что достаточно часто используется в практике).

Исследование логарифмической функции проводится по обычной схеме. Аналитическое обоснование свойств функ­ции от всех учащихся не требуется.

Уравнения и неравенства

Решение показательных уравнений. Решение логарифмических неравенств. Решение показательных неравенств. Решение логарифмических уравнений.

Основная цель —научить ре­шать показательные и логарифмические уравнения и неравенства, системы, со­держащие показательные уравнения.

Решение показательных уравнений основывается на свой­ствах степени, сформулированных выше, а решение показа­тельных неравенств — на свойствах показательной функции, что позволяет систематически повторять эти свойства. Для решения систем, содержащих одно или два показа­тельных уравнения, применяются способы подстановки и замены переменных. Решение систем показательных нера­венств не является обязательным для изучения. При решении логарифмических уравнений и неравенств продолжается формирование понятий равносильности и след­ствия. Хотя в ряде случаев уравнение решается, а затем вы­полняется проверка.

Функции.

Степенная функция, её свойства и график. Взаимно обратные функции. Сложная функция. Дробно-линейная функция. Показательная функция, её свойства и график. Логарифмическая функция, её свойства и график.

Основы тригонометрии.

Радианная мера угла.

Синус, косинус, тангенс, котангенс произвольного угла. Синус, косинус, тангенс и котангенс числа. Основные тригонометрические тождества. Арксинус, арккосинус, арктангенс числа.

Синус, косинус и тангенс суммы и разности двух углов. Преобразования простейших тригонометрических выражений. Преобразования суммы тригонометрических функций в произведение. Синус и косинус двойного угла. Выражение тригонометрических функций через тангенс половинного аргумента. Преобразования произведения тригонометрических функций в сумму. Формулы приведения.

Основная цель — сформировать понятия синуса, косинуса, тангенса и котангенса произвольного угла (выраженного как в градусах, так и в радианах), ознакомить уча­щихся с их свойствами и зависимостями, связывающими их, научить применять формулы для преобразования простей­ших тригонометрических выражений.

На данном этапе не вводится понятие тригонометриче­ской функции, речь пока идет только о числовых выражени­ях и формулах тригонометрии, которые используются как для вычислений, так и для преобразований этих выражений.

Изучение данной темы готовит учащихся к рассмотрению свойств тригонометрических функций. Школьники изучают зависимость знаков значений синуса, косинуса, тангенса от величины угла. Рассматривают формулы, связывающие зна­чения синусов и косинусов углов, имеющих противополож­ные значения. Учатся вычислять значения синуса, косинуса, тангенса угла, зная значение одного из них. Все это позволит в дальнейшем обосновать свойства тригонометрических функций и построить их графики.

Впервые учащиеся учатся доказывать тригонометрические тождества, применяя соответствующие формулы. Желательно познакомить со всеми формулами, представленными в дан­ной главе, хотя и не обязательно требовать от всех школьни­ков умения их выводить и даже запоминать (важно, чтобы было сформировано умение верно выбирать нужную форму­лу для конкретного преобразования).

Уравнения и неравенства

Решение тригонометрических уравнений. Простейшие тригонометрические уравнения.

Основная цель — сформировать умение решать простейшие тригонометрические уравнения, познакомить учащихся с некоторыми приемами решения тригонометри­ческих уравнений.

Изучение темы начинается с рассмотрения конкретных простейших уравнений, решение которых иллюстрируется на единичной окружности, что хорошо подготовлено мате­риалом предыдущей главы.

Понятия арксинуса, арккосинуса, арктангенса числа вво­дятся до знакомства с обратными тригонометрическими функ­циями и иллюстрируются также на единичной окружности. В дальнейшем не следует уделять много внимания упражне­ниям на нахождение значений и использование свойств арк­синуса, арккосинуса и арктангенса; все это будет закрепляться в ходе решения уравнений. В связи с этим этим при решении уравнений полезно иллюстрировать нахождение корней на единичной окружности: это позволит осознанно применять формулы корней.

Решение более сложных тригонометрических уравнений рассматривается на примерах уравнений, сводящихся к квадратным, уравнений вида a sin x + b cos x = с, уравнений, решаемых разложением левой части на множители. Не сле­дует добиваться от всех учащихся умений решать другие ви­ды уравнений, примеры которых приведены в системе уп­ражнений.

Некоторые сведения из планиметрии.

Геометрия на плоскости. Свойство биссектрисы угла треугольника. Решение треугольников. Вычисление биссектрис, медиан, высот, радиусов вписанной и описанной окружностей. Формулы площади треугольника: формула Герона, выражение площади треугольника через радиус вписанной и описанной окружностей. Эллипс, гипербола и парабола как геометрические места точек. Неразрешимость классических задач на построение. Вписанные и описанные многоугольники. Свойства и признаки вписанных и описанных четырехугольников. Геометрические места точек. Решение задач с помощью геометрических преобразований и геометрических мест. Теоремы Менелая и теорема Чевы. Вычисление углов с вершиной внутри и вне круга, угла между хордой и касательной. Теорема о произведении отрезков хорд. Теорема о касательной и секущей. Теорема о сумме квадратов сторон и диагоналей параллелограмма.

Прямые и плоскости в пространстве.

Основные понятия стереометрии (точка, прямая, плоскость, пространство). Понятие об аксиоматическом способе построения геометрии. Пересекающиеся, параллельные и скрещивающие­ся прямые. Угол между прямыми в пространстве. Перпендикулярность прямых. Параллельность и перпендикулярность прямой и плоскости, признаки и свойства. Теорема о трех перпендикулярах. Перпендикуляр и наклонная к плоскости. Угол между прямой и плоскостью. Параллельность плоскостей, перпендикулярность плоскостей, признаки и свойства. Двугранный угол, линейный угол двугранного угла. Параллельное проектирование. Ортогональное проектирование. Площадь ортогональной проекции многоугольника. Изображение пространственных фигур. Центральное проектирование.

Расстояния от точки до плоскости. Расстояние от прямой до плоскости. Расстояние между параллельными плоскостями. Расстояние между скрещивающимися прямыми.

Основная цель — дать учащимся систематические сведения о параллельности прямых и плоскостей в простран­стве; сформировать представления уча­щихся об основных понятиях и аксиомах стереометрии, их ис­пользовании при решении стандартных задач логического ха­рактера, а также об изображениях точек, прямых и плоскостей на проекционном чертеже при различном их взаимном распо­ложении в пространстве

При изучении материала темы следует обратить внимание на часто используемый метод доказательства от противного, знакомый учащимся из курса планиметрии.

Здесь учащиеся знакомятся с различными способами изо­бражения пространственных фигур на плоскости знания учащихся о перпендикулярности прямых, перпенди­куляре и наклонных, известные им из курса планиметрии. По­стоянное обращение к знакомому материалу будет способст­вовать более глубокому усвоению темы.

Постоянное обращение к теоремам, свойствам и призна­кам курса планиметрии при решении задач по изучаемой теме не только будет способствовать выработке умения решать сте­реометрические задачи данной тематики, но и послужит хоро­шей пропедевтикой к изучению следующих тем курса.

Многогранники.

Многогранники. Вершины, ребра, грани многогранника. Развертка, многогранные углы. Выпуклые многогранники. Теорема Эйлера. Призма, ее основания, боковые ребра, высота, боковая поверхность. Прямая и наклонная приз­ма. Правильная призма. Параллелепипед. Куб. Пирамида, ее основание, боковые ребра, высота, боковая поверхность. Треугольная пирамида. Правильная пирамида. Усеченная пирамида

Симметрии в кубе, в параллелепипеде, в призме и пирамиде. Понятие о симметрии в пространстве (центральная, осевая, зеркальная). Примеры симметрий в окружающем мире. Сечения куба, призмы, пирамиды. Построение сечений. Представление о правильных многогранниках (тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр и икосаэдр).

Основная цель — дать учащимся систематические сведения об основных видах многогранников.

Учащиеся уже знакомы с такими многогранниками, как тетраэдр и параллелепипед. Теперь предстоит расширить нет строгого математического определения многогранника, а приводится лишь некоторое описание, так как строгое опре­деление громоздко и трудно не только для понимания учащи­мися, но и для его применения.

Изучение многогранников нужно вести на наглядной ос­нове, опираясь на объекты природы, предметы окружающей действительности.

Весь теоретический материал темы относится либо к пря­мым призмам, либо к правильным призмам и правильным пи­рамидам. Все теоремы доказываются достаточно просто, ре­зультаты могут быть записаны формулами, поэтому в теме много задач вычислительного характера, при решении кото­рых отрабатываются умения учащихся пользоваться сведения­ми из тригонометрии, формулами площадей, решать задачи с использованием таких понятий, как «угол между прямой и плоскостью», «двугранный угол» и др.

Векторы в пространстве.

Векторы. Модуль вектора. Равенство векторов. Сложение векторов и умножение вектора на число. Компланарные векторы. Разложение по трем некомпланарным векторам.

Основная цель — обобщить изученный в базовой школе материал о векторах на плоскости, дать систематиче­ские сведения о действиях с векторами в пространстве.

Основное внимание уделяется решению задач, так как при этом учащиеся овладевают векторным методом.

Повторение.

Содержание обучения на профильном уровне.

11 класс

Функции и их графики

Область определения и множество значений. Свойства функций: монотонность, четность и нечетность, периодичность, ограниченность. Промежутки возрастания и убывания, наибольшее и наименьшее значения, точки экстремума (локального максимума и минимума). Тригонометрические функции, их свойства и графики; периодичность, основной период. Преобразования графиков: параллельный перенос, симметрия относительно осей координат и симметрия относительно начала координат, симметрия относительно прямой у=х, растяжение и сжатие вдоль осей координат. Графическая интерпретация. Примеры функциональных зависимостей в реальных процессах и явлениях. Сложная функция (композиция функций). Графики сложных функций. Исследование функции и построение их графиков элементарными методами. Графики функций содержащих модули.

Основная цель — обобщить и систематизировать знания учащихся, относящиеся к понятию функции и свойст­вам изученных функций; изучить свойства тригонометри­ческих функций, научить учащихся строить их графики..

Первая глава носит в основном повторительно-обобщающий характер. Именно здесь приводятся в систему сведения, которые имеются у учащихся о функциях и их свойствах. Эти сведения сводятся в общую схему исследования функций. Полезно обратить внимание учащихся не только на словес­ную формулировку свойств, но и на их графическое истолкование.

Знакомые учащимся свойства четности и нечетности функ­ций распространяются на тригонометрические функции, впервые вводится понятие периодической функции и пери­ода функции.

Построение графиков начинается с функции у = sin x, при построении активно используются уже известные свой­ства функции; область определения, множество значений, свойства четности и периодичности. Доказанное здесь свой­ство убывания функции у = sin x на отрезке [0; П] позволяет сделать вывод о возможности построения графика функции на этом отрезке и распространении его на всю числовую пря­мую,

Построение графика функции у = cos x основывается на том, что равенство sin x = cos (П/2 – x) позволяет получить ис­комый график сдвигом графика функции у = sin x.

Построение графика функции тангенс, как и косинус, на­чинается с исследования. Сначала график строится на отрез­ке Го, П], а затем распространяется на всю числовую пря­мую.

Учащиеся должны научиться выполнять эскизы графи­ков, используя эти свойства, а также устанавливать эти свой­ства по графику.

Предел функции и непрерывность

Понятие о пределе последовательности. Существование предела монотонной ограниченной последовательности. Длина окружности и площадь круга как пределы последовательностей. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия и ее сумма. Теоремы о пределах последовательностей. Переход к пределам в неравенствах. Понятие о непрерывности функции. Основные теоремы о непрерывных функциях. Понятие о пределе функции в точке. Поведение функций на бесконечности. Асимптоты. Взаимно обратные функции. Область определения и область значений обратной функции. График обратной функции. Нахождение функции, обратной данной. Обратные тригонометрические функции их свойства и графики. Примеры использования обратных тригонометрических функций

Основная цель — ввести понятие о пределе функции, необходимом для изучения производной.

Хотя предел разностного отношения рассматривается на интуитивном уровне и используется для формирования поня­тия производной, но формулируется и строгое определение предела функции в точке и показывается, как, используя оп­ределение, убедиться в том, что данное число является пре­делом данной функции.

Производная

Понятие о производной функции. Производные суммы, разности, произведения, частного.

Производные основных элементарных функций. Физический и геометрический смысл производной. Уравнение касательной к графику функции.

Основная цель — ввести понятие производной, на­учить находить производные, используя правила дифферен­цирования.

Введение понятия производной предваряется знакомст­вом со средней и мгновенной скоростями движения, что приводит к понятию разностного отношения.

Формулы производных выводятся для простейших случаев. Таблица производных заполняется формулами, некоторые из которых не выводятся.

Формируются понятия сложной функции и ее производ­ной. Правила нахождения производной произведения и ча­стного не доказываются.

В заключение устанавливается геометрический смысл производной, выводится уравнение касательной, показыва­ется практическое применение касательной на примере по­строения фокуса параболы.

Применение производной

Применение производной к исследованию функций и построению графиков. Производные обратной функции и композиции данной функции с линейной. Вертикальные и горизонтальные асимптоты графиков. Графики дробно-линейных функций . Вторая производная и ее физический смысл. Использование производных при решении уравнений и неравенств, при решении текстовых, физических и геометрических задач, нахождении наибольших и наименьших значений. Примеры использования производной для нахождения наилучшего решения в прикладных, в том числе социально-экономических, задачах. Нахождение скорости для процесса, заданного формулой или графиком.

Основная цель — сформировать умение решать простейшие практические задачи методом дифференциаль­ного исчисления.

В связи с тем, что с геометрической интерпретацией по­нятия производной учащиеся уже знакомы, изучение главы начинается с краткого повторения уравнения касательной и зависимости ее положения в системе координат от знака значения ее углового коэффициента.

Вывод о возрастании или убывании функции на проме­жутке в соответствии со знаком значения ее производной де­лается с опорой на геометрический смысл производной.

Формулируется теорема Лагранжа, которая используется для доказательства теорем о достаточном условии возрастания и убывания функции.

При введении понятия экстремума не фиксируется вни­мание учащихся на формировании понятия окрестности точки. На теореме Ферма и ее наглядной геометрической ин­терпретации следует остановиться подробнее, так же как и на достаточном условии того, что стационарная точка явля­ется точкой экстремума.

При изучении графиков функций полезно показать по­строение графиков функций, которые не являются непре­рывными на всей области определения, и особенности по­строения графиков четных и нечетных функций.

Задачи на нахождение наибольшего и наименьшего зна­чений на отрезке и интервале иллюстрируются на геометри­ческих и физических примерах.

В конце темы вводится понятие второй производной и показывается ее использование для исследования и постро­ения графиков функций, но этот материал не является обя­зательным для изучения.

Первообразная и интеграл

Первообразная. Формула Ньютона-Лейбница. Понятие об определенном интеграле как площади криволинейной трапеции. Примеры применения интеграла в физике и геометрии. Понятие дифференциального уравнения.

Основная цель — познакомить учащихся с интег­рированием как операцией, обратной дифференцированию; научить применять первообразную для вычисления площа­дей криволинейных трапеций.

Введению понятия первообразной предшествует рас­смотрение физической задачи о восстановлении закона дви­жения по известному закону изменения скорости, что способствует раскрытию смысла интегрирования как операции, обратной дифференцированию. Понятие первообразной мо­жет быть дано на примерах, исходя из формул для производ­ных.

Целесообразно обратить внимание учащихся на неодно­значность результата при нахождении первообразной для данной функции.

Не следует добиваться от учащихся овладения умением находить первообразные в сложных случаях. Выполнение упражнений должно сводиться к применению таблицы и правил нахождения первообразных.

В качестве иллюстрации приложений первообразной рас­сматривается задача о нахождении площадей криволиней­ных трапеций. Формула S= F(b) — F(d) дается без доказатель­ства.

Комплексные числа

Комплексные числа. Геометрическая интерпретация комплексных чисел. Действительная и мнимая часть, модуль и аргумент комплексного числа. Алгебраическая и тригонометрическая формы записи комплексных чисел. Арифметические действия над комплексными числами в разных формах записи. Комплексно сопряженные числа.

Возведение в натуральную степень (формула Муавра). Основная теорема алгебры.

Комбинаторика.

Табличное и графическое представление данных. Числовые характеристики рядов данных.

Поочередный и одновременный выбор нескольких элементов из конечного множества. Формулы числа перестановок, сочетаний, размещений. Решение комбинаторных задач. Формула бинома Ньютона. Свойства биномиальных коэффициентов. Треугольник Паскаля.

Основная цель – ознакомление с основными формулами комбинаторики и их применением при решении задач, развивать комбинаторное мышление учащихся, ознакомить с теорией соединений, обосновать формулу бинома Ньютона. Основной при выводе формул числа перестановок и размещений является правило умножения, понимание которого формируется при решении различных прикладных задач. Свойства числа сочетаний доказываются и затем применяются при организации и исследовании треугольника Паскаля.

В результате изучения главы «Комбинаторика» учащиеся должны знать, основные формулы комбинаторики, уметь находить вероятность случайных событий в простейших случаях, использовать классическое определение вероятности и применения их при решении задач данного типа.

Элементы теории вероятностей.

Элементарные и сложные события. Рассмотрение случаев и вероятность суммы несовместных событий, вероятность противоположного события. Понятие о независимости событий. Вероятность и статистическая частота наступления события. Решение практических задач с применением вероятностных методов.

Основная цель – сформировать понятие вероятности случайного независимого события. Исследование простейших взаимосвязей между различными событиями, а также нахождению вероятностей видов событий через вероятности других событий. Классическое определение вероятности события с равновозможными элементарными исходами формируется строго, и на его основе (с использованием знаний комбинаторики) решается большинство задач. Понятие геометрической вероятности и статистической вероятности вводились на интуитивном уровне. При изложении материала данного раздела подчеркивается прикладное значение теории вероятностей в различных областях знаний и практической деятельности человека.

В результате изучения главы «Элементы теории вероятностей» учащиеся должны уметь находить вероятности случайных событий с помощью классического определения вероятности при решении упражнений данного типа, иметь представление о сумме и произведении двух событий, уметь находить вероятность противоположного события, интуитивно определять независимые события и находить вероятность одновременного наступления независимых событий в задачах.

Уравнения и неравенства с двумя переменными.

Линейные уравнения и неравенства с двумя переменными. Нелинейные уравнения и неравенства с двумя переменными. Метод интервалов. Изображение на координатной плоскости множества решений уравнений и неравенств с двумя переменными и их систем. Применение математических методов для решения содержательных задач из различных областей науки и практики. Интерпретация результата, учет реальных ограничений Неравенства с модулями. Уравнения с модулями. Уравнения с параметрами. Неравенства с параметрами. Системы уравнений с параметрами.

Основная цель – обобщить основные приемы решения уравнений и систем уравнений, научить учащихся изображать на координатной плоскости множество решений линейных неравенств и систем линейных неравенств с двумя переменными, сформировать навыки решения задач с параметрами, показать применение математических методов для решения содержательных задач из различных областей науки и практики.

В результате изучения главы «Уравнения и неравенства с двумя переменными» учащиеся должны уметь решать уравнения, неравенства и системы уравнений и неравенств с двумя переменными. Знать и уметь применять основные приемы для решения уравнений и систем уравнений, решать системы уравнений и неравенства с помощью графика.

Координаты и векторы

Декартовы координаты в пространстве. Формула расстояния между двумя точками.

Коллинеарные векторы. Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам. Формула расстояния от точки до плоскости. Координаты вектора. Скалярное произведение векторов. Уравнения сферы и плоскости

Основная цель — сформировать умения применять координатный и векторный методы к решению задач на нахо­ждение длин отрезков и углов между прямыми и векторами в пространстве.

В ходе изучения темы целесообразно использовать анало­гию между рассматриваемыми понятиями на плоскости и в пространстве. Это поможет учащимся более глубоко и осоз­нанно усвоить изучаемый материал, уяснить содержание и место векторного и координатного методов в курсе геомет­рии.

Тела и поверхности вращения

Цилиндр. Основание, высота, боковая поверхность, образующая, развертка. Формула площади поверхности цилиндра. Площадь сферы. Усеченный конус. Сфера. Шар. Их сечения. Касательная плоскость к сфере. Конус. Основание, высота, боковая поверхность, образующая, развертка. Осевые сечения и сечения параллельные основанию. Формула площади поверхности конуса.

Основная цель — дать учащимся систематические сведения об основных видах тел вращения.

Изучение круглых тел (цилиндра, конуса, шара) завершает изучение системы основных пространственных геометриче­ских тел.

В ходе знакомства с теоретическим материалом темы зна­чительно развиваются пространственные представления уча­щихся: круглые тела рассматриваются на примере конкретных геометрических тел, изучается взаимное расположение круг­лых тел и плоскостей (касательные и секущие плоскости), происходит знакомство с понятиями описанных и вписанных призм и пирамид.

Решается большое количество задач, что позволяет про­должить формирование логических и графических умений.

Объёмы тел

Понятие об объеме тела. Отношение объемов подобных тел. Объемы шарового сегмента, шарового слоя, шарового сектора. Формулы объема пирамиды и конуса. Формулы объема шара и площади сферы. Формулы объема куба, прямоугольного параллелепипеда.

Основная цель — продолжить систематическое изу­чение многогранников и тел вращения в ходе решения задач на вычисление их объемов.

В курсе стереометрии понятие объема вводится по анало­гии с понятием площади плоской фигуры и формулируются основные свойства объемов.

Существование и единственность объема тела в школьном курсе математики приходится принимать без доказательства, так как вопрос об объемах принадлежит, по существу, к труд­ным разделам высшей математики. Поэтому нужные результа­ты устанавливаются, руководствуясь больше наглядными со­ображениями.

Учебный материал главы в основном должен усваиваться в процессе решения задач.

Обобщающее повторение. Решение задач

4. Тематическое планирование с указанием количества часов, отводимых на освоение каждой темы

Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия.

Тематический план 10 класс (профиль):

Тематический план 11 класс (профиль):

34