Решение задач с помощью рациональных уравнений

Тема. Решение задач с помощью рациональных уравнений.

Цель урока:

Предметные: сформировать у учеников способность к рефлексии коррекционно- контрольного типа, развивать навыки самостоятельного решения учебных задач с помощью рациональных уравнений, вырабатывать умение правильно оформлять такие задачи ,самостоятельно строить алгоритмы действий по устранению затруднений , подготовка к ОГЭ.

Метапредметные: развивать навыки логического мышления, умение представить и озвучить интеллектуальные мыслеформы, формировать представления об этапах учебной деятельности, воспитывать целеустремленность

УУД

Познавательные. Развивать навыки выражать свои мысли, структурировать информацию, выбирать наиболее подходящий способ решения.

Регулятивные: развивать навык анализа предоставляемой информации, отработка навыка находить излишние данные в задачах, ставить задачи и планировать действия в соответствии с алгоритмом, решать задачи с помощью различных математических моделей.

Коммуникативные: работать в группе, высказывать и отстаивать свою точку зрения.

Личностные: осознание смысла учения и понимание личностной ответственность за будущий результат

Задачи: обобщить знания по решению дробных рациональных уравнений, закрепить навык составления уравнений для решения задач с помощью алгоритма.

Педагогическая технология: технология обучения в сотрудничестве, ИКТ технологии, дифференцированное обучение.

Тип урока: обобщение и систематизация знаний. Урок рефлексии.

Формы урока: групповая, работа в парах, индивидуальная.

Оборудование: информационно- коммуникативные технологии, интерактивная доска, проектор, электронный носитель с презентацией на основе программы MS Pover Pount,учебник «Алгебра 8 класс» М: «Просвещение» 2016 Ю. Н. Макарычев, Н.Г. Мендюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова, номера групп учащихся, стаканы с водой и раствором соли.

На партах: индивидуальный раздаточный материал ( приложение), листы бумаги, цветные маркеры.

У учеников тетрадь, письменные принадлежности

Ход урока.

1. Оргмомент.

2. Учитель. Здравствуйте ребята. В это осеннее утро я рада вас вновь видеть. К нашей встрече я с удовольствием готовилась. Эпиграфом к уроку послужат слова великого ученого и мыслителя Б. Паскаля «Величие человека в его способности мыслить» Как вы понимаете это высказывание? Развивает ли математика мыслительные способности?

Сейчас мы проверим вашу смекалку. Тема нашего урока скрыта в ребусах. ( Слайд 2, 3, 4) . Учащиеся отгадывают, формулируют тему урока.(Слайд1) Какие навыками необходимо обладать , чтобы решать задачи с помощью рациональных уравнений?(учащиеся перечисляют)

Какова цель нашего урока? (учащиеся формулируют, учитель помогает.)

3. Теперь проведем математическую разминку. У вас на столах лежат листы с примерами. Вычислите.( Приложение 1.)

Разминка. Работа в группах. Взаимопроверка.( Слайд 5)

1. Актуализация изученного.

Учитель. Вспомним, как решать задачи с помощью составления уравнений. Для решения таких задач существует алгоритм решения. (Слайд 6)

1. На прошлом уроке ребята получили творческое задание представить различные типы задач с помощью схематических картинок и составить условия к задачам. Ребята представят свои задания, а остальные ребята ответят на поставленные вопросы.(Слайд 7, 8, 9, 10)

Ребята выступают, остальные отвечают на вопросы, называют формулы, вычисляют.

Учитель. Ребята, есть ли в задачах излишние данные?

Работа с учебником. Решим задачу №618. Ребята читают текст задачи. Разбор условия задачи.

-о чем говорится в условии, что известно, какую величину необходимо найти? Заполняем предварительно подготовленную таблицу. Один ученик решает задачу у доски, остальные работают в рабочих тетрадях

Пусть скорость II автомобиля х км/ч.Имеем уравнение.

= 1 ОДЗ х0

Х² +20х- 2400=0

Х=40 км/ч

Итак, скорость первого автобуса 40 км/ч, а второго 40+20=60 км/ч.

Ответ: 40 км/ч, 60 км/ч

Историческая справка. Подготовил предварительно ученик ученик. (Слайд 11, 12)

Из истории возникновения квадратных уравнений.

Алгебра возникла в связи с решением разнообразных задач при помощи уравнений. Обычно в задачах требуется найти одну или несколько неизвестных, зная при этом результаты некоторых действий, произведенных над искомыми и данными величинами. Такие задачи сводятся к решению одного или системы нескольких уравнений, к нахождению искомых с помощью алгебраических действий над данными величинами. В алгебре изучаются общие свойства действий над величинами.

Некоторые алгебраические приемы решения линейных и квадратных уравнений были известны еще 4000 лет назад в Древнем Вавилоне.

Необходимость решать уравнения не только первой, но и второй степени еще в древности была вызвана потребностью решать задачи, связанные с нахождением площадей земельных участков и с земляными работами военного характера, а также с развитием астрономии и самой математики. Квадратные уравнения умели решать около 2000 лет до нашей эры вавилоняне. Применяя современную алгебраическую запись, можно сказать, что в их клинописных текстах встречаются, кроме неполных, и такие, например, полные квадратные уравнения:

Правило решения этих уравнений, изложенное в вавилонских текстах, совпадает по существу с современным, однако неизвестно, каким образом дошли вавилоняне до этого правила. Почти все найденные до сих пор клинописные тексты приводят только задачи с решениями, изложенными в виде рецептов, без указаний относительно того, каким образом они были найдены. Несмотря на высокий уровень развития алгебры в Вавилоне, в клинописных текстах отсутствуют понятие отрицательного числа и общие методы решения квадратных уравнений.

В «Арифметике» Диофанта нет систематического изложения алгебры, однако в ней содержится систематизированный ряд задач, сопровождаемых объяснениями и решаемых при помощи составления уравнений разных степеней.

Задачи на квадратные уравнения встречаются уже в астрономическом трактате «Ариабхаттиам», составленном в 499 г. индийским математиком и астрономом Ариабхаттой. Другой индийский ученый, Брахмагупта (VII в.), изложил общее правило решения квадратных уравнений, приведенных к единой канонической форме:

(1)

В уравнении (1) коэффициенты, могут быть и отрицательными. Правило Брахмагупты по существу совпадает с нашим.

Формы решения квадратных уравнений по образцу Аль-Хорезми в Европе были впервые изложены в «Книге абака», написанной в 1202г. итальянским математиком Леонардом Фибоначчи. Автор разработал самостоятельно некоторые новые алгебраические примеры решения задач и первый в Европе подошел к введению отрицательных чисел.

Вывод формулы решения квадратного уравнения в общем виде имеется у Виета, однако Виет признавал только положительные корни. Итальянские математики Тарталья, Кардано, Бомбелли среди первых в XVI в. учитывают, помимо положительных, и отрицательные корни. Лишь в XVII в. благодаря трудам Жирара, Декарта, Ньютона и других ученых способ решения квадратных уравнений принимает современный вид

На рубеже XVI—XVII вв. алгебра как специфическая часть математики, обладающая своим предметом, методом, областями приложения, была уже сформирована. Дальнейшее ее развитие, вплоть до нашего времени, состояло в совершенствовании методов, расширении области приложений, уточнении понятий и связей их с понятиями других разделов математики.

Физкультминутка (Слайд 13) https://www.youtube.com/watch?v=TMdMGIcM_sA

Практическая работа. Ребята, у вас на столах стоят стаканы , один из которых с водой, а другой - с раствором соли, а также задание к практической работе и алгоритм её выполнения. Выполните в парах задание и готовый ответ внесите в лист ответов. . (Приложение 1)

Алгоритм выполнения практической работы.

1. Добавить в водный раствор воду.

2. Определить первоначальную массу раствора, если известно, что в нем содержится 30 г соли, и в результате концентрация соли в растворе понизилась на 1%

3. Заполнить схему и составить математическую модель решения задачи.

4. Выполнить вычисления. Дать ответ на вопрос задания.

Ребята в парах выполняют работу под контролем учителя.

Х= 500 г

Рефлексия. Используются задачи из КИМы для 9 класса, модуль «Алгебра» часть 2 (ГИА 9, типовые тестовые задания) Ребята, задачи расположены по степени убывания сложности. Выбирайте соответствующие выбранному вами уровню сложности задания.

(Приложение 1)

1. Теплоход проходит по течению реки до пункта назначения 210 км и после стоянки возвращается в пункт отправления. Найдите скорость теплохода в неподвижной воде, если скорость течения равна 4 км/ч, стоянка длится 9 часов, а в пункт отправления теплоход возвращается через 27 часов после отплытия из него

Ответ: 24 км/ч

1. Свежие фрукты содержат 78% воды, а высушенные 22%.Сколько сухих фруктов получится из 78 кг свежих фруктов?

Ответ: 22 кг

1. Первая труба пропускает на 5 литров воды в минуту меньше, чем вторая труба. Сколько литров воды в минуту пропускает первая труба, если резервуар объемом 200 литров она заполняет на 2 минуты дольше, чем вторая труба?

Ответ: 40 л

1. Скорость велосипедиста на 36 км/ ч меньше скорости мотоциклиста. Расстояние от города до поселка велосипедист проезжает за 6 часов, а мотоциклист за 2 часа. Какова скорость велосипедиста?

Ответ: 18 км/ч

Решают самостоятельно под контролем учителя. Консультанты проверяют, выставляют оценки.

Вопросы учащимся:

Какие типы задач мы решаем с помощью дробных рациональных уравнений?

- какого вида задачи решать труднее?

– какое ваше настроение при решении задач?

Ребята, спасибо вам за урок. Я очень рада, что провела время с умными, сообразительными и талантливыми детьми. Мое настроение яркое и желтое , как солнце. Какого цвета ваше настроение ? Возьмите маркеры и закрасьте круг в цвет вашего настроения. (Ребята закрашивают и поднимают соответствующий своему настроению круг. Желтый - радостно, красный - осталось недопонимание, синий – урок не понравился) ).

Домашнее задание:п.26 № 619, 629.( 1 задача «3», 2 задачи «4») Творческое задание: придумать задачу на составление дробно-рационального уравнения и дать её решение. (Слайд 14)