Демонстрационный вариант экзаменационной работы по математике

Структура экзаменационной работы оп математике

Часть 1

1. Вычисления с помощью свойств тригонометрических величин.

2. Вычисления с помощью основных тригонометрических тождеств.

3. Вычисления с помощью формул, выражающих свойства степеней.

4. Вычисления с помощью формул, выражающих свойства логарифмов.

5. Простое показательное уравнение.

6. Простое логарифмическое уравнение.

7. Параллельность в пространстве.

8. Перпендикулярность в пространстве.

9. Вычисления в многогранниках.

10. Вычисления в телах вращения

Часть 2

1. Решение тригонометрического уравнения с выбором решений

2. Решение показательного уравнения

3. Решение логарифмического уравнения

4. Вычисление площади поверхности или объёма многогранника

5. Вычисление площади поверхности или объёма тела вращения

Демонстрационный вариант

Часть 1

1. Вычислите .

2. Найдите _.

3. Найдите значение выражения .

4. Найдите значение выражения .

5. Решите уравнение .

6. Решите уравнение .

7. Сторона АВ треугольника АВС параллельна плоскости , стороны АС и ВС пересекают плоскость соответственно в точках М и К. Найдите длину отрезка АВ, если АМ : МС=3 : 5, МК=10 см.

8. Из точки к плоскости проведены две наклонные, равные 23 см и 33 см. Найдите расстояние от этой точки до плоскости, если проекции наклонных относятся как 2:3.

9. В прямоугольном параллелепипеде длины непараллельных рёбер равны 24 см, 3 см, 12 см. Найдите длину диагонали параллелепипеда.

10. В цилиндре площадь боковой поверхности равна см², диаметр основания равен 8 см. Найдите высоту цилиндра.

Часть 2

11. Найдите все решения уравнения , принадлежащие отрезку .

12. Решите уравнение .

13. Решите уравнение

14. Высота боковой грани правильной четырёхугольной пирамиды равна 16 см, а боковое ребро - 20 см. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

15. Квадрат со стороной 8 см вращается около прямой, проходящей через вершину параллельно диагонали, не проходящей через эту вершину. Найдите объём тела вращения.

Ответы к демонстрационному варианту

Задания	Ответы
1	-1
2	-0,2
3	5,5
4	2
5	2
6	2
7	16
8	9
9	27
10	5
11
12	4,5
13	5
14	768
15

Решение демонстрационного варианта

1. Воспользуемся нечётностью и периодичностью тангенса.

, n- целое число.

Ответ:

2. По определению котангенс — это отношение косинуса к синусу

Для нахождения синуса воспользуемся основным тригонометрическим тождеством

Т.к. , т.е. принадлежит 2 четверти, то синус будет положительный:

Ответ:

3.

Использовали формулы:

Ответ:

1. Используем основное логарифмическое тождество

Значит,

Ответ:

1. 

Воспользуемся определением степени с отрицательным показателем .

Получаем

Две степени равны, если у них равны основания и показатели степеней. В уравнении основания степеней одинаковые, значит нужно приравнять показатели степеней.

Ответ:

1. 

_{Простое логарифмическое уравнение решается по определению логарифма}

Ответ:

7.

Построим прямую через точки М и К (по аксиоме планиметрии: «Через две точки проходит единственная прямая»). По условию прямая АВ параллельна плоскости α, значит, она параллельна прямой МК, лежащей в этой плоскости.

У нас получилось два подобных треугольника: АВС и МКС (треугольники подобны по двум сторонам и углу между ними).

У подобных треугольников отношение сторон одинаково.

Составим это отношение:

Из трёх отношений выбираем два, чтобы получилась пропорция.

Выбираем первую дробь, потому что она содержит неизвестный отрезок АВ. Выбираем третью дробь, потому что она содержит отрезок МС, о котором также говорится в условии:

По правилу «креста» выражаем неизвестный отрезок АВ.

Теперь в эту формулу подставляем численные данные.

МК=10 (см) по условию.

Из отношения АМ : МС=3 : 5 делаем вывод, что отрезок АМ состоит из трёх частей от длины отрезка АС, а отрезок МС состоит из пяти частей от длины отрезка АС, значит, весь отрезок АС состоит из восьми равных частей. Пусть длина каждой этой части равна х, тогда отрезок МС=5х, а отрезок АС=8х. Подставим всё в формулу

Ответ: АВ=16 (см)

8.

A

α

C

D

B

Отрезок АВ находится в двух прямоугольных треугольниках: Δ АВС и Δ ABD. АВ- это общий катет этих треугольников.

Воспользуемся теоремой Пифагора и выразим АВ из каждого треугольника:

АВ²=АС²-СВ² (выразили из ΔАВС)

АВ²=АD^2-BD² (из Δ ABD).

Получили два равенства, у которых левые части равны, значит, правые тоже должны быть равны.

Приравняем правые части равенств.

АС² - СВ²=АD² - BD² (1)

АС и АD — это наклонные, по условию задачи их длины известны: АС=23 см, АD=33 см.

Проекции наклонных - СВ и BD.

Длины отрезков СВ и BD неизвестны.

Мы знаем, что у большей наклонной будет большая проекция.

По условию задачи проекции наклонных относятся как 2:3.

Это значит, что отрезок ВС состоит из двух частей, отрезок BD состоит из трёх частей.

Если каждую часть обозначить за х, то получаем, что ВС=2х, BD=3x.

Подставим всё в формулу (1):

23²-(2х)²=33³-(3х)²

529-4х²=1089-9х²

5х²=560

х²=112

х=

Тогда

АВ² =АС² - СВ² =

АВ = 9 (см)

Ответ: АВ=9 (см)

C₁

B₁

9.

А₁

D₁

С

В

D

А

Применим свойство прямоугольного параллелепипеда: «Квадрат любой диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов его измерений».

Измерения прямоугольного параллелепипеда — это длины непараллельных рёбер (т.е. длина, ширина, высота).

Рёбра АА₁, АD и АВ между собой не параллельны, значит, они являются линейными размерами параллелепипеда.

Пусть АА₁=24 см, AD=3 см, АВ=12 см.

Отрезок В₁D соединяет вершины параллелепипеда, не лежащие в одной грани, значит, он является диагональю параллелепипеда.

Тогда получаем

B₁D²=AA₁²+AD²+AB²

B₁D²=24²+3³+12=576+9+144=729

B₁D= (см)

Ответ: B₁D=27 см

10.

Боковая поверхность цилиндра равна:

По условию, боковая поверхность равна см².

Если диаметр равен 8 см, то радиус равен 4 см.

Подставим всё в формулу боковой поверхности, получим

Выразим высоту:

Ответ: H=5 см

11.

1) Найдем все решения уравнения

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю, значит:

или

2) Нужно выбрать решения, принадлежащие промежутку .

На оси ординат отметим значение синуса, равное 0 и .

Через эти точки проведём прямые, параллельные оси абсцисс.

Получим частные решения x₁, x₂, x₃, x₄, x₅.

Определим их, двигаясь по окружности в положительном направлении (т.е. против часовой стрелки).

y

x₅

x₂

x₃

x

0

x₁

x₄

x₁=0

x₂ =

x₃ =

x₄ = π

x₅ = 2π

Ответ: x₁=0, x₂ = , x₃ = , x₄ = π, x₅ = 2π.

12. Если в показательном уравнении у степеней одинаковые основания, а показатели степеней отличаются на какое- то число, то это уравнение нужно решать способом вынесения за скобку степени с наименьшим показателем.

В нашем случае - степень с наименьшим показателем, её вынесем за скобку. Вынесение за скобку равносильно делению. При делении степеней с одинаковыми основаниями и разными показателями основание остаётся прежним, а показатели вычитаются. Получаем

Если две степени равны, то у них равны и основания, и показатели.

Приравняем показатели степеней.

Ответ: x=4,5

13.

Найдем область допустимых значений уравнения

В левой части уравнения воспользуемся свойством логарифма:

Получаем

Логарифмы равны, если у них равны основания и логарифмируемые выражения.

В данном уравнении основания логарифмов одинаковые, значит нужно приравнять логарифмируемые выражения:

Раскрываем скобки в левой части равенства

Из правой части равенства все слагаемые перенесём в левую часть и приведём подобные.

Получается приведённое квадратное уравнение

Воспользуемся теоремой Виета: ;

Т.к. x₂ не удовлетворяет ОДЗ, то ответом будет только x₁=5.

Ответ:

S

14.

C

B

M

O

D

A

Боковая поверхность правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему (апофема - это высота боковой грани правильной пирамиды).

( l- апофема)

По условию апофема равна 16 см. Нужно найти периметр основания. В основании правильной четырёхугольной пирамиды лежит квадрат. Периметр квадрата:

(a-сторона квадрата).

S

C

M

Для того чтобы найти сторону квадрата рассмотрим треугольник SMC. Этот треугольник прямоугольный. В нём известны две стороны. Значит, для нахождения третьей стороны нужно воспользоваться теоремой Пифагора.

SC² = SM²+MC²

MC² = SC² - SM²

(см)

Точка М - середина отрезка DC (все боковые грани правильной пирамиды- равнобедренные треугольники, в равнобедренном треугольнике высота – это и биссектриса, и медиана), значит DC=24 (см).

Периметр основания P_осн.=96 (см)

(см²).

Ответ: (см²)

15.

M

B

O

C

A

D

h- высота усечённого конуса; h=MC =BO

R₁-радиус верхнего основания усечённого конуса; R₁=BM

R₂-радиус нижнего основания усечённого конуса ; R₂=AC

R- радиус конуса; R_к=BM

H- высота конуса; H_к=MC

Высота усечённого конуса h равна половине диагонали BD квадрата ABCD.

Из прямоугольного треугольника BAD найдём по теореме Пифагора BD.

BD²=AB²+AD²=8²+8²=128

( см)

(см)

H=MC=BO= (см)

R₁=MB=OC= (см)

R₂=CA=BD= (см)

R=MB= (см)

(см³)

Ответ: (см³).