Технологическая карта урока по теме "Неполные квадратные уравнения"

Тема урока

как решаются неполные квадратные уравнения

Цели урока:

Образовательная

продолжить формирование умения решать задачи с помощью составления квадратных уравнений.

Развивающая

развивать алгебраический аппарат у учащихся, грамотную математическую речь

Воспитательная

воспитывать ответственность, чувство долга, аккуратность, лаконичность оформления решений

Тип урока

закрепление нового материала

Основные термины и понятия

квадратное уравнение, неполное квадратное уравнение

Оборудование

ПК, проектор, раздаточный материал, презентация

Предметные умения

Универсальные учебные действия

Распознавать квадратные уравнения, классифицировать их. Решать квадратные уравнения-полные и неполные. Проводить простейшие исследования квадратных уравнений. Решать уравнения сводящиеся к квадратным, путем преобразований, а также с помощью замены переменной. Применять теорему Виета для решения разнообразных задач. Решать текстовые задачи алгебраическим способом: переходить от словесной формулировки условия задачи к алгебраической модели путем составления уравнения; решать составленное уравнение; интерпретировать результат. Распознавать квадратный трехчлен, выяснять возможность разложения на множители, представлять квадратный трехчлен в виде произведения линейных множителей. Применять различные приемы самоконтроля при выполнении преобразований. Проводить исследования квадратных уравнений с буквенным коэффициентами, выявлять закономерности.

Л: умение организовывать учебное сотрудничество и совместную деятельность с учителем и сверстниками: определять цели, распределение функций и ролей участников, взаимодействие и общие способы работы;

Р: планирование и прогнозирование своей деятельности, самоконтроль;

К: умение владеть приёмами монологической и диалогической речи, работать индивидуально и в группе, формулировать, аргументировать и отстаивать своё мнение;

Этапы урока

Время

Содержание

Формируемые УУД

Деятельность учителя

Деятельность учащихся

Организационный этап

2 мин

Приветствие. Создание благоприятной рабочей обстановки.

Вступительное слово учителя

Приветствие учителя. Настрой на урок.

Л:самоопределение, настрой на работу; Р:целепологание.

Актуализация знаний

5мин

Организует устную работу.

– Решите уравнение:

а) x² = ; е) x² = 1600;

б) x² = 0,49; ж) x² = ;

в) x² = 0; з) x² = ;

г) x² = ; и) x² = 5;

д) x² = 1,21; к) x² = .

Фронтально работают с места

П: анализ предлагаемых заданий, выделение существенной информации;

Р: умение слушать, дополнять и уточнять;

К: решение возникающих проблемных вопросов.

Изучение нового материала

15мин

Организует изучение учебного материала по учебнику

Учащиеся уже встречались с решением неполных квадратных уравнений. Поэтому основная цель состоит в систематизации их знаний, ознакомлении с новым понятием и овладением конкретными приемами решения неполных квадратных уравнений.

Объяснение нового материала проводится в несколько этапов и предполагает большую долю самостоятельности учащихся.

1. Введение понятия неполного квадратного уравнения.

Учащиеся могут сами подойти к изучаемому понятию, если предложить им выполнить соответствующее задание.

Задание. Назовите коэффициенты квадратных уравнений. Что общего можно найти во всех этих квадратных уравнениях?

а) 3x – 5x² = 0; г) ;

б) ; д) 6x² – 4 = 0;

в) ; е) x² – x = 0.

Учащиеся должны заметить, что во всех рассматриваемых уравнениях хотя бы один коэффициент равен нулю. Учитель сообщает, что такие квадратные уравнения называются неполными, и просит учащихся сформулировать соответствующее определение.

Определение. Квадратное уравнение называют неполным, если хотя бы один из коэффициентов b или c равен нулю.

2. Виды неполных квадратных уравнений.

Предложить учащимся выделить и записать все виды неполных квадратных уравнений.

1) ax² + c = 0, где с ≠ 0;

2) ax² + bx = 0, где b ≠ 0;

3) ax² = 0.

3. Решение неполных квадратных уравнений различных видов.

Необходимо, чтобы учащиеся при помощи учителя рассмотрели решение каждого из видов неполных квадратных уравнений, сделали выводы и записали решение в общем виде.

1) Неполные квадратные уравнения вида ax² + c = 0, где с ≠ 0.

Начать можно с решения конкретных уравнений данного вида:

а) 64x² – 49 = 0;

б) –2x² + 8 = 0;

в) 16x² + 1 = 0.

Затем учащиеся без труда смогут сформулировать алгоритм решения неполных квадратных уравнений этого вида.

Алгоритм. Для решения неполного квадратного уравнения вида
ax² + c = 0 при с ≠ 0 переносят его свободный член в первую часть и делят обе части уравнения на а. В результате получается следующее уравнение:

, равносильное уравнению ax² + c = 0.

Далее следует обратить внимание на количество корней полученного уравнения . Учащиеся понимают, что такое уравнение либо не имеет корней, либо имеет два корня, которые являются противоположными числами.

В классе с высоким уровнем подготовки можно привести доказательство этого уравнения.

Доказательство. Если в уравнении числа а и с одного знака, то 0, тогда – а и с разных знаков, то 0. В этом случае уравнение имеет два корня: и . Эти корни – противоположные числа.

2) Неполные квадратные уравнения вида ax² + bx = 0, где b ≠ 0.

Как и при рассмотрении первого вида неполных квадратных уравнений, начать нужно с решения конкретных уравнений:

а) 10x² + 9x = 0;

б) –2x² + 5x = 0.

Затем формулируется алгоритм решения таких уравнений.

Алгоритм. Для решения неполного квадратного уравнения вида ax² + bx = 0 при b ≠ 0 его левую часть раскладывают на множители и получают уравнение:

x(ax + b) = 0.

Произведение x(ax + b) равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю, то есть

х = 0 или ax + b = 0;

.

Таким образом, неполное квадратное уравнение вида ax² + bx = 0 при b ≠ 0 всегда имеет два корня: 0 и .

3) Неполные квадратные уравнения вида ax² = 0.

Если не рассматривать этот вид неполных квадратных уравнений, то появляется опасность возникновения очень распространенных ошибок у учащихся. Решая, например, уравнение 4x² = 0, они получают: x² = 4 или x = 4 и прочее.

Поэтому необходимо этот вид уравнений выделить отдельно и сделать вывод: неполное квадратное уравнение вида ax² = 0 равносильно уравнению x² = 0, поэтому имеет единственный корень: x = 0.

4. Обобщение решений неполных квадратных уравнений различных видов.

Можно предложить учащимся составить таблицу, из которой четко будет видно, как решаются неполные квадратные уравнения различных видов.

Изучают новый материал совместно с учителем. Делаю соответствующие записи в тетрадях.

П: умение логически рассуждать, анализировать и осмысливать текст задания;

Л: осознание работы в группе;

Р: контроль и коррекция выбора способа действий, критическая оценка полученного ответа;

Закрепление изученного материала

15мин

Организует закрепление учебного материала по учебнику

1. № 490 (а, в, д), 491 (а, в, д).

2. № 492 (а, в, д), 493 (а, в, д).

На первых порах можно, чтобы учащиеся перед решением неполных квадратных уравнений вслух проговаривали их вид и алгоритм решения, пока не будет сформирован устойчивый навык.

3. № 495 (а, в, д, ж).

Самостоятельно решают по учебнику (1 человек у доски для самоконтроля)

П: самостоятельное выполнение действий, умение структурировать свои знания;

Р: контроль и коррекция;

Подведение итогов урока. Рефлексия.

2мин

Организует обсуждение:

Вопросы учащимся:

– Какое квадратное уравнение называется неполным?

– Какие существуют виды неполных квадратных уравнений?

– Как решается неполное квадратное уравнение, в котором коэффициент b = 0? Сколько корней может иметь такое уравнение?

– Как решается неполное квадратное уравнение, в котором коэффициент с = 0? Сколько корней может иметь такое уравнение?

– Какие корни имеет уравнение вида ax² = 0?

Отвечают на вопросы учителя. Проводят самооценку своей деятельности на уроке.

Л: умение подводить итоги;

Р: умение осуществлять самооценку;

К: умение грамотно выражать свои мысли;

Домашнее задание

1мин

разобрать задания № 490 (б, е), 491 (г, е), 492 (б, г), 493 (б, г, е), 495 (б, г, е).

Записывают домашнее задание в дневник.