Доказательство теорем в школьном курсе математики

ОГЛАВЛЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ 3

§ 1 УБЕЖДЕНИЕ ШКОЛЬНИКОВ В НЕОБХОДИМОСТИ ДОКАЗАТЕЛЬСТВА 5

§2 МЕТОДИКА ИЗУЧЕНИЯ ТЕОРЕМ И ИХ ДОКАЗАТЕЛЬСТВ 6

ПОДГОТОВКА УЧИТЕЛЯ К ДОКАЗАТЕЛЬСТВУ ТЕОРЕМ НА УРОКЕ 16

АНАЛИЗ ФОРМУЛИРОВКИ ТЕОРЕМЫ И ВЫЯСНЕНИЕ ЕЕ ЗНАЧЕНИЯ В СИСТЕМЕ ДРУГИХ ТЕОРЕМ 17

ПРИМЕНЕНИЕ АНАЛИТИКО-СИНТЕТИЧЕСКОГО МЕТОДА ПОИСКА ДОКАЗАТЕЛЬСТВ ТЕОРЕМ 20

ВЫЯСНЕНИЕ МЕТОДА, ИДЕИ, ПРИЕМА И ДРУГИХ ОСОБЕННОСТЕЙ ДОКАЗАТЕЛЬСТВА 22

ИССЛЕДОВАНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СИТУАЦИИ, ВОЗНИКАЮЩЕЙ ПРИ ДОКАЗАТЕЛЬСТВЕ ТЕОРЕМЫ 24

ЗАКЛЮЧЕНИЕ 27

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 28

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность. Доказывать, обо­сновывать свою точку зрения необходимо уметь каждому куль­турному человеку не только в математике, но и в жизни вообще. Обучая доказы­вать ту или другую теорему, учитель в качестве главной цели выдвигает развитие математического мышления учащихся, в частности развитие творческого и логического мышления.

Роль теоремы и её доказательства в обучении математике многообразна:

- теорема и ее доказательство вооружает учащихся математическими фактами, которые используются при изложении дальнейшего теоретического материала и в решении разнообразных задач;

- доказательство развивает навыки логических рассуждений (неосознанного использования законов логики и правил вывода, умения различать прямую и обратную теорему, свойства и признаки понятий, необходимые и достаточные усло­вия, формулировать пред­ложения в различных формах и т.д.);

- доказательство приучает учащихся обосновывать свои суждения, использовать аналитико-синтетический метод в рассуждениях, рационально записывать ход рассуждений;

- доказательство теорем дает возможность осознать дедуктивный характер математики;

- в ходе доказательств теорем у учащихся развиваются умения проводить доказательство вооб­ще, выделять тезис-требование и условия, в которых оно доказы­вается, расчленять рассуждения на отдельные логические шаги и обосновывать каж­дый шаг, получать следствия, анализировать формулировку теоремы, формируются умения, связанные с поиском доказательства, с исследованием математических ситуаций и др.

Таким образом, умение проводить доказательства теорем способствует сознательному и глубокому изучению учащимися математики в продолжение всего периода обучения.

Было время, когда учителя и методисты спорили о том, спо­собны ли учащиеся 12-13 лет воспринимать логические доказа­тельства, понимать их необходимость. Практика отечественной школы дала на этот вопрос положительный ответ. Пониманию необходимости доказательств способствуют проведение самих доказательств, приучение к требованию проведения строгого доказательства, неоднократное возвращение к вопросу о прин­ципах построения дедуктивного курса.

Цель работы: разработка методики изучения теоремы и обучения доказательству в курсе математики средней школы.

Под обучением доказательству понимается обучение мыслительным процессам поиска, открытия и построения доказательству.

Достижение указанной цели возможно только в том случае, если работа с теоремой включает в себя следующие этапы:

- убеждение школьников в необходимости доказательства;

- наведение учащихся на открытие теоремы;

- поиск доказательства;

- оформление найденного доказательства;

- отработка проведённого доказательства;

- закрепление теоремы.

В данном исследовании рассматриваются все указанные аспекты проблемы.

§ 1 УБЕЖДЕНИЕ ШКОЛЬНИКОВ В НЕОБХОДИМОСТИ ДОКАЗАТЕЛЬСТВА

Целью этой работы является формирование потребности в логическом доказательстве. Такая проблема встаёт в начале 7 класса при проведении первых доказательств. Решению этой проблемы способствует подготовительная работа. Приобщением учащихся к доказательствам необходимо за­ниматься до начала изучения систематических математических курсов, в курсе математики 5-6 классов. Отдельные методисты предлагают ввести в 5-6 классах и специальные дополнительные упражнения нематематического содержания на доказательство.

Большие возможности для постановки задач на доказательство предоставляет само содержание курса математики. Приведем примеры.

1. Доказать, что 10 • 3 = 30.

2. Объяснить, почему 35-20 = 15.

3. Доказать, что от числа 120 находится действием умножения 120 на дробь.

4. Доказать, что число, которого равно 120, находится де­лением 120 на дробь .

5. Доказать, что при сложении дробей с различными знамена­телями нельзя складывать отдельно числители и отдельно знаме­натели и т. д.

При понимании необходимости решения проблемы развития логического мышления, при внимательном рассмотрении мате­риала учитель сам найдет немало возможностей для создания неболь­ших упражнений на доказательство. Доказать, что неизвестное уменьшаемое находится сложением вычитаемого и разности, что данная задача решается нахожде­нием дроби от числа, что данная задача решается с помощью составления пропорции - вопросы, доступные пониманию зна­чительной части учащихся. Первые доказательства должны ка­саться неочевидных вещей. Роль учителя - пробудить сомнения в доказательстве со ссылкой на очевидность. Необ­ходимо подчеркнуть требование точности и общности доказа­тельств: если тридцать учеников класса при построении равно­бедренного треугольника получили равные углы при основании треугольника, то это еще не говорит о том, что в тридцать первом случае при основании равнобедренного треугольника получатся равные углы, а все равнобедренные треугольники по отдельнос­ти рассмотреть невозможно.

Чтобы убедить учащихся, что на основании экспериментов, даже многочисленных, нельзя делать общих выводов, достаточ­но рассмотреть, например, следующую ситуацию.

Утверждается, что формула является формулой простого числа. На самом деле, при изменении n от 1 до 15 выра­жение является простым числом, однако при n = 16 - это число составное.

Воспитание у учащихся потребности в доказательстве предусматривает формирование убеждения в ограниченности опытно-индуктивных обоснований. Учащиеся должны усвоить, что при доказательстве теорем нельзя пользоваться тем, что видно из рисунка, или получено в результате измерений углов, отрезков на чертеже. Эти результаты могут служить только выдвижению предположений, гипотез, которые должны обосновываться или опровергаться на основании использования аксиом или ранее доказанных теорем.

§2 МЕТОДИКА ИЗУЧЕНИЯ ТЕОРЕМ И ИХ ДОКАЗАТЕЛЬСТВ

Принципы подхода к обучению теоремам и их дока­зательствам следуют из двух соображений. Во-первых, теорема – это новый материал, подлежащий изучению, и с этой точки зре­ния в изучении теоремы (как и в изучении любого математического факта) можно выделить следующие этапы:

- под­готовка к изучению нового (пропедевтика);

- мотивация изучения нового материала;

- введение нового факта (желательно через самостоятельное открытие) – организация его восприятия, понимания;

- закрепление;

- применение.

Во-вторых, теорема является задачей на доказательство, выражающей некоторое важ­ное отношение, свойство, и поэтому на методику изучения теорем распространяются рекомендации, относящиеся к различным эта­пам решения задач, таким, как обучение поиску закономерности, идеи доказательства, обучение анализу условия и исследованию полученного решения.

При обучении детей теоремам могут быть использованы различ­ные методы: объяснительно-иллюстративный, эвристический, исследовательский. Выбор метода обучения диктуется содержа­нием теоремы, методом ее доказательства, конкретными возмож­ностями учащихся. Выбор метода осуществляется после логико-математического анализа материала, подлежащего изучению. Как при объяснении нового материала учителем, так и при организации поисковой деятельности учащихся имеют место все перечисленные ранее этапы изучения нового материала, которые далее будут рассмотрены на конкретных примерах.

Пропедевтика доказательства заключается в актуализации необходимых зна­ний. Например, перед доказательством формулы площади парал­лелограмма целесообразно вспомнить основные свойства площа­дей простых фигур, формулу для нахождения площади прямоу­гольника, признаки равенства треугольников. Пропедевтика состоит и в предупреждении определенных трудностей – вынесении некоторых моментов доказательства в самостоятельные задачи, которые можно решить до изучения основного материала, до до­казательства теоремы. Возможные трудности определяются учи­телем в результате анализа самого доказательства.

Аргументом в пользу привлечения пропедевтических упраж­нений является наличие таких ситуаций, когда трудные моменты доказательства поглощают все внимание ученика, заставляя за­быть, что доказывается. Однако слишком тщательная пропедевтика чревата тем , что учащиеся попадают в облегченные условия, когда трудности не преодоле­ваются, а предупреждаются, что является контраргументом в ис­пользовании пропедевтических упражнений.

Если теорема Пифагора доказывается методом «штанов», то перед ее изучением можно предложить доказать, что если фигура - квадрат, = ВС₁ = = то ABCD – тоже квадрат (рис.1).

Рис.1

Другой пример. Для того чтобы выяснить положение центра вписанной в правильную пирамиду сферы, полезно предваритель­но доказать, что любая точка высоты правильной пирамиды оди­наково удалена от всех боковых граней пирамиды.

Для того чтобы повысить интерес к изучаемой теореме, чтобы ее изучение стало лично значимой целью (мотивация изучения нового материала), полезно перед изучени­ем теоремы предъявлять интересные задачи, желательно практи­ческого содержания, которые для своего решения требуют изуче­ния нового материала. Отсутствие необходимых знаний побуж­дает к поиску.

Пример. Спросим детей, как построить высоту равнобедренного треугольника, про­веденную к его основанию с помощью масштабной линейки - задание, предъявляемое перед изучением соответствующего свойства равно­бедренного треугольника.

Очень часто приходится встречаться с таким фактом, когда учащиеся заучивают формулировки теорем, не осознавая полно­стью их смысла. Если ученик сам находит закономерность, сам формулирует теорему, то это позволяет избавиться от формализ­ма в знании её формулировки. Для самостоятельного получения фор­мулировок теорем учащиеся могут использовать различные по­строения, вычисления, измерения, модели, т. е. опыт в различных его формах.

Приведем примеры.

1. Перед изучением теоремы Фалеса учащихся просят постро­ить произвольный угол, отложить на одной стороне угла равные отрезки, через их концы провести параллельные прямые и изме­рить получившиеся отрезки на другой стороне угла. Сопоставле­ние результатов, полученных разными учениками, приводит к гипотезе о существовании определенного свойства.

2. Перед изучением свойств арифметического квадратного корня можно предложить провести следующие вычисления: и , затем сравнить результаты.

Аналогично с помощью выполнения измерений, вычислений, использования наглядных пособий можно привести учащихся к самостоятельному формулированию любой теоремы. После того как закономерность учащимися выявлена, необходимо скоррек­тировать формулировку, привлекая к этому учеников и аргумен­тируя эту корректировку. Можно также предложить учащимся проанализировать формулировку теоремы, содержащую ошиб­ку. Ошибки в формулировках теорем выявляются с помощью при­ведения контрпримеров. Эту работу можно отнести к этапу зак­репления формулировки теоремы.

Например, если учащимися предлагается следующая форму­лировка теоремы: «Против большего угла лежит и большая сто­рона», то можно предложить рассмотреть в качестве контрприме­ра два неравных треугольника, для которых сформулированное предложение неверно.

Для понимания формулировки и доказательства теоремы, для снятия трудностей в ее использовании необходимо выделять в формулировке условие и заключение, данные и требование. Это выполнить труднее, если теорема сформулирована в категорич­ной, а не условной форме. Поэтому категоричную форму полезно переделывать в условную и наоборот, что не всегда легко осуще­ствляется. Задания для учащихся при этом могут выглядеть сле­дующим образом.

1. Сформулировать в условной форме: а) теорему Пифагора; б) теорему о сумме углов треугольника; в) теорему Виета; г) тео­рему о средней линии трапеции.

2. Сформулировать в категоричной форме: а) признаки равен­ства треугольников; б) признаки параллельности прямых и т. д.

При формулировании теоремы учащиеся часто вместо требуе­мой теоремы произносят ей обратную. Этой логической ошибки можно избежать, изучая вопрос об обратных теоремах, формируя умения различать свойства и признаки понятий. Поэтому понятие об обратной теореме рассматривается в начале курса геометрии. При этом необходимо научить ученика строить предложение, об­ратное данной теореме, и определять его истинность. Рассмотре­ние ситуаций, когда предложение, обратное некоторой теореме, не является верным, способствует разграничению двух понятий: прямой и обратной теоремы и правильному их использованию.

При конструировании формулировок обратных теорем могут возникнуть трудности, например, для теорем: а) в ромбе диагона­ли перпендикулярны; б) в параллелограмме диагонали, пересе­каясь, делятся пополам.

Для выхода из этой ситуации было предложено выде­лять в формулировке теоремы разъяснительную часть, которая остается инвариантной в формулировках как прямой, так и об­ратной теорем. Для последнего примера это будет выглядеть сле­дующим образом: если четырехугольник является параллелограм­мом, то его диагонали пересекаются и точкой пересечения делят­ся пополам. Термин четырехугольник составляет разъяснитель­ную часть условия теоремы.

Переходим к вопросу о краткой записи формулировки теоре­мы. Переход от правильной формулировки к правильной схема­тической записи условия и заключения является работой, требу­ющей достаточно развитого логического мышления. В начале систематического курса геометрии возникает вопрос, насколько подробно следует записывать условие и заключение теорем. Записи условия и заключения теоремы должны быть настолько подроб­ными, чтобы по записи можно было полностью восстановить текст формулировки теоремы. И в то же время запись условия не долж­на содержать ничего лишнего.

Доказательство теоремы учащиеся могут получить с большой долей самостоятельности, если это доказательство предъявлено ученикам в виде последовательности задач, доступных для само­стоятельного решения. Например, чтобы доказать свойство впи­санного в окружность угла, достаточно предъявить учащимся три задачи с конкретными числовыми данными на нахождение число­вого значения величины вписанного угла по значению величины центрального угла в случаях, когда центр окружности лежит на стороне вписанного угла, внутри и вне угла.

По поводу оформления доказательств можно высказать ряд соображений. Оформление доказательств с выделением утверж­дений и их обоснований, фактов и аргументов необходимо для понимания доказательства, для понимания построения всего де­дуктивного курса геометрии, для воспитания потребности в до­казательстве. Краткой записи полученных доказательств учащих­ся необходимо обучать специально. Следует также обучать запи­си доказательств, представленных в учебнике. Это специальная, трудная и необходимая работа. В алгебраических доказатель­ствах, при различных алгебраических преобразованиях исполь­зуется запись аргументов над знаками равенства.

После получения и осуществления идеи доказательства теоре­мы, после записи доказательства теоремы необходим этап зак­репления полученного доказательства. Этот этап является зак­реплением самого доказательства и предшествует закреплению и применению формулировки теоремы. На уроках этот этап иногда неоправданно не находит своего места.

Этап закрепления доказательства в изучении теоремы предпо­лагает работу по выявлению того, поняты ли идея, метод доказатель­ства и отдельные его шаги. Вопросы: «Понятно ли доказатель­ство?», «Кто не понял доказательства?» дают мало или вообще не дают учителю информации, насколько доказательство теоремы оказалось усвоенным учащимися. При осуществлении этапа зак­репления полученного доказательства можно с помощью вопро­сов, обращенных к учащимся, снова «пройтись» по всему доказа­тельству, можно попросить объяснить отдельные шаги доказа­тельства, перечислить все аксиомы, теоремы и определения, ко­торые используются в доказательстве, выяснить, где использует­ся какое-либо данное, все ли условия оказались использованны­ми, какое и почему дополнительное построение оказалось полез­ным при поиске доказательства, в чем заключается основная идея доказательства, что оказалось несущественным для доказатель­ства и что может быть изменено, нет ли других способов доказа­тельства рассматриваемой теоремы, всегда ли полученное дока­зательство имеет смысл.

Повторение доказательства приобретает большую ценность, если оно варьирует обозначения на неизменном чертеже, а также сам чертеж.

Например, если теорема о сумме углов треугольника изучает­ся по чертежу, представленному на рис.2а, то закрепление полез­но провести по другому чертежу (рис.2б).

рис.2

Все рассмотренные этапы изучения теоремы имеют место при любом методе её преподнесения, как при частично-поисковом, так и при объяснительно-иллюстративном. Разница – в уровне активности и самостоятельности учащихся при получении доказательства теоремы.

Следующий этап изучения теоремы – закрепление и примене­ние самой теоремы. На этапе закрепления теоремы возможна работа над формули­ровкой теоремы, над ее запоминанием, обучение узнаванию изу­ченной теоремы в различных ситуациях и применению в простей­ших случаях и в различных комбинациях.

Поэлементной отработке каждого слова формулировки теоремы и ее запоминанию способствует компактный метод, когда формулировка теоремы, как и ранее введённых определений, разбиваются на составные части, про­износятся вслух и используются по частям. Такая работа способ­ствует и осознанию, и запоминанию теорем. Рассмотрим, как мо­жет проходить закрепление формулировки теоремы компактным методом на примере теоремы о трех перпендикулярах.

рис.3

Учитель вместе с учащимися разбивает формулировку теоре­мы на составные части и отмечает наличие каждой части в рас­сматриваемой ситуации (рис.3):

1) прямая, лежащая в плос­кости (показывает прямую PD); 2) перпендикулярная проекций наклонной (показывает проекцию и наклонную АВ); 3) прове­денная через основание наклонной (показывает точку В – основание наклонной);

4) перпендикулярна и самой наклонной (пока­зывает прямой угол АВD).

На этапе закрепления формулировки теоремы о трех перпен­дикулярах можно выяснить, является ли обязательным требова­ние прохождения прямой, лежащей в плоскости, через основание наклонной и принадлежности плоскости PCD. Получается более широкая формулировка теоремы.

Узнавание теоремы о трех перпендикулярах в различных си­туациях может быть организовано на следующих задачах:

1. SABC- пирамида с высотой SO. OD – перпендикуляр к АС. Доказать, что SD – высота боковой грани.

2. К плоскости треугольника АВС из центра О вписанной ок­ружности проведен перпендикуляр ОК. Окружность касается сто­рон АС, ВС и АВ соответственно в точках D, E, F. Каково взаимное положение прямых KD и АС, ВС и КЕ, АВ и KF ?

3. На изображении куба построить несколько прямых, перпен­дикулярных диагонали куба.

Узнаванию теорем в практических ситуациях, в частности те­оремы о трех перпендикулярах, будет способствовать выполне­ние задания: выяснить, какие условия несущественны для примене­ния теоремы, что можно варьировать в условиях задач, решае­мых с помощью рассматриваемой теоремы.

Еще один важный этап - этап систематизации знаний. Известно, что никакой факт нельзя считать усвоенным, пока он не занял определенного места в имеющейся системе знаний. Понимая взаимосвязи между теоре­мами, ученик может восстановить самостоятельно забытые фор­мулировки теорем, формулы. Для систематизации теорем важно выяснить место теоремы в системе других сведений: признаком или свойством какого из понятий является теорема, следствием каких теорем она является и что является ее следствиями. Напри­мер, нельзя считать знание теоремы косинусов систематизирован­ным, если учащиеся не понимают, что теорема Пифагора – част­ный случай этой теоремы. Для выяснения взаимосвязей между теоремами, для запоминания способов доказательства теорем полезно строить генеалогические деревья зависимостей между теоремами, например, для теоремы о косинусе разности двух уг­лов такая зависимость может выглядеть следующим образом:

Такая работа, особенно на начальных этапах обучения гео­метрии, способствует пониманию дедуктивного характера пост­роения самой геометрии.

Наличие всех рассмотренных этапов при обучении каждой тео­реме требует большого расхода времени. И в полном, разверну­том виде все этапы могут быть представлены лишь в отдельных, удобных для этого случаях. А в различных конкретных ситуаци­ях на первый план выдвигается то один, то другой этап, предпоч­тение отдается то поиску формулировки, то обучению записи по­лученного доказательства, то поиску идеи доказательства, то исследованию – в зависимости от требований ситуации и того, чему лучше всего может научить данная теорема.

Трудности и ошибки учащихся при применении теорем те же, что и при решении задач. Очень распространенной ошибкой яв­ляются смешивание определений и теорем, признаков и свойств понятий; использование вместо прямой теоремы обратной и на­оборот; использование в доказательстве теоремы, которую пред­стоит доказать; доказательство того, что дано в теореме; исполь­зование недоказанных утверждений и другие.

Все эти ошибки одного порядка – непонимание логики постро­ения курса, логических взаимосвязей между элементами теории. В этих условиях особое значение приобретают выполнение заданий на систематизацию понятий и теорем, выяснение логики построе­ния формулировки и доказательства теорем. При исправлении ло­гических ошибок учащихся необходимо учесть следующую реко­мендацию: замене неверных ответов на верные должны предше­ствовать совместный анализ учителем и учащимися неверных от­ветов и выявление допущенных ошибок. Обучение доказательству, выявление допущенных при доказательстве ошибок – составная часть важнейшей задачи развития логического мышления.

Выделим возможные уровни усвоения учащимися теорем. Учащийся: 1) правильно формулирует теоре­му, понимает каждое слово в формулировке; 2) может привести свой пример на применение формулировки; 3) может повторить доказательство; 4) понимает идею и план доказательства, может варьировать обозначения, чертеж, метод доказательства; 5) уз­нает и применяет теорему в знакомой ситуации; 6) узнает и приме­няет теорему в незнакомой ситуации.

Приведенные уровни усвоения теоремы являются перечисле­нием дидактических целей – целей обучения, которые учитель ставит на отдельных уроках по изучению той или иной теоремы. В соответствии с выделенными целями строится урок – выбира­ются методы и формы работы, строятся системы упражнений.

ПОДГОТОВКА УЧИТЕЛЯ К ДОКАЗАТЕЛЬСТВУ ТЕОРЕМ НА УРОКЕ

Приведем перечень основных действий, выполнение которых поможет учителю при подготовке к доказательству теорем на уроке.

1. Анализ формулировки теоремы. Выделение условия и заключения теоремы. Выяснение сущности каждого элемента формулировки.

2. Выяснение проблемы, приводящей к необходимости доказательства теоремы, значения теоремы в системе теорем раздела и всего курса.

3. Применение аналитико-синтетического метода при доказательстве теоремы. Подготовка аналитического рассуждения, позволяющего учащимся уяснить особенности и последовательность доказательства, необходимость тех или иных дополнительных построений.

4. Выяснение метода, идеи, приема и других особенностей доказательства.

5. Исследование математической ситуации, возникающей при доказательстве теоремы.

6. Выявление других возможных способов доказательства.

7. Расчленение доказательства теоремы на отдельные части, на отдельные логические шаги. Составление плана доказательства. Рациональная запись доказательства.

8. Выявление понятий, предложений, на которых основано доказательство теоремы. Выделение предложений, требующих повторения.

9. Разработка содержания подготовительной работы к доказательству теоремы, подбор упражнений и заданий, подготавливающих учащихся к ее восприятию.

10. Подбор упражнений, закрепляющих изученную теорему, выявляющих ее связь с другими предложениями.

Рассмотрим подробнее некоторые из этих пунктов.

АНАЛИЗ ФОРМУЛИРОВКИ ТЕОРЕМЫ И ВЫЯСНЕНИЕ ЕЕ ЗНАЧЕНИЯ В СИСТЕМЕ ДРУГИХ ТЕОРЕМ

Учитель должен провести анализ формулировки теоремы с целью выделения разъяснительной части, условия и заключе­ния теоремы, выяснить сущность каждого элемента формули­ровки, предусмотреть ошибки, которые могут допустить уча­щиеся в формулировке теоремы, и подготовить соответствую­щий контрпример.

В качестве иллюстрации к сказанному рассмотрим пример из курса геометрии 8 класса. В теме «Четыре замечатель­ные точки треугольника» изучаются следующие теоремы:

Теорема 1: Биссектрисы треугольника пересекаются в од­ной точке.

Теорема 2: Серединные перпендикуляры сторон треуголь­ника пересекаются в одной точке.

Теорема 3: Прямые, содержащие высоты треугольника, пересекаются в одной точке.

Теорема 4: Медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую медиану в отношении 2:1, счи­тая от вершины.

Анализ этих теорем показывает, что формулировка теоре­мы 3 отличается от формулировок других теорем, и это отли­чие состоит в том, что в теореме утверждается не о высотах треугольника, а о прямых, содержащих эти высоты.

Чтобы учащиеся осознали это отличие, а не формально за­учили формулировку теоремы, учитель может перед ее изуче­нием провести такую работу. Класс разбивается на три груп­пы. Одной группе предлагается построить высоты в остроуголь­ном треугольнике (рис.4а), а другой — в тупоугольном треугольнике (рис.4б). Третьей группе учащихся предлагается провести высоты в прямоугольном треугольнике. Если после этой работы попросить учащихся сделать вывод, то инициативу проявят ребята, работавшие с остроугольным тре­угольником. Как показывает практика, школьники предлагают такую формулировку теоремы: «Высоты треугольника пересе­каются в одной точке». Оппонентом в таком случае выступит та группа учащихся, которая проводила построение в тупо­угольном треугольнике. Учителю следует предложить этим ученикам продолжить высоты треугольника. Сравнение двух рисунков приведет учащихся к нужной форму­лировке.

Учитель понимает, что такие теоремы, как признаки равен­ства треугольников, признаки подобия треугольников, теоремы о параллельности прямых, о сумме внутренних углов треуголь­ника, теорема Пифагора и др., являются ведущими в курсе геометрии. Они служат аппаратом для изучения теоретических вопросов и решения задач. Такие теоремы, как теорема Пифа­гора и теорема о сумме углов треугольника, важны не только как «аппаратные» для решения задач, но именно как ведущие в идейном отношении.

Учитель, готовясь к уроку, на котором будет доказываться теорема, должен выявить понятия, теоремы, аксиомы, на ко­торых строится доказательство, и включить их в материал для повторения.

Актуализация необходимых понятий, теорем, аксиом мо­жет быть проведена непосредственно перед доказательством теоремы, или же это можно сделать на предыдущем уроке.

Рассмотрим доказательство теоремы о средней линии тре­угольника. Анализ показывает, что базисными элементами его будут следующие понятия и их свойства: треугольник, середи­на стороны, отрезок, средняя линия треугольника, равные отрезки, параллельные прямые, признак параллельности пря­мых, соответственные углы при двух прямых и секущей, подобные треугольники, второй признак подобия треугольни­ков, пропорция.

Такой разбор теоремы показывает, какие понятия будут ис­пользоваться при ее доказательстве, каковы взаимосвязи этих понятий и их свойств. Повторение необходимых понятий, свойств, теорем, аксиом можно организовать либо через целе­сообразно подобранную систему задач, либо в виде устной фронтальной работы.

ПРИМЕНЕНИЕ АНАЛИТИКО-СИНТЕТИЧЕСКОГО МЕТОДА ПОИСКА ДОКАЗАТЕЛЬСТВ ТЕОРЕМ

Почти все теоремы в школьном курсе геометрии доказываются синтетическим методом, но этот метод навязывает ученику готовое доказательство. Аналитический же метод позволяет учить поиску доказательства, он указывает, с чего можно начать и в каком направлении строить цепочки силлогизмов. При синтетическом методе до самого завершения доказательства мотивы построения цепочки силлогизмов остаются для учащихся скрытыми, и это приводит многих к мысли о том, что невозможно доказать теорему иначе, чем дано в школьном учебнике.

Все это говорит о том, что учитель должен подготовить аналитическое рассуждение, которое поможет ученикам уяснить последовательность шагов доказательства, необходимость тех или иных дополнительных построений, понять логику доказательства, увидеть его происхождение, вступить в диалог с творцом.

Рассмотрим для примера теорему, выражающую один из признаков параллелограмма: «Если в четырёхугольнике противоположные стороны равны, то этот четырёхугольник является параллелограммом».

Дано: ABCD – четырёхугольник, AB = CD, BC = AD.

Доказать: ABCD – параллелограмм (рис.5).

рис.5

Доказательство

Синтетический метод

1. Рассмотрим ABC и ACD. В этих треугольниках сторо­на АС — общая, AB = CD, AD = BC. По третьему признаку ра­венства треугольников имеем ABC=ACD.

2. Так как ABC=ACD, то в этих треугольниках против равных сторон лежат равные углы; из равенства AB = CD сле­дует, что ∠l = ∠2; из равенства BC=AD следует, что ∠3=∠4.

3. ∠3 и ∠4 — накрест лежащие углы при прямых АВ, CD и секущей АС, и они равны, а значит, прямые АВ и CD парал­лельны.

4. ∠1 и ∠2 — накрест лежащие углы при прямых ВС, AD и секущей АС, и они равны, а значит, ВС и AD параллельны.

5. Имеем четырехугольник ABCD, у которого противопо­ложные стороны попарно параллельны, и по определению де­лаем вывод, что четырехугольник ABCD — параллелограмм.

Аналитический метод

1. Нам нужно доказать, что четырехугольник ABCD явля­ется параллелограммом, т. е. мы должны показать, что он при заданных условиях удовлетворяет всем требованиям определе­ния параллелограмма: АВ || CD и BC || AD.

2. Чтобы доказать параллельность прямых АВ и CD, AD и ВС, достаточно доказать равенство накрест лежащих углов 3 и 4 при прямых АВ, CD и секущей АС и равенство углов 1 и 2 при прямых AD, ВС и секущей АС.

3. Чтобы доказать равенство углов 3 и 4, 1 и 2, достаточно доказать равенство треугольников, содержащих эти углы, т. е. надо доказать, что ABC = ADC.

4. Чтобы доказать равенство треугольников ABC и ADC, достаточно показать, что они удовлетворяют условиям одного из признаков равенства треугольников.

Аналитический метод позволил нам найти путь доказатель­ства. Теперь следует проделать обратный путь (4—3—2—1), и теорема будет доказана.

Этот пример показывает, что анализ и синтез выступают в единстве, вот почему метод доказательства теорем чаще всего называют аналитико-синтетическим.

ВЫЯСНЕНИЕ МЕТОДА, ИДЕИ, ПРИЕМА И ДРУГИХ ОСОБЕННОСТЕЙ ДОКАЗАТЕЛЬСТВА

Учитель, готовясь к уроку, на котором будет изучаться те­орема, должен выяснить метод, прием, идею и другие особен­ности доказательства.

Так, например, многие теоремы в школьном курсе матема­тики (около 30%) доказываются методом от противного, а поэтому при изучении таких теорем задача учителя — довести до созна­ния учащихся не только сами теоремы, но и метод, с помощью которого они доказываются. Вместе с учащимися может быть выработан план доказательства теоремы методом от противно­го. Он может быть таким:

1. строим отрицание того, что требуется доказать;

2. полученное отрицание присоединяем к условию теоремы и разворачиваем его, т. е. строим цепочку следствий;

3. ищем противоречие либо с условием, либо с известными свойством, теоремой, определением;

4. делаем вывод, что наше предположение неверно, а вер­но его отрицание, т. е. то, что требуется доказать.

Полезно обратить внимание на то, что чаще всего этим ме­тодом доказываются теоремы единственности и теоремы, свя­занные с параллельностью и перпендикулярностью прямых и плоскостей, а также обратные теоремы.

Следует заметить, что чем лучше учащиеся владеют раз­личными алгоритмами доказательства теорем, тем выше у них уровень умений осуществлять поиск доказательств.

Так, например, ряд теорем о метрических соотношениях в прямоугольном треугольнике и круге доказывается одинаково. Целесообразно на основе анализа доказательств этих теорем выработать совместно с учащимися алгоритм доказательства. Обучив учащихся пользоваться этим алгоритмом, мы воору­жим их обобщенным умением доказывать целую группу тео­рем. Покажем, как это может быть сделано.

Пусть требуется доказать, что в какой-то геометрической фигуре выполняется равенство ABCD = EMKT. Это равенст­во может следовать из пропорции АВ:КТ = ЕМ:CD, которая сама следует из подобия треугольников, стороны которых яв­ляются членами рассматриваемой пропорции. Следовательно, можно сделать вывод: для доказательства таких равенств на фигуре, соответствующей условию задачи, следует выделить или вновь построить треугольники, стороны которых являлись бы членами доказываемого равенства, установить подобие этих треугольников, записать пропорцию, из которой и получится доказываемое равенство. Знание такого алгоритма не исключа­ет возможности доказывать эти теоремы другим способом.

Знакомя учащихся с алгебраическим методом решения за­дач и доказательства теорем, целесообразно дать школьникам рекомендации, которые помогут им составлять уравнение. Для составления уравнения обычно используются теорема Пифагора, метрические соотношения в прямоугольном треугольнике, зависимость между сторонами и углами прямо­угольного треугольника, пропорциональность сторон, высот и периметров подобных треугольников, теорема о биссектрисе треугольника, теоремы синусов и косинусов, различные форму­лы для вычисления площадей. Суть же самого метода состоит в том, что один и тот же элемент выражается через известные и неизвестные величины двумя различными способами и полу­ченные выражения приравниваются одно к другому.

Относительно ведущего метода доказательства отметим сле­дующий факт: учащимся следует указывать методы решения (доказательства) задачи по той или иной теме. Так, например, основными методами решения задач по теме «Трапеция» явля­ются следующие:

• метод подобия;

• метод площадей (вычисляется площадь одной и той же фигуры различными способами, затем полученные выра­жения приравниваются и из этого равенства определя­ется искомый элемент);

• метод, основанный на использовании «специфики» тра­пеции (равнобедренная, прямоугольная, диагонали вза­имно перпендикулярны; можно описать окружность; можно вписать окружность; можно и вписать и описать окружность; продолженные боковые стороны перпенди­кулярны и др.).

ИССЛЕДОВАНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СИТУАЦИИ, ВОЗНИКАЮЩЕЙ ПРИ ДОКАЗАТЕЛЬСТВЕ ТЕОРЕМЫ

Готовясь к уроку, учителю надо исследовать математиче­скую ситуацию, возникающую при доказательстве теоремы, рассмотреть все возможные случаи.

Рассмотрим пример. В курсе геометрии 8 класса дока­зывается теорема о площади параллелограмма. Доказательство теоремы проводится с помощью следующего чертежа :

рис.6

На данном рисунке основание одной из высот ВН попало на само основание параллелограмма, а основание другой высоты СК лежит на продолжении основания параллело­грамма.

Возможны также случаи, когда осно­вания обеих высот будут лежать на про­должении основания параллелограмма (рис.7а) и когда основание одной из высот попадет в вершину параллелограмма (рис.7б).

рис.7

Доказательства в таком случае будут несколь­ко иными. В этом случае на уроке возможно провести подробное доказательство для одного случая, а два других дать на дом для отработки.

Чтобы подвести учащихся к этим случаям, можно перед изучением теоремы предложить им задание: «На рисунке заданы точки А, В, С (рис.8). Укажите местоположение точки D так, чтобы А, В, С и D были вершинами параллелограмма».

рис.8

Анализ ситуации должен привести учащихся к трем воз­можным решениям, показанным на рисунке 9.

рис.9

При работе над теоремой, задачей учитель должен учить детей зада­вать себе вопросы: «Можно ли построить другую фигуру, не равную найденной, но тоже удовлетворяющую условию зада­чи?», «При каких величинах заданных элементов нельзя по­строить заданную фигуру?» и т. д. Для этого учитель должен сначала задавать эти вопросы себе. Такие вопросы позволяют выявить различные ситуации, возможные при решении задачи и доказательстве теоремы.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В работе описана пропедевтическая работа по обучению учащихся доказательству теорем; показана работа учителя по подготовке к уроку, на котором будет доказы­ваться теорема; рассмотрен вопрос об организации деятельности учащихся по «открытию» формулировки теоремы и поиску способов и методов ее доказательства; описаны различные при­емы закрепления теоремы.

Обобщая вышесказанное можно сделать следующий вывод. Успех в обучении учащихся до­казательству теорем определяется не применением одного ка­кого-нибудь приема или метода, а системой преподавания в це­лом. В значительной степени этот успех зависит от того, на ка­ком уровне сформированы у учащихся такие интеллектуальные умения, как понимание предложенной задачи, умение сформу­лировать проблему, спланировать деятельность, выделить су­щественное в наблюдаемых явлениях, провести исследование, интерпретировать полученные данные, провести измерения в нестандартных ситуациях и пр.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Методика преподавания математики в средней школе: Общая методика: Учеб. посо­бие для студентов педагогических институтов/ Сост. Р. С. Черкасов, А. А. Столяр. — М.: Просвещение, 1985. – 336 с.

2. Груденов Я.И. Совершенствование методики работы учителя математики. – М.: Просвещение, 1990. – 223 с.

3. Далингер В. А. Методика обучения учащихся доказательству математических предложений: кн. для учителя. – М. : Просвещение, 2006. – 256 с.

4. Метельский Н. В. Дидактика математики: Общая методика и ее проблемы: Учеб. по­собие для вузов. — Мн.: БГУ им. В. И. Ленина, 1982. – 256 с.

12