Задание 14. Вариант 23. ЕГЭ 2018 из 36 вариантов.

Задание 14. Вариант 23. ЕГЭ 2018 из 36 вариантов.

 В основании четырёхугольной пирамиды SABCD лежит прямоугольник ABCD со сторонами АВ = 4 и ВС = 3. Длины боковых рёбер пирамиды SA = √11 , SB = 3√3, SD = 2√5.

а) Докажите, что SA — высота пирамиды.

б) Найдите угол между прямой SC и плоскостью ASB.

Решение.

а) Доказательство. Рассмотрим треугольник SAB, у которого стороны  ,   и  . Значения этих сторон подчиняются выражению

,

следовательно, треугольник SAB прямоугольный с  .

Рассмотрим треугольник SAD со сторонами  ,  ,  . Длины сторон треугольника также подчиняются выражению

,

то есть он является прямоугольным и  .

Из перпендикулярности   и   следует, что   и, следовательно, SA – высота пирамиды.

б) Проекция SC на плоскость SAB будет прямая SB. Таким образом, нужно найти угол между прямыми SC и SB (см. рисунок), т.е. угол  .

Рассмотрим прямоугольный треугольник SCB. Тангенс угла   равен

и

.