Доклад Математика

1. Множеством называется такой класс или совокупность каких-либо объектов. Обладающий одним и тем же признаком, что объекты, не входящие в данную сов-ть таковыми признаком не обладает. Элементы множества(a,b.c.d). Способы задания множества: 1)множество может быть задано перес-ем всех эл-ов.2) множество м. б. задано характеристическими свойствами. Отношения между множествами:* Если множество А и В имеют общие элементы, то говорят, что эти элементы множества пересекаются. *не пересекаются. Подмножество множества А: * Если каждый эл-т множества В яв-ся эл-ом множества А, то говорят, что множество В яв-ся подмножеством, множества А.* Если А яв-ся множеством подмножеством В, а В яв-ся подмножеством А, то говорят А=В.

2. Пересечением множеств А и В наз-ся множество, содержащее все эл-ты, к-рые принадлежат множеству А и мн-ву В. Объединение множеств А и В наз-ся множество содержащее все элементы, к-рые принадлежат мн-ву А или принадлежат мн-ву В. Разность мн-в А и В наз-ся мн-во содержащие все эл-ты к-рые принадлежат мн-ву А, но не принадлежат мн-ву В. Декартово произведение множеств А и В наз-ся мн-во всех пар первые компоненты к-ых принадлежит мн-ву А, а второй компонент мн-ву В.

3. Соответствием между множествами  X и Y называется всякое подмножество декартова произведения этих множеств. Способы задания отношения: 1) перечислением пар декартового произведения X*X. 2) с помощью графа. 3) с помощью предложения с 2-мя переменными X.

4. Пусть S соответсвие между мн. X и Y, тогда Sˉ - это соответсвие обратно S , если ySˉxxSy. Примечание. Графики взаимообратных соответствий симметричные относительно 1и 3 координатных углов биссектрисы

5. Взаимно однозначным соответствием между множествами Х и Y  называется такое соответствие, при котором каждому элементу множества Х сопоставляется единственный элемент множества Y и каждый элемент множества Y соответствует только одному элементу множества Х.  Множества Х и Y называются равномощными, если между ними можно установить взаимно однозначное соответствие. Равномощными могут быть как конечные, так и бесконечные множества. Например, множество четных чисел и множество нечетных чисел. Если бесконечное множество равномощно множеству натуральных чисел N, то его называют счетным. Но среди бесконечных множеств можно найти и такие, которые не будут эквивалентны между собой. Например, множество натуральных чисел и множество всех точек  координатной прямой.

6. Математик а изучает связи между эл-ми 2-х множеств( соответствие), а так же связи между эл-ми 1-го множества( отношения). Если рассматривают отношения между двумя эл-ми мн-ва, то их называют бинарные отношения; между 3-мя эл-ми ториарные отношения; между n эл-ми n-арные отношения. Бинарные отношения на мн-ве x наз-ся всякое подмножество декартового произведения X*X. . Способы задания отношения: 1) перечислением пар декартового произведения X*X. 2) с помощью графа. 3) с помощью предложения с 2-мя переменными X.

7. Рефлексивность – отношение R на множестве Х назыв-ся рефлексивным, если о каждом эл-те мн-ва Х можно сказать, что он находится в отношении R с самим собой. Симметричность – отношение R на мн-ве Х наз-ся симметричным если выполняется след. условие: из того, что эл-т Х находится в отношении R с эл-ом Y , следует, что эл-т Y находится в отношении R с эл-ом Х R симметрично. Антисимметричность- отношение R на мн-ве Х называется антисимметричным, если для различных элементов Х и Y из множества Х выполнено условие: из того, что Х находится в отношении R с эл-ом Y, следует, что эл-т Y в отношении R с эл-ом Х не находится. Транзитивность – отношение R на мн-ве называется транзитивным, если выполняется условие: из того что эл-т Х находится в отношении R с эл-ом Y, и эл-т Y находится в отношении R с эл-ом Z, следует, что эл-т Х находится в отношении R с Z.

8. . Данное отношение обладает свойствами: рефл, симметрич, транзитив, следовательно это отношение эквивалетности.

9. Бинарное отношение a на множестве X называется отношением порядка, если оно транзитивно и антисимметрично. Множество X с определенным на нем отношением порядка называется упорядоченным множеством и обозначается .

10. Объем понятия – это множество всех объектов, обозначаемых одним и тем же термином. Содержание понятия – это множество всех существенных свойств объекта, отраженных в этом объекте.

11. Определение - это логическая операция раскрывается содержание понятия об объекте. Способы определения понятий различны. Различают явные и неявные определения. Явные определения имеют форму равенства, совпадение двух понятий. Например: Квадратом называется прямоугольник у которого все стороны равны. «квадрат» - это определяемое понятие. «прямоугольник» - это родовое понятие. « иметь ровные стороны» - видовое различие. Неявные определения: В структуре неявных определений нельзя выделить определяемое и определяющее понятия. Среди них различают контекстуальные и постенсивные определения. Контекстуальные – это содержание нового понятия через отрывок текста,через анализ конкретной ситуации. Постенсивные – используется для введения терминов путем демонстрации объектов, которые этими терминами обозначаются. Требования к определению понятия:* определяемое и определяющее понятия должны быть соразмерны. * в определении не должно быть порочного круга. * в определении должны быть указаны все свойства принадлежащие данному объекту.* в определении не должно быть лишних свойств.

12. Каждое математическое предложение характеризуется содержанием и логической структурой. Различают элементарные и составные предложения. Составные предложения образуются из элементарных с помощью логических связок.

13. Высказывание – это мат-ое предложение, относительно которого имеет смысл вопрос : истинно оно или ложно. Каждое высказывание либо истинно, либо ложное ,но быть одновременно и тем и другим оно не может. « Истина» и « ложь»- значение истинности высказывания.

14. Конъюкция, высказываний А и В – высказывания, истинное, тогда, когда оба высказывания истины, и ложно тогда, когда одно из этих высказываний ложны. Дизъюнкция высказываний А и В – это высказывание, истинное тогда и только тогда, когда хотя бы одно из высказываний истинно, и ложное, когда оба высказывания ложны. Отрицание высказываний А – это высказывание, истинное тогда, когда А ложно, и ложное, тогда когда А истинное. Импликация высказываний А и В – это высказывание, ложное тогда, когда А истинно В ложно, и истинное во всех остальных случаях. Высказывание А наз-ся условием, а высказывание В заключением. Эквиваленция высказываний А и В – конъюкция э-к взаимно обратных А =В и В =А. Эквиваленция истинна в том случае когда, высказывания А и В принимают одинаковые значения истинности и ложны в противоположном случае.

15.Высказывательная форма(предикат) – это предложение переменными, которое образуется в высказывание при подстановке в него конкретных значений переменных. Область определения Х высказывательной формы – это множество тех значений переменной, при которых высказывательная форма обращается в васказывание. Множеством истинности Т высказывательной формы – это множество тех значений переменной из области определения, при которых предикат, обращается в истинное высказывание.

16.Операции над высказывательными формами. Конъюкцией одноиместных высказ.форм А(х) и В(х) заданных на мн-ве х наз-ся высказ.форма А(х) ∧В(х),обращающиеся в истинное высказывание при тех и только тех значениях х∈Х ,при которых истинны оба предиката.Теорема.Мн-во истинности к.предикатов А(х) и В(х),заданных на мн-ве х,есть пересечение мн-в истинности предикатов А(х)и В(х).Дизъюнкция выс.форм А(х) и В(х)заданных на мн-ве Х,наз-ся выс.форма А(х) ∨В(х),обращаются в истинное высказывание при тех и только тех значениях х∈ Х,при которых истинны хотя бы один из предикатов.Теорема. Мн-во истинности Д.предикатов А(х)и В(х),заданных на мн-ве Х,есть объединение мн-в в истинности предикатов А(х)иВ(х).Отрицание одноиместных выс.форм заданных на мн-ве Х,наз-ся выс.форма А(х),истинная при тех знач х∈Х,при которых предикат А(х) ложен и наоборот.Теорма. Мн-во истинности отрицания предиката А(х),заданного на мн-ве Х,есть дополнение к мн-ву истинности предиката А(х) в мн-ве Х.Импликацией предикатов А(х) и В(х) наз-ся предикат А(х) =В(х),обращающийся в ложное высказ.при тех и только тех знач. х∈Х,при которых предикат А(х) истинен,а В(х) ложен. Теорма. мн-во истинности И. предикатов А(х)иВ(х),заданных на мн-ве Х,есть объединение мн-ва истинности предикатов В(х) к мн-ву истинности предикатов А(х). Эквиваленция-это логическая операция, ставящая в соответствие каждым двум элементарным высказываниям новое высказывание, являющееся истинным тогда и только тогда, когда оба исходных высказывания одновременно истинны или одновременно ложны. Эквивалентны ли высказывания, то есть одинаковы ли значения высказывани

17.Высказывания с квантором.Значения истинности высказываний,содержащий квантором.Выделяют кванторы общности и кванторы существованияКванторы общности:»любой», «всякий», «каждый», «всякий», «все».Кванторы сущ-ия: «сущ-ет», «некоторые», «найдётся», «хотя бы один».Кванторы обращают высказыва-тельную форму в высказывание-.Истин-ность высказ-й с квантором общности устанав-ся путём док-ва,чтобы убедиться в ложности,достаточно превести контр-пример.Истинность высказ-я с квантором сущ-я устанав-ся при помощи конкрет-го примера.Чтобы убедиться в ложности та-кого высказывания,необходимо провести док-ва.

19.Отношения следования и равносильности между предложениями.

Если А и В- высказывание,тогда говорят,что из А=B, если всякий раз,когда истинна А,истинна и В.Если А(х) и В(х)-высказ-е формы,тогда высказ-я форма В(х)=А(х),если В(х) обращается в истинное высказывание,при всех тех значениях х при которых А(х) истинно.Для обозначения отношения логического следования используется знак =.

Предложения А(х) и В(х) равносильны, если из предложения А(х) следует предложение В(х), а из предложения В(х) следует предложение А(х). Для обозначения отношения равносильности используется знак .

20.Строение теоремы,виды теорем. Закон контрапозации. Теорема-это высказывание, истинность которого устанавливается посредством рассуждения (док-ва).С логической точки зрения теорема представляет собой высказывание вида А ⇒В, где А и В-выс-ые формы с одной или несколькими переменными. Предложение А называют условием теоремы, а предложение В-ее заключением. Нап-р, условием теоремы «если четырехугольник яв-ся прямоугольником, то в нем диагонали раны» является предложение «четырехугольник – прямоугольник, а заключением – предложение «в таком четырехугольнике диагонали равны». Для всякой теоремы вида «если А, то В» можно сформулировать предложение «если В, то А», которое называют обратным данному. Однако не всегда это предложение является теоремой. Рассмотрим, например, теорему: «если четырехугольник является прямоугольником, то в нем диагонали равны». Построим предложение, обратное данному: «если в четырехугольнике диагонали равны, то четырехугольник является прямоугольником». Это высказывание ложное, в чем можно убедиться, приведя контрпример: в равнобедренной трапеции диагонали равны, но трапеция не является прямоугольником. Рассмотрим теперь теорему «в равнобедренном треугольнике углы при основании равны». Обратное ей предложение таково: «если в треугольнике углы при основании равны, то этот треугольник – равнобедренный». Оно, как известно, истинное и поэтому является теоремой. Ее называют теоремой, обратной данной. Для всякой теоремы вида «если А, то В» можно сформулировать предложение «если не А, то не В», которое называют противоположным. Но не всегда это предложение является теоремой. Например, предложение, противоположное теореме «если четырехугольник является прямоугольником, то в нем диагонали равны», будет ложным: «если четырехугольник не является прямоугольником, то в нем диагонали не равны».В том случае, если предложение, противоположное данному, будет истинно, его называют теоремой, противоположной данной. Для всякой теоремы вида «если А, то В» можно сформулировать предложение «если не В, то не А», которое называют обратным противоположному. Например, для теоремы «если четырехугольник является прямоугольником, то в нем диагонали равны» предложение, обратное противоположному, будет таким: «если в четырехугольнике диагонали не равны, то он не является прямоугольником». Это, как известно, предложение истинное и, следовательно, является теоремой. Ее называют обратно противоположной данной. имеется следующая равносильность:(А⇒В)⇔(В⇒А).Эту равносильность называют законом контрапозиции. Мы принимаем его без доказательства. Согласно этому закону, предложение, обратно противоположное какой-либо теореме, также является теоремой, и, значит, вместо данной теоремы можно доказывать теорему, обратно противоположную данной.

21.Умозаключение,его структура и виды. Умозаключение –это форма мышления, посредством которой из одного или нес-колько суждений выводится новое знание. Посылками умозаключения называют ис-ходные суждения, из которых выводится новое суждение.Заключение представляет новое суждение, полученное логическим путем из посылок.Логический переход от посылок к заключению называется выво-дом.В структуре У.различают :Посылки - это исходное, уже известное знание, служа-щее основанием для умозаключен-ия.Зак-лючение (или вывод) - производное и при-том новое знание, полученное из посылок и выступающее их следствием.Все У делятся на виды:I. По строгости правил выво-да различают демонстративные(достоверные, необходимые) и недемонстративные (правдоподобные)умозаключения.Демон-

стративными У наз-ют, в которых заклю-чение с необходимостью следует из посы-лок. Недемонстративными наз-ся У, в ко-торых правила вывода, обеспечивают лишь вероятностное следование заключения из посылок.II. Понаправленности логичес-кого следования : дедуктивные, индук-тивные и традуктивные .Дедуктивным У наз-т, в котором переход от общего знания к частному является логически необхо-димым.Индуктивным наз-ся, в котором содержится эмпирическое обобщение от знания меньшей степени общности к знан-ию большей степени общно-сти.Традук-тивным наз-ся , в котором вывод о принад-лежности единичному предмету опре-деленного признака делается на основе сходства этого предмета в существенных признаках с другим единичным предметом.

Заключение в дедуктивных умозак-лючениях всегда носит необходи-мый характер, т.е. гарантирует истинность заключения из истинных посылок.

22.Схемы дедуктивных(правильных) рассуждений.Умозаключение-способ получения нового знания на основе неко-торого имеющегося.Правильность умозак-лючения определяется его формой и не за-висит от конкретного содержания входя-щих в него утверждений.Дедуктивным на-зывается умозаключение,в котором посыл-ки и заключение находятся в отношении л-огического следования..

Пример:

Если число оканч-ся на 0,значит оно делится на 10(правило заключения).

Если число х оканч-ся на 0,то делится на 10,число не делится на 10,то не оканчивается на 0.-правило отрицания.