Деление многочленов столбиком

Деление многочленов

Деление многочленов «столбиком»

Многочлен Р(х) делится на многочлен Q(х)≠0, если Р(х)=Q(x)·M(x), где М(х) – некоторый многочлен, т.е. разделить многочлен P(x) на многочлен Q(x) – это значит найти многочлен M(x). Существуют различные способы решения этой задачи.  

Деление многочленов столбиком  — это алгоритм деления многочлена P(x) на многочлен Q(x), степень которого меньше или равна степени многочлена P(x).

Алгоритм представляет собой обобщенную форму деления чисел столбиком. Для любых многочленов P(x) и Q(x),существуют единственные полиномы M(x) и R(x),такие что P(x)=Q(x)·M(x)+R(x), причем R(x) имеет более низкую степень, чем Q(x).

Пример : Разделить уголком многочлен P(x)=++15x на многочлен Q(x)=2x+3.

1.Расположить делимое и делитель в убывающих степенях х, т.е. привести к стандартному виду:

2.Разделить старший член делимого на старший член делителя; затем полученный одночлен сделать первым членом частного.

3.Первый член частного умножить на делитель, результат вычесть из делимого; полученная в результате разница является первым остатком.

4.Чтобы получить следующий член частного, нужно с первым остатком поступить так, как поступали с делимым и делителем в пунктах 2 и 3.

5.Это следует продолжать до тех пор, пока не будет получен остаток, равный нулю или остаток, степень которого меньше степени делителя.

Разделить уголком многочлен P( x ) = 10 x 2  7 х  12 на Q( x ) = 5 х +4

5 х +4

10 x 2  7 х  12

ДЕЛИМОЕ

ДЕЛИТЕЛЬ



10 x 2 +8 х

2 х  3

 15 х  12

ЧАСТНОЕ

ПЕРВЫЙ ОСТАТОК



 15 х  12

0

ОСТАТОК

Остаток равен нулю, поэтому многочлен P(x) делиться на многочлен Q(x)

При делении остаток может быть и не нулевым.

Пример 2 (деление “столбиком” с остатком ):

Разделить многочлен P(x) = ++3x+4 на многочлен Q(x)= x-1.

Пример 1 : Разделить многочлен P( x ) = 3 x 4 + 2 x 2 – 1 на многочлен Q( x ) = x 2 + x .

3 x 4 + 2 x 2 – 1

x 2 + x



3 x 4 + 3 x 3

3 x 2 – 3 х + 5

– 3 x 3 + 2 х 2 – 1



– 3 x 3 – 3 x 2

5 x 2 – 1



5 x 2 + 5 x

– 5 x – 1

Степень остатка – 5 x – 1 меньше степени делителя x 2 + x, деление закончено.

Ответ: 3 x 2 – 3 х + 5  частное, – 5 x – 1  остаток.

1 делят на многочлен Q(x) степени k  1,k  n то справедливо равенство: P( x ) = M( x )  Q( x ) + R( x ) где M( x ) – частное, степень которого m = n – k , R( x ) – остаток , степень которого l " width="640"

Формула деления многочленов с остатком

Если многочлен P(x) степени n 1 делят на многочлен Q(x) степени k  1,k  n то справедливо равенство:

P( x ) = M( x )  Q( x ) + R( x )

где M( x ) – частное, степень которого m = n – k , R( x ) – остаток , степень которого l

Чтобы разделить многочлен P(x) на многочлен Q(x) нужно:

• Расположить делимое и делитель по убывающим степеням х ;

2. Разделить старший член делимого на старший член делителя; полученный одночлен сделать первым членом частного;

3. Первый член частного умножить на делитель; результат вычесть из делимого; полученная разность является первым остатком;

4. Чтобы получить следующий член частного, нужно с первым остатком поступить так, как поступали с делимым и делителем в пунктах 2 и 3.



Пример 2 : Разделить многочлен 3 х + 4 x 4 + 1 – 15 х 3 + 2 х 5 – 9 x 2 на многочлен 2 x 2  х 3

2 х 5 + 4 x 4 – 15 х 3 – 9 x 2 + 3 х + 1

 х 3 + 2 x 2



2 х 5 – 4 x 4

– 2 х 2 – 8 х – 1

– 8 x 4 – 15 х 3 – 9 x 2 + 3 х + 1



8 x 4 – 16 х 3 – 9 x 2 + 3 х + 1

– х 3 – 9 x 2 + 3 х + 1



– х 3 – 2 x 2

– 7 x 2 + 3 х + 1

Ответ: – 2 х 2 – 8 х – 1  частное, – 7 x 2 + 3 х + 1  остаток.

Найдите частное:

• ( x 2 +3 х  4):( х + 4)
• ( x 2  7 х + 10):( х  5)
• (6 x 3 +7 х 2  6 х + 1):(3 х  1)
• (4 x 3  5 х 2 + 6 х + 9):(4 х + 3)
• (15 x 3  х 2 + 8 х  4):(3 х 2 + х + 2)
• (9 х 4  9 x 3  х 2 + 3 х  2):(3 х 2  2х + 1)