Диофантовы уравнения

МУНИЦИПАЛЬНОЕ АВТОНОМНОЕ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ "ЛИЦЕЙ №6"

Диофантовы уравнения

Выполнила: Пашкова Марина Геннадьевна,

учащаяся 10А класса.

Руководитель: Мухометзянова Любовь Васильевна,

Бердск – 2016

Введение

Несмотря на то, что задачами, сводящимися к решению неопределенных уравнений, занимались многие математики древности (Пифагор, Диофант, П. Ферма, Л. Эйлер, Ж.Л. Лагранж и др.), универсальные методы, позволяющие решить в целых числах любое уравнение или неравенство с целыми коэффициентами, в этой области отсутствуют. Проблема решена только для уравнений первой степени и второй степени с двумя неизвестными. Однако и для этих уравнений использование полученных методов часто оказывается не самым эффективным и достаточно трудоемким.

Актуальность

• Считаю свою работу актуальной, так как, во-первых, эти уравнения часто встречаются в заданиях ЕГЭ. Но из-за нехватки времени для разбора на уроках, многие не могут их решить.

• Во-вторых, на самом деле решение этих задач не очень сложное, так как для решения многих из них требуется знание теории делимости, часть которой ученики проходят в 6 классе.

• Таким образом, актуальность моей работы заключается в том, что у учеников достаточно знаний, чтобы решить их, но они не знают, как их применить.

Объект исследования: диофантовы уравнения

Цель исследования: Научиться решать уравнения в целых числах

Задачи:

• разобрать основные приемы и методы решения уравнений в целых числах;

• выполнить сопоставительно – аналитическую работу с контрольно – измерительными материалами ЕГЭ .

Глава 1. Диофантовы уравнения

1.1. Из истории диофантовых уравнений

Необычайный рассвет древнегреческой науки в IV – III вв. до н. э.. В III в. уже новой эры появляются сочинения александрийского математика Диофанта «Арифметика», «Поризмы», «Полигональные числа». О жизни самого Диофанта нам известно только из стихотворения, содержащегося в «Палатинской антологии». В этой антологии содержалось 48 задач в стихах. Среди них были задачи о бассейне, о короне Герона, о жизненном пути Диофанта.

Решая весьма разнообразные системы неопределенных уравнений, Диофант проявил большое мастерство и изобретательность. Диофант рассматривает рациональные, но только положительные значения неизвестных. Основная его цель – дать метод нахождения решения. Он не ставит себе задачу нахождения всех решений неопределенного уравнения даже тогда, когда их бесчисленное множество, и вполне удовлетворяется отысканием одного решения.

1.2. Теоретические основы решения неопределенных уравнений первой степени

Неопределенные уравнения – уравнения, содержащие более одного неизвестного. Под одним решением неопределенного уравнения понимается совокупность значений неизвестных, которая обращает данное уравнение в верное равенство.

Для решения в целых числах уравнения вида ах + by = c, где а, b, c – целые числа, отличные от нуля, приведем ряд теоретических положений, которые позволят установить правило решения. Эти положения основаны также на уже известных фактах теории делимости.

Определение 1. Диофантовым уравнением первой степени с п неизвестными называется уравнение вида: а₁х₁ + а₂х₂ + … + а_пх_п=b,

где все коэффициенты и неизвестные – целые числа и хотя бы одно а_i ≠ 0.

Определение 2. Решением диофантова уравнения называется ряд целых чисел _, удовлетворяющих этому уравнению.

Теорема 1.1. При взаимно простых коэффициентах а₁, а₂, … , а_п диафантово уравнение

а₁х₁ + а₂х₂ + … + а_пх_п=1

имеет решение в целых числах.

Теорема 1.2. Пусть d – наибольший общий делитель коэффициентов

а₁, а₂, … , а_п. Диофантово уравнение а₁х₁ + а₂х₂ + … + а_пх_п=b имеет решение тогда и только тогда, когда _. Число решений такого уравнения либо равно нулю, либо бесконечности.

Теорема 1.3. Если НОД(а, b) = d, то существуют такие целые числа х и у, что имеет место равенство ах + bу = d.

Теорема 1.4. Если в уравнении ах + bу = с НОД(а, b) = 1, то все целые решения этого уравнения заключены в формулах:

_ ,где х, y - целое решение уравнения ах + bу = 1, t – любое целое число.
Доказательство: Найдем частное решение этого уравнения (х₀;у₀) , тогда

ах₀ + by₀ = с, следовательно ах + bу = ах₀ + bу_0, а (х–х₀) = b (у₀ – у) (1),

т.к. а и b взаимно простые числа, но при этом _,_ , значит у – у₀ = ka подставим в (1) а (x – х₀) = b (-ka), х – х₀ = - bk
_, где k ϵ Z

При доказательстве теоремы следует показать, во-первых, что приведенные формулы действительно дают решения данного уравнения и, во-вторых, что произвольное целое решение этого уравнения заключено в приведенных формулах.

Теорема 1.5. Если в уравнении ах + bу = с НОД(а, b) = d1 и с не делится на d, то уравнение целых решений не имеет.

Для доказательства теоремы достаточно предположить противное.

1.3.Теоретические основы использования цепных дробей для решения неопределенных уравнений первой степени

Существует метод решения диофантовых уравнений первой степени с помощью цепных дробей. Рассмотрим понятие цепных дробей.

Решить уравнение ах + bу = с : дробь _ можно записать в виде суммы целой части и правильной дроби: _. Но _. Далее получим .

Продолжим этот процесс до тех пор, пока не придем к знаменателю q_n. В результате мы представим обыкновенную дробь в следующем виде: _.

Л.Эйлер назвал дроби такого вида непрерывными. Приблизительно в то же время в Германии появился другой термин – цепная дробь. Так за этими дробями и сохранились оба названия. Ввиду громоздкости развернутой записи цепной дроби применяют компактную запись

[q₀ , q₁ , q₂ , …, q_n].

Если оборвать дробь [q₀ , q₁ , q₂ , …, q_n] на знаменателе q_k, то останется дробь [q₀ , q₁ , q₂ , …, q_k]. Обращая ее в обыкновенную, получим . Это выражение называют k-ой подходящей дробью для исходной цепной дроби.

Пример, Решите в целых числах уравнение: 127x – 52y + 1=0

Преобразуем отношение коэффициентов при неизвестных.

Прежде всего, выделим целую часть неправильной дроби _;

Правильную дробь _ заменим равной ей дробью _.

Тогда получим . Проделаем такие же преобразования с полученной в знаменателе неправильной дробью .

Теперь исходная дробь примет вид:

Повторяя те же рассуждения для дроби получим .

Выделяя целую часть неправильной дроби, придем к окончательному результату:

Мы получили выражение, которое называется конечной цепной или непрерывной дробью. Отбросив последнее звено этой цепной дроби - одну пятую, превратим получающуюся при этом новую цепную дробь в простую и вычтем ее из исходной дроби :

, .

Приведем полученное выражение к общему знаменателю и отбросим его, тогда

.

Из сопоставления полученного равенства с уравнением следует, что , будет решением этого уравнения и согласно теореме все его решения будут содержаться в прогрессиях , .

1.4.Примеры решения неопределенных уравнений первой степени.

Пример 1. 1. На кольцевой дороге проводилась эстафета велосипедистов. Старт и финиш находились в одном и том же месте. Длина кольцевой трассы 55 км., а длина каждого этапа – 25 км, (движение одностороннее). Сколько было пунктов, в которых передавалась эстафета? Место старта тоже считать за пункт. Каково расстояние между соседними пунктами?

Спортсмены проходят путь равный 25 × k км, где k – целое число. Этот путь должен равняться целому числу кругов или 55×n км.

Получили уравнение 25км × k = 55км × n,или 5×k км = 11× n км, откуда n – 5, k – 11.

Следовательно: число пунктов равно 11, расстояние между пунктами равно _

Пример 1.2. Решите в натуральных числах уравнение: 49x + 51y =602.

Решим это уравнение, используя метод перебора всех возможных значений переменных, входящих в уравнении.

Выразим переменную x. Получаем: x = _.
Следовательно, 602-51y ≥ 49

у ≤ _

у ≤ 10_

1≤ у ≤ 10_

Используя метод перебора от 1 до 10, мы находим частное решение (5; 7).

Ответ: (5; 7)

Пример1.3 . Решим в целых числах уравнение: 25x – 18y + 1 = 0 с помощью цепных дробей

Найдем наибольший общий делитель пары чисел 25 и 18 с помощью цепных дробей. Преобразуем неправильную дробь_ , последовательно выделяя целые части неправильных дробей:

_ = 1 + _ = 1 + _= 1 + _ = 1 + _ = 1 + _ = 1 + _,

где выражение 1 + _называется цепной дробью.

Числа 1, 2, 1, 1, выделенные в этом выражении, являются последовательными частными алгоритма Евклида для нахождения наибольшего общего делителя пары чисел 25 и 18.

Отбросим дробь 1/3 и преобразуем получившуюся цепную дробь в обыкновенную:

1 + _ - 1 + _ - _.

Вычтем полученную дробь из исходной дроби _:

_ - _.

Приведем ее к общему знаменателю: 25 _ 5 – 18 _ 7 + 1 = 0.

Получили частное решение исходного уравнения x = 5, y = 7.

Общее решение исходного уравнения: x = 5 + 18t; y = 7 + 25t, t ϵ Z.

Глава 2. Неопределенные уравнения выше первой степени

2.1. Решение уравнений с двумя переменными, как квадратных относительно одной из переменных.

При решении уравнений методом сведения к квадратному уравнению необхо­димо рассмотреть и оценить дискриминанты этих уравнений.

Задача 1. Решите в целых числах 5х² + 5у² + 8ху + 2у – 2х + 2 = 0 .

Решение. Если попытаться решить данное уравнение методом раз­ложения на множители, то это достаточно трудоемкая работа, поэтому это уравнение можно решить более изящным методом. Рассмотрим уравнение как квадратное относительно х :  

5х² + (8у - 2)х + 5у² + 2у + 2 = 0 .

Корни данного уравнения х_1,2 = _ .

Данное уравнение имеет решение тогда и только тогда, когда дис­криминант этого уравнения равен нулю, т. е. _ , отсюда у = -1 . Если у = -1 , то х = 1 .

Ответ: (1; -1) .

2.2. Метод разложения на множители

Перебор вариантов при нахождении натуральных решений уравнения с двумя переменными оказывается весьма трудоемким. Кроме того, если уравнение имеет целые решения, то перебрать их невозможно, так как таких решение бесконечное множество. Поэтому покажем еще одним прием - метод разложения на множители.

Задача 1. Решите уравнение в целых числах: x² - y² = 91.

Решение: Разложим левую часть данного уравнения на множители:

(x - y)(x + y)=91.

Так как 91=1_ 91=91_1=7_13=13_7= -1_ (-91)= -91_ (-1) = -7_ (-13)= -13_ (-7), то решение данного уравнения сводится к решению восьми систем:

1. _; 2)  _; 3) _;  4)  _;

5)  _; 6) _;7)  _;8)  _;

Ответ: (46; 45), (46; -45), (-46; -45), (-46; 45), (10; 3), (10; -3), (-10; -3), (-10; 3).

2.3. Выражение одной переменной через другую и выделение целой части для решения неопределенных уравнений выше первой степени

Решить уравнение в целых числах: х² + ху – у – 2 = 0.

Решение:

Выразим из данного уравнения у через х:

у (х - 1) =2 – х²,

у = _= – _= – _= – _+_= -(х + 1) + _, (х≠1)

Так как х, у – целые числа, то дробь _ должна быть целым числом.

Это возможно, если х – 1 = ± 1

1)_ 2) _

_{ }

Ответ: (0;-2);(2;-2).

2.4. Метод «бесконечного спуска»

Для доказательства многочисленных теорем, которые Ферма сформулировал в теории чисел, он ввел метод бесконечного спуска. К примеру, надо доказать, что какое – то уравнение не имеет натуральных решений. И пусть из предположения, что у данного уравнения все же есть решение в натуральных числах, можно вывести, что у него есть еще меньшее, тоже натуральное решение. Тогда из существования этого меньшего решения делается вывод о существовании еще меньшего решения и т. д. Но так как натуральные числа не могут неограниченно уменьшаться, то сделанное предположение неверно и решения данного уравнения в натуральных числах не существует.

Задача. Решить в целых числах уравнение 4x³-2y³-z³=0.

Решение: Здесь левая часть уравнения не разлагается на целые множители и вообще не поддается преобразованиям.

Запишем данное уравнение в виде

z³ =2(2x ³-y³). (1)

Следовательно, z³ - четное, значит должно делиться на два, т. е. z = 2z₁ , z₁ ϵ z. Тогда, 4x³-2y³-8z₁³=0

2 x³- y³-4 z₁³=0, (2)

Из уравнения (2) видно, что y четное, т. е. y=2y₁, y₁ ϵ Z.

2x³-8 y₁³-4z₁³=0,

x³-4 y₁³-2z₁³=0, (3)

Из уравнения (3) следует, что x четное, т. е. x=2x₁, x₁ ϵ Z .

8x₁³-4y₁³-2z₁³=0, z₁³=2(2x₁³-y₁³).

Получаем уравнение вида (I).

Из всех проделанных рассуждений можно сделать следующие выводы. Во – первых, числа x, y, z должны быть четными. Во – вторых, числа x₁, y₁, z₁ , т. е. _ и _ удовлетворяющие этому уравнению, тоже четные.

Итак, оказалось, что числа, удовлетворяющие уравнению (1), четные, и сколько раз мы не делили бы их на 2, получаем числа, которые так же делятся на 2. Единственное число, обладающее этим свойством - есть нуль.

Следовательно, данное уравнение имеет единственное решение x=0, y=0, z=0.

Ответ:(0; 0; 0). 

2.5. Метод перебора всех возможных значений переменных, входящих в уравнение (в целых и натуральных числах) для решения неопределенные уравнения выше первой степени

Решим уравнение в целых числах: 5х² + 3z² – 2yz + y² = 30

5х² + 2z² + (z - y)² = 30

Пусть х²=0, 2z² + (z - y)² = 30,

z²= 0, y²=30

z² = 1, (z - y)² = 28

z² = 4, (z - y)² = 22

z² = 9, (z - y)² = 12

Пусть х²=1, 2z² + (z - y)² = 25

z² = 0, (z - y)² = 25

Пусть х²=4, 2z² + (z - y)² = 10

z²=0, (z - y)² = 10

z²=1, (z - y)² = 8

z²=4, (z - y)² = 2

и т.д.

Ответ: (-1; -5; 0), (-1; 5; 0), (1; -5; 0), (1; 5; 0).

2.6. Примеры решения неопределенных уравнений выше первой степени

Задача 1. Решить уравнение в целых числах: х + у = ху.

Решение:

Выразим из данного уравнения у через х:

у(х - 1) = х,

у = _= 1 + _, (х≠1)

Так как х, у – целые числа, то дробь _ должна быть целым числом.

Это возможно, если х – 1 = ± 1

1)_  2) _

_{ }

Ответ: (0;0);(2;2).

Задача 2. Решить уравнение в натуральных числах: 2у² – 11ху + 15х² = 13

a = 2, b = -11x, c = 15x²

D = 121x² - 4×2×15x² = x²

у₁ = _ y₂ = 3x

2(у – 3х)(у - _)= 13

(у – 3х)(2у - 5х)= 13

_{ }

_{ }

Ответ: (11; 34), (25; 62)

Задача 3. Решить данное уравнение в натуральных числах: х²-2ху+2у=0

(х² - 2ху + у²) - у² + 2у - 1+1=0

(х - у)²- (у - 1)²= -1

(х- у- у+1)(х - у+у - 1)= -1

(х - 2у+1)(х - 1)= -1

_{ }
Ответ: (2; 2)
Задача 4. Решить данное уравнение в натуральных числах:

х² = у² + 2у + 13 + 1 – 1

х² = (у + 1)² + 12

х² – (у + 1)² = 12

(х – (у + 1))(х + у + 1) = 12

_{ }

_{ }

_{ }

Ответ: (4; 1)

Задача 5.

Решить задачу: Шли сорок мышей , несли сорок грошей ,

Две поплоше несли по два гроша,
Немало мышей - вообще без грошей. 
Большие совсем тащили по семь,

А остальные несли по четыре.

Сколько мышей шли без грошей?

Решение. Составим уравнение:

4 + 7у + 4× (40 – 2 – х - у)= 40 ,где х – мыши, которые шли без грошей; у – большие мыши, которые несли по 7.

4 + 7у + 160 – 8 – 4х – 4у = 40

116 + 3у – 4х = 0

х = _

Данная задача имеет смысл при у = 4, тогда х = _ = 32

Ответ: 32 мыши шли без грошей.

Глава 3. Пифагоровы тройки

Если стороны треугольника пропорциональны числам 3, 4 и 5, то этот треугольник – прямоугольный.

Треугольник с длинами сторон 3,4,5 называют египетским.

И действительно, числа 3, 4 и 5 – корни уравнения x²+y²=z².

Числа 5, 12, 13 тоже можно считать корнями этого уравнения.

Один из путей решения уравнения x²+y²=z² в целых числах оказался довольно простым. Запишем подряд квадраты натуральных чисел, отделив их друг от друга запятой. Под каждой запятой запишем разность между последовательными квадратами:

1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 196… .

3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25, 27… .

В нижней строке также есть квадратные числа. Первое из них 9=3², над ним 16= 4² и 25= 5², знакомая нам тройка 3, 4, 5. Следующее квадратное число в нижней строке 25, ему соответствуют 144 и 169, отсюда находим вторую известную нам тройку 5, 12, 13.

Теперь мы имеем право сформулировать такую теорему: 

Каждое нечетное число есть разность двух последовательных квадратов.

Проверим, что, если x – нечетное число, то y =_ и z =_.

Проверим также, что в этом случае равенство x²+y²=z² выполняется, т. е. числа, найденные по такому правилу, всегда будут составлять решение интересующего нас неопределенного уравнения. По этому правилу можно получить уже известные нам тройки:

если x=3 , то y = _, z = _ , получилась первая пифагорова тройка;

если x=5 , то y =_ =12, z =_=13 - вторая тройка;

если x=7, то y =_, z = _- третья тройка. 

Следующим шагом было установление правила вычисления всех, а не только некоторых пифагоровых троек.

Перепишем уравнение Пифагора следующим образом:

x²=z²-y².

Это означает, что число x должно разлагаться на два неравных множителя z+y и z-y ,которые мы обозначим так, что получится такая система: 

 

z = a² + b² ; y = a² – b² ; x = 2ab

(при этом надо иметь в виду, что a b). Из этого следует, что наименьшим значением числа b может быть только единица, тогда наименьшим значением a будет 2.

Подчеркнем главное – уравнение решено, мы знаем способ вычисления всех возможных целочисленных значений длин сторон прямоугольных треугольников. 

Заключение.

В результате проведённой работы были выполнены задачи, поставленные перед началом исследований:

• Разобрали основные приемы и методы решения уравнений в целых числах первой и второй степени;

• Выполнили сопоставительно – аналитическую работу с контрольно – измерительными материалами ЕГЭ и заданий олимпиад.

В своей работе мы рассматривали только неопределенные уравнения первой и второй степени. Уравнения первой степени, как мы увидели, решаются довольно просто. Мы выделили виды таких уравнений и алгоритмы их решений.

С уравнениями второй степени сложнее, поэтому мы рассмотрели 5 методов решений такого вида, также рассмотрели частные случаи: Пифагоровы тройки и теорему Ферма.

В дальнейшем мы планируем углубить свое исследование в изучении уравнений с несколькими переменными, которые применяются в решении задач.

Список литературы.

1. Алгебра и начала математического анализа. 10 класс. В2 ч. Ч.2. Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений (профильный уровень) / [А.Г. Мордкович и др.]; под ред. А.Г. Мордковича. – 8-е изд., испр. – М.: Мнемозина, 2011. – 343с.

2. Решение уравнений в целых числах: учебное пособие / Латанова Н.И., Власова А.П., Евсеева Н.В. – М. : Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана  2012. – 81с.

3. Решение уравнений в целых числах: учебно-методическое пособие / Гельфонд А. О. -3-е изд. – М. : Наука  1978. – 63с. – (Серия «Популярные лекции по математике, выпуск 8»)

4. http://math4school.ru/uravnenija_v_celih_chislah.html

5. http://xreferat.com/54/1514-1-reshenie-uravneniiy-v-celyh-chislah.html

6. http://sernam.ru/book_e_math.php?id=37

20