Задания по теме "Системы счисления"

Задание выполнила студентка 3 курса Таратина Екатерина.

Метод решения задания №10 ОГЭ

1. Что обозначают числа? Определенное количество чего-либо (например, количество яблок). Можно придумать какую угодно запись числа, обозначающее это количество, все зависит от фантазии человека: такую 5, такую V, или даже такую ♫.

Форма записи разная, но обозначают одно и то же количество. Так и с системами счисления: они разные, количество цифр (обозначений) в них разное, но они способны обозначить одно и тоже количество чего-либо (тех же яблок). Это как c языками: есть русский, польский, китайский, английский и один и тот же предмет (опят же, например, яблоко) будет обозначаться разными словами.

Чтобы нам понимать друг друга, надо знать на каком языке говорит человек, и обладать навыками перевода с одного языка на другой. Также и с системами счисления. Чтобы понимать о каком числе идет речь, надо знать какие цифры есть в системе счисления и понимать, что они обозначают, и какие правила составления чисел существуют.

2. Далее покажу системы счисления (двоичная, восьмеричная, десятеричная, шестнадцатеричная) сколько в каждой системе цифр, как составляются числа.

При записи числа в каждой системе счисления указывается основание для того, чтобы понимать с какой системой счисления мы работаем в данный момент (т.к. в повседневной жизни мы используем десятеричную систему счисления, например в магазинах, основание чисел не указываем).

Основание числа показывает сколько цифр (знаков) используется для обозначения чисел. В двоичной системе счислений только два числа (0 и 1), в троичной три (0, 1 и 2), в восьмеричной восемь (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 и 7), в десятеричной десять (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) в шестнадцатеричной шестнадцать (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, А, B, C, D, E, F) и т.д. В шестнадцатеричной системе счисления после 9 введено буквенное обозначение для того, чтобы не путать в записи числа одиннадцать и один-один, двенадцать и один-два и т.д.

Как формируется число.

Можно представить число в видео поезда, где основание системы счисления— это количество мест в вагоне. В двоичной системы счисления используется две цифры, соответственно мест в вагоне 2. Когда в вагоне заканчиваются места начинается заполняться следующий вагон слева.

0

0

1

1

Т.е., 0 яблоко в двоичной системе счисления это 0, одно яблоко это 1, два яблока (здесь у нас первый вагон занят переходим во второй вагон) 10 три яблока это 11, четыре (два вагона заняты, переходим в третий) 100 и т.д. Нумерация вагонов у нас начинается с 0— запомним это на будущее.

Наиболее распространенные системы счисления двоичная, восьмеричная, десятичная, шестнадцатеричная.

3. Для того чтобы сравнивать числа из разных систем счислений в задании ОГЭ №10 необходимо для начала определить к какой системе счисления относится каждое из чисел. Далее перевести каждое число в одну систему счисления. Переведем все числа в десятичную систему счисления, т.к. окончательный ответ необходимо записать в виде числа десятичной системы счисления. И после этого можно числа сравнивать или подвергать их другим манипуляциям.

4. Чтобы перевести число из одной системы счисления в десятеричную, необходимо понять, что обозначает каждый разряд числа.

Например, число 479 в нашей привычной системе счисления (в десятеричной) — это 479= 4*100 + 7*10 + 9*1=4*10² + 7*10¹+ 9*10º. Что мы видим? Что число можно представить в виде суммы цифр умноженных на разряды соответствующие позиции числа (100, 10, 1). А разряды— это количество цифр, используемых в нашей системе счисления (десятичной) в степени равной номеру нашего вагона (напомню, что нумерация вагонов начинается с 0).

Теперь— что такое 10. Это запись числа, когда в разряде единиц все цифры перебрали, и приходится «подключать» следующий разряд (разряд десятков) В каждой системе счисления 10 (один и нуль) равно основанию этой системы счисления. Т.е. 10₂=2₁₀, 10₃=3₁₀, 10₁₆=16₁₀ и т.д.

Поэтому запись числа из любой системе счисления мы можем перевести в запись числа в десятеричной системе счисления. Для этого разобьем число на разряды и представим число в виде суммы цифр умноженных на соответствующие разряды. Например, число 10110 в двоичной системе счисления равно 1*10⁴₂ + 0*10³₂ +1*10²₂ + 1*10¹₂ + 0*10º₂. Для перевода в десятичную систему счисления переведем разряды в десятичную системы счисления. 10110= 1*10⁴₂ + 0*10³₂ +1*10²₂ + 1*10¹₂ + 0*10º₂= 1*2⁴₁₀ + 0*2³₁₀ +1*2²₁₀+ 1*2¹₁₀ + 0*2º₁₀=22

Далее привести аналогичный пример с другими числами и системами счислений.

5. Для того, чтобы перевести число из десятеричной системы счисления в любую другую мы делим число на основание той системы, в которую хотим перевести. Например, число 234₁₀ в пятеричную систему счисления. Делим до тех пор, пока не получим частное равное нулю.

Когда мы делим число на основание системы счисления, то в остатке получаем младшую цифру. Каждый раз приписываем остаток от деления к уже имеющимся остаткам от предыдущего деления слева.

234:5= 46 (остаток 4) 46:5 =9 (остаток 1. Приписываем его к 4, т.е. 14) 9:5=1 (остаток 4. Приписываем к 14— 414) 1:5=0 (остаток 1. Приписываем его к 414, т.е. 1414).

Задания по теме "Системы счисления"

1. Ваш друг переехал в другую страну и пригласил погостить. Вы приехали в гости. Друг попросил сходить в строительный магазин и купить 50 кг цемента (в привычной для вам системе счисления— десятеричной) для благоустройства территории возле дома, а точнее для создания цветочных клумб. Вы видите мешки по 100 кг. Но вдруг оказывается, что в этой стране пользуются пятеричной системой счисления (0 1 2 3 4), т.е. мешки по 100₅ кг Сколько мешков цемента в итоге вам надо купить?

2. Ваня придумал разные пароли для всех своих устройств (телефона, планшета и компьютера), которые состоят из цифр. Чтобы их не забыть, он записал пароли в блокнот, предварительно переведя их в двоичную систему счисления для большей надежности. Он долгое время не пользовался планшетом, поэтому забыл пароль. В блокноте есть запись: пароль от планшета 111101111101010101. Какой пароль от планшета Ваня придумал изначально?

3. Даны три числа в разных системах счисления. Найдите максимальное число, минимальное число и запишите в ответ разность максимального и минимального чисел в десятеричной системе счисления. 11001₂ 23₈ 20₁₀