Делимость натуральных чисел

Делимость натуральных чисел - определение и вычисление с примерами решения

Содержание:

1. Делимость натуральных чисел

   1. Делители и кратные натурального числа. простые числа

   2. Признаки делимости на 2, 10, 5

      1. Признак делимости на 2

      2. Признак делимости на 10

      3. Признак делимости на 5

   3. Признаки делимости на 9, 3

      1. Признак делимости на 9

      2. Признак делимости на 3

   4. Разложение чисел на множители. Наибольший общий делитель

      1. Правило нахождения НОД

   5. Наименьшее общее кратное

      1. Правило находжения НОК

2. Делимость натуральных чисел

   1. Деление и делители числа

      1. Пример №1

      2. Пример №2

   2. Признаки делимости на 10, 5 и 2

      1. Пример №3

      2. Пример №4

      3. Пример №5

   3. Признаки делимости на 3 и 9

      1. Пример №6

      2. Пример №7

   4. Разложение чисел на простые множители

      1. Пример №8

      2. Пример №9

      3. Пример №10

      4. Пример №11

      5. Пример №12

   5. Наибольший общий делитель

      1. Пример №13

      2. Пример №14

   6. Наименьшее общее кратное

      1. Пример №15

      2. Пример №16

Делимость натуральных чисел Делители и кратные натурального числа. простые числа

Посмотрите на рисунок 1. Вы видите, что 6 яблок разделили на 2 кучки по 3 яблока в каждой. Тут число 6 является делимым, число 2 — делителем, а число 3 — частным. Однако 6 яблок можно разделить и иначе — разложить их на 3 кучки по 2 яблока в каждой. Тогда для делимого 6 число 3 является делителем, а число 2 — частным. Это значит, что числа 2 и 3 являются делителями числа 6. В то же время число 6 является кратным для каждого из своих делителей — и для числа 2, и для числа 3. Делители и кратные являются натуральными числами.

Определение:

Делителем числа называется такое число, на которое делится данное число.

Kpaтным числа называется такое число, которое делится на данное число.

Пример:

Есть ли другие делители у числа 6? Да. Число 6 делится ещё на 1 и само на себя. Значит, всего у числа 6 есть четыре делителя: 1; 2;3;6.

Обратите внимание:

каждое натуральное число, начиная с числа 2. имеет по меньшей мере два делителя — число 1 и само это число. Другие делители находят по специальным правилам.

Пример:

Найдите все делители числа: 1) 7; 2) 12; 3)25.

Решение:

1) У числа 7 есть по меньшей мере два делителя — 1 и 7. Ни на одно другое натуральное число 7 не делится, поэтому у него всего два делителя: 1 и 7.

2) Число 12 имеет по меньшей мере два делителя — 1 и 2. Далее последовательно проверяем делимость числа 12 на натуральные числа от 2 до 11.

3) У числа 25 есть как минимум два делителя: 1 и 25 На 2, 3 и 4, а также на числа от 6 до 24 это число не делится.  , поэтому число 5 является делителем числа 25, причём дважды. Однако равные делители учитываются только один раз. Значит, у числа 25 не четыре, а три делителя: 1; 5; 25.

Запомните: Натуральное число, у которого есть только два делителя (1 и само число), называется простым. Натуральное число, у которого больше двух делителей, называется составным.

Например, 7 — простое число, а 12 и 25 — составные.

Пример:

Является ли 1 простым числом? А составным? Нет, поскольку у числа 1 только один делитель. Значит, число 1 особенное. Оно и не простое, и не составное.

Обратите внимание:

наименьшим простым числом является число 2.

Чтобы выписать некоторое количество простых чисел, можно воспользоваться способом, придуманным ещё в III в до н.э. Эратосфеном Киренским (27бг. до н. э. — 194 г. до н. э ). греческим математиком, астрономом, географом и поэтом. В честь учёного этот способ называется «решето Эратосфена». На рисунке (с. 4) вы видите, как находили простые числа от 2 до 50. Попробуйте самостоятельно объяснить, как это делали.

Признаки делимости на 2, 10, 5

Запишем натуральный ряд чисел:

1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11; 12...

Умножим каждое число на 2. Получили ряд чисел, кратных числу 2:

2; 4; 6; 8; 10; 12; 14; 16; 18; 20; 22; 24...

Такие числа называют чётными. Их можно задать формулой:

, где   — некоторое натуральное число. Цифры О, 2, 4, 6, 8 считают чётными цифрами.

В натуральном ряде чётные числа чередуются с нечётными числами — они не делятся на 2. Например, числа 3, 5, 11 — нечётные. Их также можно задать формулой:

, где   — некоторое натуральное число. Цифры 1, 3, 5, 7, 9 считают нечётными цифрами.

Пример:

Как выяснить, является ли чётным данное число? Для этого пользуются признаком делимости на 2.

Признак делимости на 2

На 2 делятся те и только те числа, запись которых заканчивается чётной цифрой.

Например, запись числа 538 заканчивается цифрой 8, которая является чётной, поэтому число 538 делится на 2. Действительно,  . А вот запись числа 537 закапывается нечётной цифрой 7, поэтому данное число не делится на 2.

Опираясь на натуральный ряд чисел, запишем ряд чисел, кратных числу 10:

Как видим, запись каждого числа этого ряда заканчивается цифрой 0. Именно в этом и состоит признак делимости на 10.

Признак делимости на 10

На 10 делятся те и только те числа, запись которых заканчивается цифрой 0.

Например, число 1000 делится на 10, а число 1001 не делится.

Пример:

Можно ли считать признак делимости на 10 признаком делимости на 5? Нет, так как существуют числа, которые делятся на 5, но не делятся на 10. Например, число 2055.

Опираясь на натуральный ряд чисел, запишем ряд чисел, кратных числу 5:

Как видим, запись каждого числа этого ряда заканчивается либо цифрой 5, либо цифрой 0. Именно в этом и состоит признак делимости на 5.

Признак делимости на 5

На 5 делятся те и только те числа, запись которых заканчивается либо цифрой 5, либо цифрой 0.

Например, число 85 делится на 5, а число 86 - не делится.

Пример:

Найдите все нечётные числа от 10 до 40, которые делятся на 5.

Решение:

Способ 1. Сначала выберем все нечётные числа от 10 до 40:

.

Применив к этим числам признак делимости на 5, получим искомые числа:  .

Способ 2. Искомые числа — нечётные и делятся на 5. Поэтому : среди них не должно быть чисел, запись которых заканчивается цифрой 0. поскольку такие числа — чётные. Итак, среди чисел от : 10 до 40 достаточно выбрать числа, запись которых заканчивается только цифрой 5. Отсюда искомым и будут числа:  .

Обратите внимание:

среди чисел, делящихся на 5. чётные числа делятся и на 10. а нечётные — нет.

Признак делимости на 4. Число делится на 4 тогда и только тогда, когда на 4 делится число, образованное двумя последними цифрами данного числа. Например, число 3436 делится на 4, поскольку число 36 делится на 4.

Признак делимости на 8. Число делится на 8 тогда и только тогда, когда на 8 делится число, образованное тремя последними цифрами данного числа. Например, число 29176 делится на 8, поскольку число 176 делится на 8.

Признак делимости на 25. Число делится на 25 тогда и только тогда, когда на 25 делится число, образованное двумя последними цифрами данного числа Например, число 6575 делится на 25, поскольку число 75 делится на 25.

Признак делимости на 125. Число делится на 125 тогда и только тогда, когда на 125 делится число, образованное тремя последними цифрами данного числа. Например, число 36 375 делится на 125, поскольку число 375 делится на 125.

Признаки делимости на 9, 3

Запишем ряд чисел, кратных числу 9:

.

Как видим, признак делимости на 9 не связан с последней цифрой в записи числа. Он связан с сумой цифр в этой записи. Позже вы сможете это обосновать.

Признак делимости на 9

На 9 делятся те и только те числа, сумма цифр которых делится на 9.

Например, число 1476 делится на 9, поскольку  , а число 18 делится на 9. Число 1239 не делится на 9, поскольку  , а число 15 не делится на 9.

Пример:

Как выяснить, делится ли число на 3? Для этого пользуются признаком делимости на 3.

Признак делимости на 3

На 3 делятся те и только те числа, сумма цифр которых делится на 3.

Например, в числе 237 сумма цифр равна:  . Число 12 делится на 3, поэтому и число 237 делится на 3. Действительно,  .

Пример:

Можно ли считать, что числа, которые делятся на 9, делятся и на 3? Да. Поскольку сумма цифр чисел, кратных числу 9, делится на 9, то она делится и на 3. Однако обратное утверждение не будет верным: числа, которые делятся на 3, не всегда делятся на 9. Например, числа 12, 33, 213 делятся на 3, но не делятся на 9.

Пример:

Найдите все трёхзначные числа, которые содержат цифры 5 и 1 и делятся на 9.

Решение:

Обозначим неизвестную цифру звездочкой. Сумма цифр искомого числа равна:  . Эта сумма должна делиться на 9, поэтому вместо звёздочки можно подставить только цифру 3. А далее из цифр 1, 3, 5 составляем все возможные трёхзначные числа: 135; 153; 315; 351; 513; 531.

У вас мог возникнуть вопрос: «Как объяснить, почему сумма цифр в записи числа может показывать, делится ли число на 9?» Разберёмся на примерах.

Числа 99 и 999 делятся на 9, а числа 100 и 1000 на 9 не делятся. Представим эти числа в виде сумм:

Проанализируем полученные суммы. В столбике слева каждое слагаемое суммы делится на 9, а в столбике справа — нет. Вообще, если каждое слагаемое делится на данное число, то их сумма делится на данное число; если одно из слагаемых не делится на данное число, а сумма всех остальных слагаемых делится на данное число, то сумма не делится на данное число. Запишем число 351 в виде суммы разрядных слагаемых и преобразуем её:

В полученной сумме каждое слагаемое делится на 9, поэтому число 351 делится на 9. Как видим, результат зависит от последнего слагаемого, которое получили как сумму:  . Эта сумма — не что иное, как сумма цифр данного числа.

Разложение чисел на множители. Наибольший общий делитель

Вы знаете, что каждое натуральное число, большее 1, имеет несколько делителей, поэтому его можно представить в виде произведения своих делителей. Например:  , или  , или  . О таких равенствах говорят, что данное число разложили на множители, а само равенство называют разложением числа на множители.

Число 5 — простое. Его можно разложить на множители только одним способом. Числа 6 и 18 — составные. Для них существует два и более разложений на множители. Однако эти разложения отличаются. В разложении   оба множителя являются простыми числами, а в разложении   первый множитель — простое число, а второй — составное, и его тоже можно разложить на множители:  . А уже в этом разложении все множители являются простыми числами.

Определение:

Разложение числа на множители, в котором все множители — простые числа, называется разложением числа на простые множители.

Пример:

Является ли разложением на простые множители равенство  ? Нет. В этом разложении один из множителей не является простым. Это число 1. Однако будем считать, что для любого простого числа также можно записать разложение на простые множители. Для этого достаточно записать в разложении само это число. Например, для данного простого числа 5 получим такое разложение:  .

Пример:

Разложите на простые множители число 210.

Решение:

С помощью разложения числа на простые множители ищут общие делители двух чисел. Например, у чисел 12 и 30 есть два простых общих делителя — числа 2 и 3. Но числа 12 и 30 делятся и на число 6, то есть на произведение своих общих делителей. Число 6 — наибольшее число, на которое одновременно делится и число 12, и число 30. Такое число называют наибольшим общим делителем двух чисел 12 и 30.

 Записывают: НОД   и говорят: «Наибольшим общим делителем чисел 12 и 30 является число 6».

Пример:

Найдите НОД чисел 18 и 45.

Решение:

Определение:

Наибольшим общим делителем двух чисел называется наибольшее число, на которое делится каждое из данных чисел.

Правило нахождения НОД

Чтобы найти НОД двух чисел:

1) разложите данные числа на простые множители;

2) найдите произведение общих делителей данных чисел.

Пример:

Можно ли найти НОД двух чисел, не имеющих общих делителей, кроме числа 1? Да. Но НОД таких чисел равен 1.

Два числа, НОД которых равен 1, называют взаимно простыми. Например,  . Значит, числа 8 и 21 — взаимно простые. Два разных простых числа также являются взаимно простыми. Например,  , поэтому простые числа 7 и 13 являются взаимно простыми.

Пример:

Можно ли найти НОД нескольких чисел? Да. Для этого выполняют те же действия, что и в задаче 3, но для нескольких чисел. Например, найдём  . Имеем:  ,  ,  . Следовательно,  .

Интересный способ нахождения НОД двух чисел описал Евклид (около 365 - 300 лет до н. э.) в своей книге «Начала». В честь учёного этот способ называется «алгоритмом Евклида». Пусть нужно найти НОД двух чисел   и  , где  . Из данных чисел образуем пары:   и   и   и  . Заметим, что НОД для каждой пары один и тот же:  . Число   обозначим как  . Из чисел   и   снова берём большее, пусть это будет число  . Вычтем из большего числа меньшее:  . Тогда имеем:  . Повторяем эту цепочку рассуждений, пока не получим пару одинаковых чисел  . Число   и есть НОД чисел   и  .

Например, 

Наименьшее общее кратное

Найдём кратные числа 4. Для этого достаточно умножить число 4 на числа натурального ряда:

Аналогично найдём кратные числа 6:

Среди кратных числа 4 и числа 6 есть такие числа, которые делятся на оба данных числа:

Эти числа являются общими кратными чисел 4 и 6. Наименьшим среди них является число 12. Это — наименьшее общее кратное двух чисел 4 и 6.

Записывают:   и говорят: «Наименьшим общим кратным чисел 4 и 6 является число 12».

Определение:

Наименьшим общим кратным двух чисел называется наименьшее число, которое делится на каждое из данных чисел.

Общие кратные нескольких чисел можно находить при помощи разложений данных чисел на простые множители.

Пример:

Найдите НОК чисел 18 и 45.

Решение:

Правило находжения НОК

Чтобы найти НОК двух чисел:

1. разложите данные числа на простые множители;

2. запишите разложение одного из данных чисел;

3. допишите к этому разложению такие множители из разложения другого числа, которые ещё не вошли в произведение;

4. вычислите полученное произведение.

Пример:

Как найти НОК двух взаимно простых чисел? Нескольких чисел?

Поскольку у взаимно простых чисел нет других общих делителей, кроме 1, то НОК взаимно простых чисел равно их произведению. Например, 

НОК нескольких чисел находят так же, как и двух чисел. Например, найдём  . Имеем:  . 

Оказывается, между НОК и НОД чисел   и   существует связь:

Например, для чисел 54 и 48 получим:

.

Отсюда  . А теперь воспользуемся формулой. Имеем:

.

--------

Делимость натуральных чисел

В этом разделе рассматриваются важнейшие сведения из теории чисел. Это очень древняя и интересная математическая наука, которая исследует свойства натуральных чисел, связанные с их делением. Кратко основное содержание раздела выглядит так.

• Деление и делители числа.

• Признаки делимости на 10, 5 и 2.

• Признаки делимости на 3 и 9.

• Разложение чисел на простые множители.

• Наибольший общий делитель.

• Наименьшее общее кратное.

Эти темы часто используются в последующих разделах математики. В частности, без их знания невозможно успешно изучать обыкновенные дроби. Поэтому раздел 1 учебника можно считать введением к разделу 2.

Деление и делители числа

Складывать и умножать можно любые числа. Вычитание возможно лишь тогда, когда вычитаемое не больше уменьшаемого. Сложнее с делением. Деление - это действие, обратное умножению.

20 : 4 = 5, потому что 5*4 = 20.

Разделить одно число на другое — значит найти такое третье число, которое при умножении на второе дает первое число. То есть, если   то 

Вы уже знаете, что иногда при делении одного числа на другое получают неполное частное и остаток. Вы также знаете, что делить можно и дробные числа. В этом разделе мы будем рассматривать деление только натуральных чисел, причем без остатка.

Например, число 21 делится на 7. Говорят, что число 7 является делителем числа 21. Делителями числа 21 являются также числа 1, 3 и 21. Никакое другое число не является делителем числа 21.

Если   делится на   то число   называют делителем числа 

Например, число 22 имеет четыре делителя: 1,2,11 и 22;

• число 9 имеет три делителя: 1, 3 и 9;

• число 7 имеет два делителя: 1 и 7.

Число, которое имеет только два делителя, называется простым числом. Можно сказать и так. Число, которое делится только на 1 и само на себя, называется простым.

Простыми являются числа 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, ... . Простых чисел существует бесконечно много. Таблица простых чисел, меньших 1000, представлена на форзаце учебника.

Число, имеющее больше двух делителей, называется составным.

Простое 7 = 1-7.

Составное 14=1-2-7.

1 — не простое и не составное.

Составными, например, являются числа 4, (5, 8, 9, 10, 12, 14. Составных чисел также бесконечно много.

Число 1 имеет только один делитель: 1. Его не принято называть ни простым, ни составным числом.

В зависимости от количества делителей все натуральные числа делятся на три класса: простые числа, составные числа, число 1.

Если простые числа записать в порядке их возрастания, то образуется последовательность простых чисел:

2,3, 5, 7, 11, 13, 17.....

Последовательность простых чисел имеет много интересных свойств и тайн. Например, еще ученые Древней Греции заметили, что среди простых чисел много таких, разность которых равна 2, например: 3 и 5, 5 и 7, 11 и 13, 17 и 10 и т. д. Такие пары чисел называются простыми числами близнецами.

Уже более 25 веков математики пытаются выяснить, существуют ли наибольшие числа-близнецы, но и до сих пор ответа на этот вопрос мы не знаем.

Существует также много других проблем (еще не решенных задач), связанных с простыми числами.

Выполнение заданий:

Пример №1

Проверьте, является ли число 7 делителем числа 63. А числа 67?

Решение:

63 : 7 = 9, поэтому число 7 - делитель 63.

67:7 = 9 (остаток 4), поэтому 7 - не делитель числа 67.

Пример №2

Найдите наибольший делитель и наибольший простой делитель числа 20.

Решение:

Делителями числа 20 являются 1, 2, 4, 5, 10, 20. Наибольший из них - 20, наибольший простой делитель - 5.

Признаки делимости на 10, 5 и 2

Как узнать, делится ли то или иное число на 10? Очень легко. Нужно лишь посмотреть на его последнюю цифру. Если она 0, то данное число делится на 10. Если же последняя цифра не 0, то это число на 10 не делится. Два последние предложения можно заменить одним, которое называется признаком делимости чисел на 10.

На 10 делятся все те и только те числа, которые оканчиваются цифрой 0.

Используя этот признак, можно сразу (не выполняя деления) сказать, что числа 130, 3700, 4080 делятся на 10, а числа 83, 305, 1001 на 10 не делятся.

Признак делимости на 5 можно сформулировать так.

На 5 делятся все те и только те числа, которые оканчиваются цифрой 5 или 0.

Например, каждое из чисел 95, 375, 70, 4900 делится на 5, а каждою из чисел 37, 559, 5008 на 5 не делится. Убедитесь в этом, разделив каждое из этих чисел на 5.

На 2 делится каждое натуральное число, которое оканчивается цифрой 0, 2, 4, 6 или 8. Эти цифры называют четными. Поэтому признак делимости на 2 можно сформулировать так.

На 2 делятся все те и только те числа, которые оканчиваются четной цифрой.

Примеры чисел, которые делятся на 2:

0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 376, 11 108.

Числа, которые делятся на 2, называются четными.

Цифры 1, 3, 5, 7, 9 называются нечетными. Каждое натуральное число, которое оканчивается нечетной цифрой, - нечетное. Нечетное число не делится на 2. В зависимости отделимости на 2 все натуральные числа можно разбить на два класса: четные и нечетные числа.

11а координатном луче за каждым четным числом следует нечетное, а за каждым нечетным - четное (рис. 2).

Выполнение заданий:

Пример №3

Найдите наибольшее четное трехзначное число.

Решение:

Наибольшее трехзначное число 999 - нечетное. Ему предшествует четное число 998. Следовательно, наибольшее четное трехзначное число 998.

Пример №4

Сколько существует нечетных чисел, которые больше 90 и меньше 100?

Решение:

Такими являются числа 91,93, 95, 97 и 99. Их всего 5.

Пример №5

Докажите, что сумма двух нечетных чисел - число четное.

Решение:

Если числа   и   нечетные, то   и  , где   и  - некоторые натуральные числа.

Тогда  , а это число четное.

Признаки делимости на 3 и 9

Чтобы узнать, делится число на 3 или нет, находят его сумму цифр. Например, сумма цифр числа 21 204 равна 9, поскольку  . Оказывается, что если сумма цифр числа делится на 3, то и само число делится на 3. Если же сумма цифр числа на 3 не делится, то и число на 3 не делится. Это признак делимости на 3.

На 3 делятся все те и только те числа, сумма цифр которых делится на 3.

Примеры: Сумма цифр числа 31 104 равна 9, а 9 делится на 3, поэтому и число 31 104 делится на 3. Сумма цифр числа 5051 равна 11, она не делится на 3. Поэтому и число 5051 па 3 не делится. Проверьте!

Аналогично формулируется и признак делимости на 9.

На 9 делятся все те и только те числа, сумма цифр которых делится на 9.

Примеры: Число 5742 делится на 9, поскольку сумма его цифр 5 + 7 + 4 + 2 = 18, а 18 делится на 9. А число 5051 на 9 не делится, так как его сумма цифр 5 + 0 + 5+1 = 11, а 11 на 9 не делится.

Каждое число, которое делится на 9, называется кратным числа 9. Каждое число, которое делится на 3, называется кратным числа 3.

Вообще, если одно число делится на другое, то первое называется кратным другого.

3, 6, 9, 12, 15, 18, ... - последовательность натуральных чисел, кратных 3. Таких чисел бесконечно много. Наименьшее из них число 3, наибольшего не существует.

Говорят: «кратное трех», но «кратно трем».

Если число   делится на   то   Тогда и   Здесь все буквы обозначают натуральные числа. Итак, если один из множителей делится на какое-то число, то и произведение этих множителей делится на это же число.

Если каждое из чисел   и   делится на   то   и   Поэтому   Число   натуральное, тогда число   также делится на   Следовательно, если каждое из двух слагаемых делится на какое-то число, то и их сумма делится па это число.

О признаках делимости на 4,6, 7,11,13 читайте на с. 37.

• Заказать решение задач по высшей математике

Выполнение заданий:

Пример №6

Какое утверждение верно:

а) если число делится на 9, то оно делится и на 3.

б) если число делится на 3, то оно делится и на 9?

Решение:

Если число делится на 9, то сумма его цифр делится на 9. Эта сумма делится и на 3. Поэтому первое утверждение верно.

Второе утверждение неверно. Например, 30 делится на 3, но не делится на 9.

Пример №7

Запишите наибольшее четырехзначное число, которое кратно 3, но не кратно 9.

Решение:

Наибольшее четырехзначное число 9999. Оно делится и на 9, и на 3. Если это число уменьшить на 3, то получим число 9996. Оно кратно 3, но не кратно 9.

Разложение чисел на простые множители

Какие простые числа нужно умножить, чтобы получить 15? Нетрудно догадаться, что такими числами являются 3 и 5. Следовательно, 15 = 3 • 5. Такое представление числа 15 называется его разложением на простые множители.

Другие примеры:

30 = 2 • 3 • 5; 45 = 3 • 3 • 5; 88 = 2 • 2 • 2 • 11.

Каждое составное число можно разложить на два или больше простых множителей.

Как это делать покажем на примере. Пусть нужно разложить па простые множители число 104. Пишем это число, и справа от него проводим вертикальную черту. По признаку делимости определяем, что число 104 делится на 2 - наименьшее простое число. За чертой пишем число 2, а 52 - частное отделения 104 на 2 - записываем под числом 104. То же самое делаем с частным 52 и новым частным 26. Разделив 26 на его наименьший делитель 2, получим простое число 13. Его пишем тоже справа от черты. 13 делится на 13. Частное равно 1. На этом процесс определения простых множителей числа 104 завершен. Все они записаны справа от черты. Итак, 104 = 2 • 2 • 2 • 13. Это и есть разложение числа 104 на простые множители.

В отдельных случаях разложение числа на простые множители можно упростить. Например, число 9000 на простые множители можно разложить так:

Число 9000 раскладывается на восемь простых множителей. Каждый из них является делителем числа 9000. Вообще, каждый из множителей, на какие раскладывается число а, является делителем этого числа.

Разных простых делителей число 9000 имеет три: 2, 3 и 5. А разных натуральных делителей это число имеет очень много: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15, 4500, 9000.

Как вы уже знаете, произведение   называют квадратом числа   а произведение   - кубом числа   и обозначают   и   соответственно.

Аналогично, 

Такие произведения равных чисел называют соответственно четвертой, пятой, шестой степенью числа 

 Произведение   чисел, каждое из которых равно  , называют   степенью числа   и обозначают символом  . Здесь   - степень,   - основание степени,  показатель степени.

Используя понятие степени, разложение числа на простые множители можно записать короче:

Разложить на простые множители числа, которые делятся на 2, 3, 5, 9, 10, сравнительно несложно. В иных случаях это бывает сделать сложно. Попытайтесь, например, разложить на простые множители число 323. Специалисты, которым часто приходиться заниматься разложением чисел на множители, пользуются специальными таблицами. Часть такой таблицы (для небольших чисел, которые не делятся на 2, 3, 5) представлена на форзаце учебника. Пользуясь этой таблицей, можно сразу записать: 323 = 17 • 19.

Выполнение заданий:

Пример №8

Можно ли разложить на простые множители число 1?

Решение:

Нет, нельзя. Каждое простое число больше 1. А произведение чисел, каждое из которых больше 1, не может равняться 1.

Пример №9

Можно ли равенство 17=1 • 17 считать разложением числа на простые множители?

Решение:

Нельзя. Хотя в произведении 1 • 17 каждое число множитель, но первое из них - число не простое.

Пример №10

Разложите на простые множители число 600.

Решение:

Пример №11

Разложите на простые множители число 266.

Решение:

Число 266 делится на 2, поэтому 266 = 2 • 133. Число 133 не делится ни на какое из чисел 2, 3, 5. Его нет и в таблице простых чисел. Ищем его в таблице разложения чисел на простые множители: 133 = 7 • 19. Следовательно, 266 = 2 • 7 • 19.

Пример №12

Какое наименьшее трехзначное число можно разложить на два одинаковых простых множителя?

Решение:

7 • 7 = 49 - число не трехзначное, 11 • 11 = 121 - трехзначное. Значит искомое число равно 121.

Наибольший общий делитель

Часто возникает необходимость находить общие делители двух или нескольких чисел. Попытаемся найти, например, общие делители чисел 30 и 45.

30 делится на: 1 , 2, 3 , 5 , 6, 10, 15 , 30;

45 делится на: 1 , 3 , 5 , 9, 15 , 45.

Числа 30 и 45 имеют четыре общих делителя: 1, 3, 5 и 15. Наибольшее из этих четырех чисел 15. Это - наибольший общий делитель чисел 30 и 45.

Наибольшим общим делителем (ПОД) нескольких чисел называется наибольшее число, на которое делится каждое из данных чисел.

Найдем, например, НОД (72, 84, 90). Разложим каждое из этих чисел на простые множители: 

Числа 72, 84, 90 имеют два общих простых делителя: 2 и 3. Умножив их, получим:

НОД (72, 84, 90) = 2 • 3 = 6.

Чтобы найти наибольший общий делитель нескольких чисел, необходимо разложить их на простые множители и умножить все их общие множители.

Найдем НОД (65, 32). Поскольку

65 = 5 • 13, 32 = 2 • 2 • 2 • 2 • 2,

то числа 65 и 32 имеют только один общий делитель - число 1. Поэтому НОД (65, 32) = 1.

Два числа, наибольший общий делитель которых равен 1, называются взаимно простыми. Числа 65 и 32 взаимно простыми.

Замечание. Не путайте взаимно простые числа с простыми. Некоторое число может быть простым, но не взаимно простым. (Взаимно - значит с каким-то другим.) Взаимно простыми могут быть и составные числа.

Взаимно простыми могут быть не только два числа, но и три, и больше. Например, числа 8, 9 и 25 - взаимно простые. Эти три числа не только взаимно простые, но и попарно взаимно простые, поскольку каждые два из них -числа взаимно простые. А вот числа 6, 8 и 9 - взаимно простые, но не попарно взаимно простые, поскольку НОД (6, 8) = 2, НОД (6, 9) = 3.

Выполнение заданий:

Пример №13

Найдите НОД (72, 156).

Решение:

В разложениях чисел 72 и 156 на простые множители общими являются такие простые множители: 2, 2 и 3.

Поэтому 

Пример №14

Какое наибольшее количество одинаковых букетов можно составить из 6 васильков и 9 ромашек?

Решение:

Необходимо найти наибольшее число, на которое делится 6 и 9, то есть наибольший общий делитель этих чисел. НОД (6, 9) = 3. Следовательно, можно составить 3 букета (рис. 6)

Наименьшее общее кратное

Запишем несколько натуральных чисел, которые делятся на 8: 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, 64, ... .

Каждое из этих чисел кратно 8. Любое число, которое делится на  , называется кратным числа  . Напомним, что речь идет только о натуральных числах и о делении без остатка.

Числа, кратные 6,-это: 6, 12 , 18, 24 , 30, 36 , 42, 48.....

Числа, кратные 4, - это: 4,8, 12, 16, 20, 24 , 28, 32, 36 , ... .

Общими кратными чисел 4 и 6 являются: 12, 24, 36 и много других чисел. Наибольшего общего кратного числа 6 и 4 не имеют. А наименьшее существует.

Наименьшим общим кратным (НОК) нескольких чисел называется такое наименьшее натуральное число, которое делится на каждое данное число. НОК (4, 6) = 12.

Наименьшее общее кратное двух чисел можно найти, разложив эти числа на простые множители. Найдем, например, НОК (72, 90). Для этого разложим числа 72 и 90 на простые множители. Их НОК должно содержать все простые множители числа 72 и все простые множители числа 90. Следовательно, 35 чтобы найти НОК (72, 90), необходимо простые множители числа 72 дополнить такими простыми множителями числа 90, которых нет в разложении числа 72. В данном случае к произведению 2 • 2 • 2 • 3 • 3 надо дописать множитель 5. Имеем: НОК (72, 90) = 2 • 2 • 2 • 3 • 3 • 5 = 72 • 5 = 360.

Наименьшее общее кратное двух взаимно простых чисел равно их произведению. Например, НОК (5, 8) = 40. Почему?

А как найти НOK трех чисел?

Чтобы найти наименьшее общее кратное чисел  ,   и  , надо простые множители числа  дополнить такими простыми множителями чисел  и  , которых в   нет, и умножить их.

Найдем, например, НОК чисел 72, 90 и 80. Поскольку

72 = 2 • 2 • 2 • 3 • 3,

90 = 2 • 3 • 3 • 5,

80 = 2 • 2 • 2 • 2 • 5,

то НОК (72, 90, 80) = 2 • 2 • 2 • 3 • 3 • 5 • 2 = 720.

Рассмотрим пример. Пусть   a  . Их произведение  . Такое же и произведение НОД   НОК   Проверьте! Это свойство верно для любых значений   и   Произведение НОД и НОК двух натуральных чисел равно произведению этих чисел. Всегда НОД   • НОК   - 

Поэтому, чтобы найти наименьшее общее кратное двух чисел, можно произведение этих чисел разделить на их наибольший общий делитель.

Из этого утверждения вытекают важные следствия:

1. Если НОД   = 1, то НОК 

2. Если число   делится на  , то НОК 

Выполнение заданий:

Пример №15

Найдите наибольшее двузначное число, кратное чисел 2 и 7.

Решение:

Если число   кратно 2 и 7, то   где   - число натуральное. Если   = 8, то   = 112 - не двузначное. Если 

Ответ. 98.

Пример №16

Во время тренировки на стадионе два велосипедиста стартовали одновременно. Первый велосипедист проезжает полный круг за 75 с, а второй — за 100 с. Через какое время велосипедисты вновь встретятся на старте?

Решение:

Искомый интервал времени должен быть кратным чисел 75 и 100. Найдем НОК (75, 100).

75 = 3 • 5 • 5, 100 = 2 • 2 • 5 • 5. IIOK (75, 100) = 100 • 3 = 300. 300 с = 5 мин.

Следовательно, спустя 5 мин велосипедисты вновь встретятся на старте.

Исторические сведения:

Деление натуральных чисел некоторые ученые древности умели выполнять еще несколько тысячелетий назад. Это математическое действие тогда считалось наиболее трудным, поскольку люди не знали современных правил деления, а числа записывали не так, как их записывают теперь. Попытайтесь, например, разделить число   на число   или   на  . Когда-то делили одно число на другое, используя камешки или косточки слив и т. и.

Признаки делимости на 2 и на 9 древнегреческие математики знали еще в III в. до н. э. Только формулировали их не так, как теперь. Издавна известны и другие признаки делимости.

На 4 делятся все те и только те числа, в которых две последние цифры выражают число, которое делится на 4.

На в делятся все те и только те числа, которые делятся и на 2, и на 3.

Интересный признак делимости на 7, 11 и 13. Пусть имеется какое-то число, например 1 057 958. Отделив три последние цифры, разобьем данное число на два меньших: 1057 и 958. Если разность образованных таким способом чисел делится на 7, 11 или 13, то и данное число делится соответственно на 7, 11 или 13. Поскольку разность 1057 - 958 равна 99, а 99 делится на 11 и не делится на 7 и 13, то и данное число делится на 11, но не делится на 7 и 13. Проверьте!

Простые числа были известны еще в VI в. до н. э. Евклид в III в. до н. э. доказал, что множество простых чисел бесконечно, то есть последовательность

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, ... не имеет конца.

Интересный способ составления таблиц простых чисел предложил в III в. до н. э. Оратосфен. Выписав подряд все натуральные числа от 2 до какого-то  , он оставлял число 2 и вычеркивал после него все числа через одно (т. е. 4, 6, 8, ...); оставлял число 3 и вычеркивал после него все числа через два (т. е. 6, 9, 12, ...); оставлял число 5 и вычеркивал после него все числа через четыре (т. е. 10, 15, 20,...) и т. д. При этом некоторые числа вычеркивались два и больше раза. Все не вычеркнутые числа - простые. Эратосфен писал па доске, покрытой воском, и не вычеркивал числа, а прокалывал. После этого его доска была похожей на решето.

Отсеивание составных чисел образно показано па рисунке 11.

Поэтому такой способ составления таблиц простых чисел назвали «решетом Эратосфена». Ниже показано, как с помощью «решета Эратосфена» можно составить таблицу простых чисел, меньших 40.

Раскладывать числа на простые множители древнегреческие математики умели еще в VI в. до н. э. Интересный способ нахождения НОД предложил Евклид. Пусть, надо найти НОД (517, 141). Для этот делим большее число на меньшее, меньшее - на полученный первый остаток, первый остаток - на второй и т. д. Последний отличный от 0 остаток - искомый НОД.

В данном примере НОД (517, 141) = 47. Математики и теперь часто используют этот способ, его называют алгоритмом Евклида.

Главное в разделе:

Если числа   и   натуральные и   делится на   без остатка, то говорят, что   - делитель числа  , а   - кратное числа  . Например, число 9 имеет три делителя: 1, 3 и 9. Кратных числа 9 бесконечно много: 9, 18, 27.....

Каждое число, которое делится только на 1 и на само себя, называют простым. Если число имеет более двух делителей, его называют составным. Число 1 имеет только один делитель, оно - ни простое, ни составное.

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, ... - последовательность простых чисел. Простых чисел бесконечно много.

На 2 делятся все те и только те числа, которые оканчиваются четной цифрой. Четные цифры: 0, 2, 4, 6, 8. Все остальные цифры (1, 3, 5, 7, 9) - нечетные. Числа, которые делятся на 2, называются четными, а которые не делятся на 2, нечетными.

1, 3, 5, 7, 9, 11, 13,... - последовательность нечетных чисел;

0, 2, 4, 6, 8, 10, 12,... - последовательность четных чисел.

На 5 делятся все те и только те числа, которые оканчиваются цифрой 5 или 0.

На 10 делятся все те и только те числа, которые оканчиваются цифрой 0.

На 3 делятся все те и только те числа, сумма цифр которых делится на 3.

На 9 делятся все те и только те числа, сумма цифр которых делится на 9.

Если каждое слагаемое делится на некоторое число, то их сумма тоже делится на это число. Если хотя бы один из множителей делится на некоторое число, то и все произведение делится на это число.

Разложить число на простые множители - это значит представить его в виде произведения простых чисел. Например, 2 • 3 • 5 -разложение на простые множители числа 30.

Наибольшее число, на которое делится каждое из данных чисел, называется наибольшим общим делителем этих чисел (НОД). Чтобы найти НОД нескольких чисел, надо разложить их на простые множители и умножить все их общие множители. Два числа, НОД которых равен 1, называют взаимно простыми. Например, числа 15 и 32 - взаимно простые, потому что НОД (15, 32) =1.

Наименьшим общим кратным нескольких чисел (НОК) называют наименьшее натуральное число, которое делится на каждое из данных чисел. Чтобы найти НОК чисел   достаточно разложение на простые множители числа   дополнить такими простыми множителями чисел   которых нет в разложении числа  , и умножить их.