В помощь учителю математики при подготовке учащихся к итоговой аттестации по теме “Комбинаторика. Теория вероятностей

Вероятностно-статистические знания на современном этапе развития общества играют большую роль в общеобразовательной подготовке современного человека. Общество стремится сделать прогнозы о самом себе и о явлениях природы, которые требуют представлений о вероятности. Без минимальной вероятностно-статистической грамотности трудно адекватно воспринимать экономическую информацию и принимать на основе ее обоснованные решения.

Вице-президент Российской ассоциации учителей пишет: « Мы должны научить наших детей жить в вероятностной ситуации. А это значит извлекать, анализировать, обрабатывать информацию, принимать обоснованные решения в разных ситуациях со случайными исходами… Эта задача может быть решена в школьном курсе математики на базе комплекса вопросов, связанных с формированием комбинаторного и вероятностно мышления».

В настоящее время в ЕГЭ входят довольно простые задачи по теории вероятностей, однако обучающиеся и учителя еще испытывают определенные трудности при их решении. Вероятно, это связано с отсутствием глубоких традиций преподавания и малочисленностью учебных материалов.

В настоящем методическом пособии приводится необходимый теоретический материал. Подобраны к каждой теме задачи из сборников ЕГЭ с решениями.

Поэтому настоящий сборник рассчитан на любой уровень знаний и может быть использован не только при подготовке к экзамену, но и как методический и дидактический материал при изучении курса теории вероятностей и комбинаторики в средней и основной школе.

Комбинаторика – раздел математики, изучающий способы подсчета различных вариантов.

Принципы комбинаторики:

1. Предположим, что объект А можно выбрать из некоторой совокупности n-спосбами, а объект В m-способами. Тогда объект А или В ( А+В) можно выбрать m+n способами.

2…тогда объект А и В ( А*В) можно выбрать m*n способами. Запомнить: Или + И *

Задачи: 1. В корзине 5 яблок, 4 груши, 8 лимонов. Сколькими способами можно взять яблоко или грушу? ( 5+4 = 9, обратить внимание на союз «или» )

2. В гору ведут 3 дороги, а с горы 2. Сколько способов выбрать маршрут? (3*2 = 6 )

3. Сколько существует трехзначных чисел, кратных 5 ? (9*10*2 = 180 )

Формулы.

1.Перестановок из n – элементов. P_n=n!

Задача: Сколько способов 10 человек построить в очередь? (10! )

2. Перестановки с повторениями. P_n(k₁, k₂) =

Задача: 2 яблока и 3 груши. Сколько способов составить меню, чтоб был 1 фрукт?
Р(2,3) = 5!/ (2!*3!) = 10

3. Размещения (важен порядок элементов).

Задача: На замещение 3 мест пришло 7 кандидатов. Сколько способов выбрать замещение? =7!/4!=210

4. Сочетания ( порядок не важен).

Задача: В урне 2 белых и 5 черных шаров. Сколько способов взять сразу 3 шара?

==35

Виды событий.

1. достоверное (всегда наступит).

2. невозможное (Конфуций: «Невозможно в темной комнате найти черную кошку, если ее там нет»)

3.Ã - противоположное к событию А – событие, которое заключается в ненаступлении события А.

4. несовместные А и В – если наступление А исключает появление В.

5. совместные А и В - если наступление А не исключает появление В.

Действия с событиями.

А + В = АUВ А*В = В*А = А∩В А – В = А\В (показать на кругах Эйлера).

Классическая вероятность р( А) = k / n , где k – благоприятные события, n- общее число возможных событий. 0≤ р(А) ≤1

1) Если события А и В несовместные, то р(А+В) = р(А) + р(В)

2) Если события А и Ã противоположные, то р(А) + р(Ã) =1

3) Если события А и В совместные, то р(А + В) = р(А) + р(В) – р(А*В)

4) Если события А и В независимые, то р(А*В) = р(А)*р(В)

Задачи.

1. В урне 2 белых, 1 черный и 2 зеленых шара. Какова вероятность достать белый или черный шар? ( это несовместные события, р( б или ч) = 2/5 +1/5 = 3/5 = 0,6 )

2. В среднем из 1000 ламп 7 неисправны. Найти вероятность того, что одна случайно взятая лампа исправна. ( противоположные события, р(испр.) = 1 – 7/1000 = 0,993 ).

3. Два одинаковых автомата. Вероятность того, что кофе закончилось в одном 0,3. Закончилось в обоих 0,12. Найти вероятность того, что кофе осталось в обоих автоматах. (закончилось в обоих – совместные события, значит, р (зак.в обоих) = 0,3+0,3 – 0,12 = 0,48 тогда р ( ост.в обоих) = 1 – 0,48 = 0,52 т.к. это уже противоположные события).

4. В магазине 3 различных банкомата. Каждый из них занят с клиентом с вероятностью 0,2. Найти вероятность, что в случайный момент времени все 3 банкомата заняты одновременно. ( Независимые события, р( зан.все) = 0,2*0,2*0,2 = 0,008 )

« Хотя бы один» Пусть событие А – хотя бы одно наступило. Тогда р (А) = 1 – р (Ã )

Задача. Помещение освещается 3 лампами. Вероятность перегорания одной лампы в течение года равна 0,3. Найти вероятность того, что в течение года хотя бы одна лампа не перегорит. ( р(хотя бы 1не перегорит) = 1 – р (все 3 лампы перегорят) = 1 – 0,3*0,3*0,3 = 0,973)

Полная вероятность: Событие А может произойти одновременно с одним из событий Н (от 1 до n), образующими полную группу попарно несовместных событий.

Задача. Если стрелять из пристреленного пистолета, то вероятность попасть в мишень 0,8, а попасть из непристреленного 0,3. Всего 10 пистолетов, из них 3 пристреленных. Случайно берут один пистолет и стреляют. Найти вероятность промаха.

( р (промах) = р (промах из пристрелен.) + р ( промах из непристрел.) = 0,2*0,3 + 0,7*0,7 =0,55 ) Задача про погоду. Если июньское утро ясное, то вероятность дождя в этот день 0,1, если утро пасмурное, то р (дождя) = 0,4.Вероятность пасмурного утра 0,3. Найти вероятность, что в июньский день дождя не будет. ( Решение удобно в виде таблицы:

Р (дождя нет) = 0,7*0,9 + 0,3*0,6 = 0,81.

Задача. Вероятность решить более 11 задач 0,67, а более 10 задач 0,74. Найти вероятность решить ровно 11 задач. (это несовместные события, значит р ( ровно 11) = 0,74 – 0,67 = 0,007. Аналогичная задача: р( прибор служит более 1 года) = 0,93, а более двух лет 0,81. Найти вероятность службы прибора более 1 года, но менее 2-х лет. (р = 0,93 – 0,81 = 0,12.

Задача. Перед соревнованием на пары разбивают жребием. Всего 26 человек, среди них 9 Россиян, в том числе Коля. Найти вероятность, что в первом туре Коля играет с россиянином. ( Жребий, значит на порядок выступления не влияет, Коля с россиянином рассматриваем как единое целое, значит искомая вероятность = (9 – 1) / ( 26 – 1) = 8 /25 = 0,32.

Задача. Надо изготовить деталь диаметром 69 мм. Р(диам.отличается не более чем на 0,01 мм) = 0,975. Найти р ( 69,01

Задача. Если цель не уничтожена, то делают повторные выстрелы до тех пор, пока цель не уничтожат. Вероятность уничтожить при I выстреле 0,3 , а при каждом следующем 0,9. Сколько выстрелов надо сделать, чтоб вер-ть уничтожить была не менее 0,96 ?
(р (промах) ≤ 1 – 0,96≤ 0,04 . Если 2 выстрела, то р = 0,7*0,1 = 0,07 0,04 (неверно) если 3 выстрела, то р = 0,7*0,1*0,1 = 0,007

Задача. Из произведенных ламп 5 % имеют дефекты. При контроле отбраковывают 90 % дефектных ламп, остальные в продажу. Найти вероятность того, что случайно выбранная до контроля лампа поступит в продажу. ( дефектных ламп 0,05 от всех, тогда отбраковывают 0,9*0,05 = 0,045 от всех ламп. Тогда р (в продажу) = 1 – 0,045 = 0,955.

Автор надеется, что данные методические рекомендации окажутся полезными учителям математики для работы со школьниками, а также учащимся старших классов для самостоятельной подготовки к Единому государственному экзамену по математике.

Список литературы

1. Вентцель Е.С. Теория вероятностей. – М.: Высшая школа, 2001.

2. Кремер Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика. – М.: ЮНИТИ- ДАНА, 2004. – 573с.

3. Математика. Подготовка к ЕГЭ. Элементы теории вероятностей: учебно-методическое пособие/ под ред.Лысенко, Калабухова. Ростов-на-Дону : Легион – М.,2012.

4. Семенов А.В. Оптимальный банк заданий для подготовки учащихся к ЕГЭ./под ред. И.В. Ященко.-М.: Интеллект-центр, 2015.

5. ФИПИ. ЕГЭ. Математика. Профильный уровень / под ред.И.В. Ященко.-М.: «Национальное образование», 2016.- 256с.

0