Система задач для подготовки учащихся к участию в математических олимпиадах

Система задач для подготовки учащихся к участию в математических олимпиадах

Раздел: Алгебра

Тема: Многочлены

1. Задание

Разложить на целые рациональные множители выражение a¹⁰ + a⁵ + 1.

Решение

Ответ: (a² + a + 1)(a⁸ - a⁷ + a⁵ - a⁴ + a³ - a + 1).

Показать, что

27195⁸ - 10887⁸ + 10152⁸

делится без остатка на 26460.

Решение

Заметим, что 26460 = 2^{2 .} 3^{3 .} 5 ^. 7². Представим число A = 27195⁸ - 10887⁸ + 10152⁸ в виде 27195⁸ - (10887⁸ - 10152⁸). Это число делится на 5 ^. 7². Действительно, 27195 = 3 ^. 5 ^. 7^{2 .} 37, а разность 10887⁸ - 10152⁸ делится на 10887 - 10152 = 735 = 3 ^. 5 ^. 7². С другой стороны, представление A = (27195⁸ - 10887⁸) + 10152⁸ показывает, что число A делится на 2^{2 .} 3³. Действительно, 27195⁸ - 10887⁸ делится на 27195 - 10887 = 16308 = 2^{2 .} 3^{3 .} 151, а 10152 = 2^{3 .} 3^{3 .} 47. Таким образом, число A делится на 5 ^. 7² и на 2^{2 .} 3³, поэтому оно делится на 26460 = 2^{2 .} 3^{3 .} 5 ^. 7².

Решить систему уравнений:

Решение

Пусть xy = t. Несложно проверить, что

x⁵ + y⁵ = (x + y)⁵ - 5(x + y)³xy + 5(x + y)x²y² = a⁵ - 5a³t + 5at²

Для t получаем квадратное уравнение t² - a²t +   = 0.

Решая его, находим t =  a²± .

В результате получаем систему уравнений

Решение этой системы тоже сводится к решению квадратного уравнения.

1. Задание

В выражении (x⁴+x³-3x²+x+2)²⁰⁰⁶ раскрыли скобки и привели подобные слагаемые. Докажите, что при некоторой степени переменной x получился отрицательный коэффициент.

Решение

Коэффициент при x^4 . 2006 в полученном выражении равен 1. Коэффициент при нулевой степени равен значению выражения при x = 0, т.е. 2²⁰⁰⁶. Сумма всех коэффициентов равна значению нашего выражения при x = 1, т.е. 2²⁰⁰⁶. Значит, сумма первого и последнего коэффициентов больше суммы всех коэффициентов. Поэтому найдется отрицательный коэффициент.

1. Задание

Даны два многочлена от переменной x с целыми коэффициентами. Произведение их есть многочлен от переменной x с чётными коэффициентами, не все из которых делятся на 4. Доказать, что в одном из многочленов все коэффициенты чётные, а в другом — хоть один нечётный.

Решение

Из того, что не все коэффициенты произведения делятся на 4, следует, что у одного многочлена есть нечётный коэффициент. Нужно доказать, что у другого многочлена нет нечётных коэффициентов. Предположим, что у обоих многочленов есть нечётные коэффициенты. Заменим каждый коэффициент на его остаток от деления на 2. В результате получим многочлены a_nxⁿ + a_{n - 1}x^{n - 1} + ... + x^r и b_mx^m + b_{m - 1}x^{m - 1} + ... + x^s. Если в произведении данных многочленов мы заменим каждый коэффициент на его остаток от деления на 2, то получим многочлен a_nb_mx^{n + m} + ... + x^{r + s}. Таким образом в произведении данных многочленов коэффициент при x^{r + s} нечётен, что противоречит условию.

1. Задание

Все коэффициенты многочлена P(x) — целые числа. Известно, что P(1) = 1 и что P(n) = 0 при некотором целом положительном n. Найдите n.

Решение

Воспользуемся тем, что P(x) – P(y) делится на x – y. Отсюда P(n) – P(1) = –1 делится на n – 1. Значит, n – 1 = ±1. Откуда n = 0 или 2. Поскольку мы ищем натуральный корень, то решение единственное: n = 2.

1. Задание

Существует ли такой многочлен P(x), что у него есть отрицательный коэффициент, а все коэффициенты любой его степени (P(x))ⁿ, n  1, — положительные?

Решение

  Важное наблюдение состоит в том, что достаточно найти такой многочлен, что коэффициенты его квадрата и куба положительны. Любая другая степень представима в виде произведения квадратов и кубов.

Назовем многочлен

a_nxⁿ + a_{n - 1}x^{n - 1} + ... + a₁x + a₀

положительным, если все его коэффициенты положительны: a_i  0 при i = 0,..., n.

Рассмотрим многочлен f (x) = x⁴ + x³ + x + 1. Нетрудно видеть, что (f (x))² и (f (x))³ — положительные многочлены, но сам многочлен f (x) не является положительным: коэффициент при x² равен нулю. Однако нам нужен многочлен с отрицательным коэффициентом. Идея состоит в том, чтобы немного "пошевелить" многочлен f (x).

Рассмотрим многочлен g(x) = f (x) -  x² при достаточно малом    0. Коэффициенты многочленов (g(x))² и (g(x))³ близки к коэффициентам многочленов (f (x))² и (f (x))³ и, значит, положительны. Последнее утверждение может показаться нестрогим человеку, не знакомому с математическим анализом. В этом случае предлагается взять, например,   =   и проверить "руками", что соответствующие многочлены положительны.

Итак, ответ дается многочленом

g(x) = f (x) -  x² = x⁴ + x³ -  x² + x + 1

при достаточно малом    0.

Комментарий. При   = 0 коэффициенты многочлена f (x) = x⁴ + x³- x² + x + 1 можно записать как число: 11011, тогда коэффициенты (f (x))² и (f (x))³ можно записать в виде последовательности цифр 11011² = 121242121 и 11011³ = 1334996994331 (многочлены перемножаются "столбиком" так же, как многозначные числа).

КЛАСС: 11