Задание 24 ОГЭ. Окружности.

ЗАДАНИЕ 24 ОГЭ.

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ НА ВЫЧИСЛЕНИЕ.

ОКРУЖНОСТИ.

1. (311650) В треугольнике угол равен , а угол равен . Найдите радиус описанной около этого треугольника окружности.

Решение.

I способ. Проведём радиусы . По сумме углов треугольника:

. Этот угол является вписанным, а ему соответствующий центральный угол - . По свойству вписанного угла: «Вписанный угол равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу», . Значит, – прямоугольный. По теореме Пифагора:

.

II способ. (т.к. сумма углов треугольника равна ). Воспользуемся теоремой синусов: «Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов, причём, коэффициент пропорциональности равен диаметру описанной окружности», т.е.

Ответ:

1. (340853) Окружность с центром на стороне треугольника проходит через вершину и касается прямой в точке . Найдите диаметр окружности, если .

Решение.

I способ. – касательная к окружности, – секущая, . Воспользуемся свойством: «Произведение секущей на её внешнюю часть равна квадрату отрезка касательной», т.е.

. Тогда диаметр .

II способ. Не все помнят свойство касательной и секущей, поэтому приведём другой способ решения. Т.к. – касательная, то она перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания, т.е. . Из прямоугольного треугольника , где , по теореме Пифагора, . Так как , то

.

Значит, диаметр .

Ответ: .

1. (340879) Окружность, вписанная в треугольник , касается его сторон в точках и . Найдите углы треугольника , если углы треугольника равны и .

Решение. Пусть .

I способ.

Введём обозначения: .

Воспользуемся свойством касательных: «Отрезки касательных, проведённых из общей точки, равны», т.е. . Значит, – равнобедренные, следовательно,

. Найдём выражение этих углов через введённые обозначения, используя свойство углов треугольника.

Составим формулы для нахождения углов треугольника .

Составим систему уравнений, учитывая, что .

Значит, .

II способ. Угол между касательными иногда называют описанным углом. Известно свойство, что описанный угол равен полуразности дуг, на которые он опирается, т.е. . Также известно, что градусная мера центрального угла равна градусной мере дуги, на которую он опирается. Поэтому

. Значит,

.

Выполняя аналогичные рассуждения, определяем другие два угла треугольника .

, .

Так как углы треугольника – вписанные в окружность, то они равны половине соответствующих центральных углов, т.е.

Теперь можем найти искомые углы.

Ответ:

1. (339492) Окружность пересекает стороны и треугольника в точках и соответственно и проходит через вершины и . Найдите длину отрезка , если , а сторона в раза больше стороны .

Решение.

I способ. Стороны и являются секущими для окружности, поэтому, («Произведения длин отрезков секущих, проведённых из общей точки, равны»). Значит, .

Рассмотрим и .

по II признаку подобия треугольников. Значит,

II способ. Т.к. четырёхугольник – вписанный, то сумма его противоположных углов равна , т.е. . По свойству смежных углов

. Тогда, .

Рассмотрим и .

по I признаку подобия треугольников. Значит,

Ответ:

1. (359979) Отрезки и являются хордами окружности. Найдите длину хорды , если , а расстояние от центра окружности до хорд и равны соответственно и .

Решение.

Опустим перпендикуляры и на хорды и соответственно. Так как – радиусы, то треугольники и – равнобедренные. По свойству равнобедренного треугольника («В равнобедренном треугольнике высота, проведённая к основанию является биссектрисой и медианой»), .

Рассмотрим и

по признаку равенства прямоугольных треугольников (по катету и гипотенузе). Значит, .

Ответ: .

ЗАДАНИЯ

ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

1. (311651) В треугольнике угол равен , а угол равен . Найдите радиус описанной около этого треугольника окружности.

1. (339535) Окружность пересекает стороны и треугольника в точках и соответственно и проходит через вершины и . Найдите длину отрезка , если , а сторона в раза больше стороны .

1. (339676) Окружность пересекает стороны и треугольника в точках и соответственно и проходит через вершины и . Найдите длину отрезка , если , а сторона в раза больше стороны .

1. (339857) Окружность пересекает стороны и треугольника в точках и соответственно и проходит через вершины и . Найдите длину отрезка , если , а сторона в раза больше стороны .

1. (339913) Окружность пересекает стороны и треугольника в точках и соответственно и проходит через вершины и . Найдите длину отрезка , если , а сторона в раза больше стороны .

1. (339957) Окружность пересекает стороны и треугольника в точках и соответственно и проходит через вершины и . Найдите длину отрезка , если , а сторона в раза больше стороны .

1. (350422) Окружность пересекает стороны и треугольника в точках и соответственно и проходит через вершины и . Найдите длину отрезка , если , а сторона в раза больше стороны .

1. (350713) Окружность пересекает стороны и треугольника в точках и соответственно и проходит через вершины и . Найдите длину отрезка , если , а сторона в раза больше стороны .

1. (350889) Окружность пересекает стороны и треугольника в точках и соответственно и проходит через вершины и . Найдите длину отрезка , если , а сторона в раза меньше стороны .

1. (351596) Окружность пересекает стороны и треугольника в точках и соответственно и проходит через вершины и . Найдите длину отрезка , если , а сторона в раза меньше стороны .

1. (351668) Окружность пересекает стороны и треугольника в точках и соответственно и проходит через вершины и . Найдите длину отрезка , если , а сторона в раза больше стороны .

2. (351686) Окружность пересекает стороны и треугольника в точках и соответственно и проходит через вершины и . Найдите длину отрезка , если , а сторона в раза меньше стороны .

1. (351714) Окружность пересекает стороны и треугольника в точках и соответственно и проходит через вершины и . Найдите длину отрезка , если , а сторона в раза больше стороны .

1. (353588) Окружность пересекает стороны и треугольника в точках и соответственно и проходит через вершины и . Найдите длину отрезка , если , а сторона в раза меньше стороны .

1. (360042) Отрезки и являются хордами окружности. Найдите длину хорды , если , а расстояние от центра окружности до хорд и равны соответственно и .

ОТВЕТЫ

3