Действия с векторами, заданными координатами

Практическое занятие

Действия с векторами, заданными координатами.

1) Теоретический этап

Опорный конспект.

Координаты вектора.

Если даны две точки пространства A(x₁; y₁; z₁) и B(x₂; y₂; z₂), то вектор  имеет следующие координаты:

То есть, из координат конца вектора нужно вычесть соответствующие координаты начала вектора.

Длина отрезка (вектора).

Если дан вектор , то длину вектора  можно вычислить по формуле =

Действия над векторами

Пусть в пространстве заданы векторы , , , своими координатами. Имеют место следующие операции над ними: сложение, вычитание, умножение на число и проектирование вектора на ось или другой вектор; различные произведения векторов (скалярное, векторное, смешанное).

1) Сложение двух векторов производится поэлементно, то есть если = + , то в координатной форме записывается: =

2) Вычитание двух векторов производится поэлементно, аналогично сложению, то есть если = + , то в координатной форме записывается

3)  Умножение вектора на число k покоординатно: k · = .

При k  – вектор сонаправлен первоначальному;

При k 0  – вектор противоположно направлен первоначальному;

 – длина вектора увеличивается в k  раз;

   – длина вектора уменьшается в  k  раз.

2) Подготовительный этап

Перепишите и заполните пропуски:
Пример 1

Дано: A(2;1;4), B(3;0; 1), C(1; 2;0)

Найти: 2· + 3· 

Решение:

Находим координаты вектора : ,

Затем находим координаты вектора 2· : 2 ·

Находим координаты вектора : ,

Теперь находим аналогично координаты вектора 3· : 3·

Теперь находим сумму данных векторов, складывая соответствующие координаты:

2·

3·

______________________________

2· + 3· =

 Ответ: ...

Пример 2

Дано: , .

Найти:   

Решение:

Находим координаты вектора 2 , 2

Haходим координаты вектора 3 , 3

Затем находим сумму векторов

2

3

_______________________

:

Теперь находим длину вектора = = 

Ответ: ….

Пример 3

Дано:   и

Найти:

Решение: Для действий с векторами справедлив обычный алгебраический приоритет: сначала умножаем, потом складываем:

=  3 2 = =
= = .

Ответ:

Пример 4

Дано: и .

Найти: 

Решение: ( ) , ( ) .

Ответ: ( + )

Пример 5

Дано: ,

Найти:

Решение: , , ,

, .

Ответ:

3) Практический этап

1. Дано: А(2; –1;6)_, В (2;0; –1), С(1; – 5; 0). Найти: 2· + 3·  

2. Дано: , . Найти:

3. Даны векторы   и . Найти :

4. Найдите сумму векторов: и .

5. Даны векторы , , . Найдите координаты векторов