Урок одной задачи

Тема урока: Урок одной задачи

Учитель: Турова Оксана Владимировна

Класс: 9 класс

Предмет: геометрия

Актуальность:

Урок одной задачи – это поиск разных способов решения одной задачи. Ученик имеет возможность найти тот способ решения, который ему понятен. Учет подструктур математического мышления побуждает учащихся к поиску различных приемов решения. Психологи установили, что решение одной задачи разными способами приносит больше пользы, чем решение подряд нескольких однотипных задач.

Цели урока:

Решить задачу несколькими способами, учитывая структуры математического мышления. Показать многообразие и красоту математических решений. Создать ситуацию успеха и радости.

Задачи урока:

• Образовательные: обобщить изученный по теме материал, формировать умение применять знания к решению задач;

• Развивающие: развивать познавательную активность, творческие способности и интерес к предмету. Индивидуальные способности и критическое мышление;

• Воспитательные: учить прислушиваться к мнению товарищей, развивать умение работать в группах, воспитывать у учащихся гибкость мышления.

План урока.

1. Организационный момент (2 мин);

2. Решение задач в группах (15 мин);

3. Представление решения членами группы (20 мин);

4. Заключительное слово учителя (5 мин);

5. Рефлексия, домашнее задание (3 мин).

Ход урока.

1. Организационный момент

Учитель объясняет учащимся, что сегодня предстоит необычный урок. Решая задачу по группам и защищая свое решение, они смогут увидеть большие возможности геометрии, когда одну и ту же задачу можно решить разными способами.

Затем учащимся предлагается сесть по группам, выбрать капитана, который будет представлять решение задачи на доске.

Перед уроком класс разбивается на 5 групп (на основе диагностики) по доминантным подструктурам математического мышления: на «топологов», «метристов», «порядковцев» и «алгебраистов».

1. Решение задач и в группах

Учитель предлагаем приступить к решению задачи.

Задача:

Трапеция разбита диагоналями на четыре треугольника. Докажите, что треугольники, прилежащие к боковым сторонам, равновелики.

В процессе урока учитель подходит к отдельным группам и наблюдает за работой учеников. Роль учителя заключается в том, чтобы в зависимости от доминантного кластера математического мышления детей той или иной группы, найти те подсказки, которые окажут реальную помощь школьникам.

Для группы с доминантной топологической подструктурой естественной подсказкой может быть акцент на использование принадлежности одних треугольников другим, а именно:

- Не видите ли вы треугольник, в который включаются треугольники АОВ и СОD?

- Площади каких фигур включает в себя S_△ABD ? (S_△AСD ?)

-Что является пересечением △АВD и △АСD?

Обычно топологи, опираясь на подсказки, выстраивают следующее доказательство:

Доказательство:

Рассмотрим △АВD и △ACD.

У них общее основание АD и равны высоты ВН=СН₁, тогда

S_△ABD =S_△ACD

S_△ABO = S_△ABD - S_△AOD = S_△ACD - S_△AOD = S_△CDO

S_△ABO = S_△CDO

Алгебраическая подструктура позволяет осуществлять не только прямые, но и обратные операции, заменить несколько операций одной, вычислить части и собрать их в единое целое. Для них удобны следующие подсказки:

- Используйте метод от противного;

-Проведите через точку О отрезок MN ││ BC и докажите, что OM=ON

Группой алгебраистов были представлены следующие решения:

I способ:

Пусть S_△ABO ≠ S_△CDO, тогда S_△ABD ≠ S_△ACD и ВС ││ АD.

Получили противоречие с тем, что АВСД трапеция. Значит, S_△ABO = S_△CDO

II способ:

Проведем MN ││ BC, О MN, OM=ON

Треугольники АВО и СВО состоят из двух треугольников, площади которых равны.

S_△AМO = S_△NDO, S_△ВМO = S_△CNO

Тогда _,S_△ABO = S_△CDO

Метрическая подструктура акцентирует внимание человека на количественных преобразованиях и позволяет пересчитывать, определять конкретные числовые значения.

Хорошей подсказкой является следующая:

-По формуле S_△ = вычислите S_△ABO и S_△CDO, используя подобие △ВСО и △АДО

Решение «метристов»:

△ВСО ∽ △АДО, тогда

,

АО·ВО =СО·ДО │·

АО·ВО = СО·ДО,

 =∠АОВ = ∠СОД

S_△ABO = S_△CDO

Для проективистов очевидной и полезной будет подсказка:

- заменить («спроецировать») треугольники на одну из сторон каждого из них, то есть на отрезки диагоналей трапеции.

Аналогично,

△ВСО ∽ △АДО, значит ,

S_△ABO = S_△CDO

Для порядковцев важны такие отношения, как «больше-меньше», «равно». Они любят действовать последовательно, поэтому для них предлагаются подсказки:

- Установите последовательность величин площадей треугольников от большего к меньшему;

- Есть ли среди них треугольники с равными площадями?

- На каком основании вы можете заключить, что площадь каждого последующего треугольника меньше площади предыдущего?

- Попробуйте последовательно заменять площадь трапеции суммой площадей больших треугольников, а сумму последних – суммой площадей меньших треугольников;

Разные дети, после разного количества подсказок приходят к следующим решениям:

I способ:

Тогда,

Заменяя площади больших треугольников площадями меньшими, получаем:

(1)

) (2)

Приравниваем правые части (1) и (2), приводим подобные слагаемые:

)

=

II способ:

Используя формулу , замечаем =

=

1. Представление решения членами группы

Каждая группа выступает со своим доказательством.

Это очень важный этап урока, так как только после того как школьник усвоил решение адекватное своему кластеру, он способен осознанно и неформально овладеть другими способами решения.

1. Рефлексия. Домашнее задание.

Задача 2: Докажите, что медиана разбивает треугольник на шесть равновеликих треугольников.