Доклад «Применение степенной, показательной логарифмической функции для решения прикладных задач»

Выступление на слете учителей математики в 2016 году (апрель)

Элективный курс Избранные вопросы математики является безоценочным, но результатом усвоения курса является зачет. Так как центральной линией содержания образования по учебнику Ю.М.Колягина в 10 классе является функция, то в качестве зачетной работы по элективному курсу мы также выбрали тему: «Применение степенной, показательной логарифмической функции для решения прикладных задач». Выбор темы учебного проекта обусловлен так же недостатком времени на уроках алгебры на рассмотрение прикладных задач учебника и вопроса в целом. Хочу представить вам своих учеников 10б класса информационно-технологической группы, которые, впрочем, сами обо всем расскажут.

Выступления обучающихся:

Мы представляем муниципальное бюджетное образовательное учреждение средняя общеобразовательная школа № 1 г. Кемь

Авторы проекта: учащиеся 10 «б» класса: Аверков В., Алькина В., Давыдов Т., Дементьев Д., Зайцева Т., Смолин Денис, Смолин Даниил.

Учебный проект

«Применение степенной, показательной и логарифмической функций при решении прикладных задач»

Слова Альберта Эйнштейна “Весь наш предшествующий опыт приводит к убеждению, что природа является осуществлением того, что математически проще всего представить” мы считаем, соответствуют той цели, которую мы перед собой поставили.

Цель: выявить науки и области человеческой деятельности, в которых степенная, показательная и логарифмическая функции нашли свое практическое применение.

Задачи:

• Дать определение и сформулировать свойства степенной, показательной и логарифмической функций, взаимно обратных функций на примере показательной и логарифмических функций;

• Найти сведения из истории развития степенной, показательной и логарифмической функций, узнать имена великих математиков, которые занимались изучением этих функций;

• Рассмотреть применение степенной, показательной и логарифмической функций в точных и естественных науках;

• Рассмотреть применение свойств функций при решении прикладных задач, предложенных в учебнике «Алгебра и начала математического анализа» 10 класс (базовый и профильный уровни), авторы : Ю. М. Колягин, М. В. Ткачева и др. и решить эти задачи.

Гипотеза: существует процессы во многих сферах жизни человека, которые описываются степенной, показательной и логарифмической функциями.

Мы не будем говорить об общем виде и свойствах функций, а приведем только некоторые примеры применения функций в жизни человека

СТЕПЕННАЯ ФУНКЦИЯ (Аверков Всеволод, Давыдов Тимофей)

ПЛАН ИССЛЕДОВАНИЯ

1. Общий вид функции и ее свойства

2. Из истории развития функции

3. Применение функции в точных и естественных науках

4. Применение функции при решении прикладных задач (№ 22, 23 стр. 176) решить задачи: написать формулы, построить графики.

Исследуя историю развития степенной функции мы узнали, что французские математики Рене Декарт и Пьер Ферма часто пользовались в своих научных поисках параболой и окружностью для нахождения на плоскости корней уравнений высоких степеней, упрощая поиск введением вспомогательных кривых более низкого порядка. А график функции у=х³ французский математик, родоначальник начертательной геометрии Гаспар Монж использовал для нахождения действительных корней кубических уравнений.

Степенная функция нашла свое применение в физике: квадратичная - это траектория струй воды, график равноускоренного прямолинейного движения, изменения потенциальной энергии. Параболы широко используются в технике: существуют специальные параболические зеркала. Многие функциональные зависимости выражаются через степенную функцию, например, объем куба V зависит от длины ребра х и выражается формулой V=x³, период Т колебаний математического маятника зависит от длины нити L =2зависимость давления газа от его объема при сжатии и расширении.

Кубическая парабола (у=х³) применяется, например, при конструировании железных дорог – как «вставка», смягчающая крутой поворот рельс от прямого участка к круговому участку пути, график функции Развитие организма в биологии имеет вид кубической параболы.

Мы обратили свое внимание на задачи в учебнике, где необходимо применить свойства степенной функции, это задачи 22 и 23 на стр 176.

ЗАДАЧА 22

1. Построить схематически график изменения веса тела, как функции его расстояния от центра Земли, предполагая, что на поверхности Земли вес тела равен 100 кг.

2. Вычислить, на каком расстоянии от центра Земли, но над ее поверхностью, тело будет иметь тот же вес что и на расстоянии 1600 от центра Земли? Диаметр равен 12800 км.

Для построения графика функции мы записали формулу и с помощью программы EXCEL построили график.

Для решения 2 части задачи: Решение: 1) Так как вес тела на поверхности Земли (h=6400 км) равен 100 кг, то зависимость задается формулой P=1/64*h (k=1/64) при hR

2)Найдем теперь k при hR: из условия р=k/(h*h) и , р(6400)=100 получим k=64²×10⁶ , тогда P=(64²×10⁶ )/(h*h)

3) Построим таблицу значений функции Р(h), используя для этого программу Excel.

Из таблицы видно, что тело будет иметь одинаковый вес на расстоянии 1600 км и на расстоянии 12800 км от цента Земли. Чтобы найти расстояние от поверхности Земли, нужно:12800-6400= 6400 км .

Ответ: тело будет иметь тот же вес что и на расстоянии 1600 от центра Земли , если оно будет находиться на расстоянии 6400 км от поверхности Земли

Задача 23

1. Изобразить схематически график изменения веса тела человека на высоту h=0; R;2R;3R;..

2. На какой высоте над поверхностью Земли вес тела уменьшится вдвое?

1. Формула зависимости

График изменения веса тела человека при подъёме на расстояние h, равное 0, R, 2R, 3R…, где R – радиус Земли будет выглядеть следующим образом, его мы построили, используя Excel:

2. Чтобы вычислить, на какой высоте над поверхностью Земли вес тела уменьшится вдвое, мы сделали следующее

1)Так как вес уменьшится вдвое, то составим выражение

2)Вследствие упрощения получаем такое выражение

Следовательно h»2650 км

ОТВЕТ: 2650 км

ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ ФУНКЦИЯ (Дементьев Дмитрий, Смолины Денис и Даниил)

ПЛАН ИССЛЕДОВАНИЯ

1. Общий вид функции

2. Из истории развития функции

3. Применение функции в точных и естественных науках

4. Применение функции при решении прикладных задач (рассмотреть задачи 2,3, стр. 213, № 18,19, 20 стр. 216) решить задачи: написать формулу, построить график

Впервые использование неизвестного числа в показателе степени можно найти в переписке немецкого физика, математика и философа Г. Лейбница и голландского ученного Х. Гюйгенса, которая состоялась в 1679 г.

В XVII в. Европейские математики еще не имели строгой теории действительных чисел, поэтому могли изучать лишь отдельные части функции.

В начале XVIII века были получены разложения всех стандартных функций и многих других. Благодаря, в основном, Эйлеру (1748) были уточнены их определения. Эйлер впервые ясно определил показательную функцию, а также логарифмическую как обратную к ней, и дал их разложения в ряд. 

Только в XIX в., когда с помощью теории пределов удалось ввести понятие степени с действительным показателем, возможным стало и строгое обоснование всех свойств показательной функции.

Примеры явлений, протекающих по законам показательной функции, встречаются в БИОЛОГИИ

Количество бактерий N в определенной среде за время t вычисляется по формуле N=N₀a^kt

где N₀ - начальное количество бактерий, а и k – некоторые постоянные.

Примером быстрого размножения бактерий является процесс изготовления дрожжей, при котором по мере их роста производится соответствующая добавка перерабатываемой сахаристой массы.

Увеличение массы дрожжей выражается показательной функцией m= m0(1,2)^t,

где m0– масса дрожжей в процессе дрожжевания. Вычислим m, если m0=5 кг, и t=2 ч.

Решение.

Вычислив массу дрожжей в процессе дрожжевания:

m = 5 * (1,2)²= 7,2 кг

Ответ : 7,2 кг, т. е. масса дрожжей увеличится примерно в 1,5 раза.

ФИЗИКЕ:

1. Изменение атмосферного давления p в зависимости от высоты h над уровнем моря описывается по формуле: p=p₀a^h

где p₀ – атмосферное давление над уровнем моря, a – некоторая постоянная.

1. При создании вакуума конечное давление p в определенной емкости связано с начальным давлением p₀ формулой:

где V – объем газа, подлежащий откачиванию, q – объем газа, откачиваемый за один шаг насоса, n – количество шагов поршня насоса за единицу вакуумирования, t – время вакуумирования.

В качестве практического приложения функций мы рассмотрели задачи из учебника

1. Задача № 18 стр. 216

На некотором лесном участке можно заготовить 4*10⁵ м³ древесины, Ежегодный прирост деревьев равен 4%. Сколько можно заготовить древесины на этом участке через 5 лет?

По формуле ,где n – количество лет, – сколько древесины можно заготовить за 1 год, р – ежегодный прирост (%), найдем сколько древесины можно заготовить за 5 лет.

А= 4*10⁵*(1+0,04)⁵=4,86*10⁵ м³

Подставим данные значения:

Ответ: 486000 кубических метров древесины можно заготовить на этом участке через пять лет, т. е. на 86000м³ больше.

На графике показательной функции наблюдается прирост заготовок древесины в течение 25 лет

1. Задача стр. 213

Изменение массы радиоактивного вещества происходит по формуле m(t) =m₀ ( , где

m₀ – масса вещества в начальный момент  t = 0, 
m – масса вещества в момент времени t, 
T – период полураспада (промежуток времени, за который первоначальное количество вещества уменьшается вдвое).  

Период полураспада плутония T=140 суткам. Построим график радиоактивного распада плутония и определим, какой станет масса m плутония через 10 лет, если его начальная масса m₀=8 г?

График будет задаваться функцией m=8*(0,5)^t/140

С помощью программы EXCEL составим таблицу зависимости массы плутония (m) в граммах от времени (t) в днях и построим график. График показывает, что изменение массы плутония происходит по свойству показательной функции с основанием, меньшим 1.

Ответ: Через 10 лет масса плутония будет равна m0,00000011345 грамма.

1. Задача 20 стр. 216.

В 1772 году немецкий астроном И. Э. Боде (1747-1826) составил следующую таблицу:

К тому времени были известны только перечисленные в таблице 6 планет. Боде оставил в таблице 5 пустое место, так как полагал, что n-я планета находится на расстоянии

L= и что 5 планета еще не обнаружена.

Теперь вычислим расстояния данных планет до Солнца (L) по формуле Боде и построим график с помощью Excel.

Вывод: 1) Формула достаточно точна, особенно для Венеры, Земли и Юпитера.

2) Между Марсом и Юпитером нет планеты. На ее месте был обнаружен пояс астероидов

Вычислим расстояние от Солнца до Урана, Нептуна и Плутона, которые находятся на расстоянии 19,2; 30,0; 39.5 астрономических единиц соответственно.

Вывод:

1. Задача 19 стр. 216

Логарифмическая функция (Алькина Валерия, Зайцева Татьяна)

ПЛАН ИССЛЕДОВАНИЯ

1. Понятие обратимой функции, свойства взаимно обратных функций на примере показательной и логарифмической функций

2. Из истории развития функции

3. Применение функции в точных и естественных науках

4. Применение функции при решении прикладных задач (рассмотреть задачи 4 стр. 238, № 62 (изменив ее условие по данным города Петрозаводска), № 68 стр. 239-240)решить задачи: написать формулы, построить графики, для решения задачи № 68 написать программу на языке Паскаль.

Вспомнив определение обратимой функции, мы рассмотрели свойства логарифмической функции, как обратной к показательной, построили их графики исходя из симметричности относительно прямой y= x.

Из истории развития логарифмической функции мы узнали, что в 1614 году шотландский математик-любитель Джон Непер опубликовал на латинском языке сочинение под названием «Описание удивительной таблицы логарифмов». В нём было краткое описание логарифмов и их свойств. Термин логарифм, предложенный Непером, утвердился в науке. Уже спустя 5 лет, в 1619 г., лондонский учитель математики Джон Спайделл переиздал таблицы Непера, преобразованные так, что они фактически стали таблицами натуральных логарифмов. Термин «натуральный логарифм» предложил итальянский математик Пьетро Менголи в середине XVI века

В 1620-е годы Эдмунд Уингейт и Уильям Отред изобрели первую логарифмическую линейку, до появления карманных калькуляторов служившую незаменимым расчётным орудием инженера.

Законченный вид теории логарифмической функции придал выдающийся математик XVIII в. Л. Эйлер (1707 – 1782). Ему принадлежат общие определения показательной и логарифмической функций как взаимно обратных, а также введение числа e.

В ХХ веке Владимир Модестович Брадис придумал способ, позволяющий до минимума сократить утомительные расчеты. Выбрать наиболее необходимые для инженерных расчетов функции, один раз посчитать их значения с приемлемой точностью в широком интервале аргументов. А результаты расчетов представить в виде таблиц. Кропотливых расчетов В.М. Брадису предстояло проделать много. Но они экономили массу времени всем последующим пользователям его таблиц. Эти таблицы стали советским бестселлером. С 1930 года их издавали едва ли не ежегодно в течение тридцати лет. Эту книжку читали миллионы. Школьники, студенты, инженеры – таблицы Брадиса были у всех.

«Без знания математики нельзя понять ни основ современной техники, ни того, как ученые изучают природные и социальные явления»

Колмогоров. А.Н

Логарифмическая функция применяется в разных науках. Рассмотрим лишь некоторые примеры:

Широкое применение нашла логарифмическая функция в АСТРОНОМИИ: Например по ней изменяется величина блеска звезд.

Логарифмическая функция в науке: БИОЛОГИЯ Рассматривая устройство уха, можно заметить орган, который называется улиткой. Название вполне оправдано, так как форма этой части действительно напоминает улитку. Она напоминает спирально закрученную трубку. Контур «улитки» можно соотнести с логарифмической спиралью в математике. Первым ученым, открывшим эту удивительную кривую, был Рене Декарт.

Раковины многих моллюсков, улиток, а так же рога таких млекопитающих как архары (горные козлы), закручены по логарифмической спирали.

Семечки в подсолнухе расположены по дугам, так же близким к логарифмической спирали. паутина, сплетаемая одним из наиболее распространенных пауков

Если взглянуть на форму многих галактик, то можно обнаружить, что некоторые из них имеют форму логарифмической спирали.

Логарифмическая функция в науке: ХИМИЯ

Наверно все неоднократно встречались с пометкой pH на моющих средствах.

В химии эту пометку принято называть водородным показателем.

За что же он отвечает?

Водородным показателем pH называется отрицательный десятичный логарифм концентрации ионов водорода. Переводя на доступный язык, можно сказать, что с помощью водородного показателя определяется уровень кислотности среды.

Пусть в начальный момент времени имелось q единиц некоторого компонента, В некоторый другой момент времени t имеющийся компонент изменился в p раз. Установите, через какой промежуток времени (начиная с начального момента) этот компонент достигнет заданного количества B единиц.

Существует формула, вывод которой мы здесь опустим х=. Используя эту формулу решим задача 1 (биология): В начальный момент времени было 8 бактерий, через 2 ч после помещения бактерий в питательную среду их число возросло до 100.Через сколько времени с момента помещения в питательную среду следует ожидать колонию в 500 бактерий?

Решение.

q=8, t=2, p=100/8, B=500.Используя формулу х=, находим, что колония в 500 бактерий образуется примерно через 3 ч. 15 мин

С помощью логарифмов ученые научились определять точный возраст ископаемых пород и животных. Наиболее распространен радиоуглеродный анализ.

Задача 2 (химия):

Известно, что соотношение между углеродом C¹² и его радиоактивным изотопом C¹⁴ во всех живых организмах постоянно. Период полураспада углерода C¹⁴ составляет 5760 лет. Определите возраст остатков мамонта, найденных в вечной мерзлоте на Таймыре, если относительное содержание изотопа C¹⁴ в них составляет 26% от его количества в живом организме.

Решение.

Пусть изначально изотопа C¹⁴ было m, получим q = m, t = 5760, p = 1/2, B = 0,26m, и значит,

Используя формулу х=, находим, что возраст останков мамонта составляет примерно 11200 лет.

Логарифмическая функция в науке: ГЕОГРАФИЯ

Для планирования развития городов, других населенных пунктов, строительства жилья, дорог, других объектов мест проживания людей, необходимы расчеты – прогнозы на 5, 10, 20 лет вперед. Покажем, как в таких расчетах применяются логарифмы. 

Задача (№ 62 стр. 239)

Численность населения Петрозаводска в 2013 году составила 268 946 человек, а в 2014 году составила 272 101 человек. Через сколько лет население этого города увеличится в 1,5 раза?

(Данные количества жителей города Петрозаводска взяты из федеральной службы государственной статистики. Официальный сайт службы Росстата www.gks.ru . Так же данные были взяты с единой межведомственной информационно-статистической системы, официальный сайт ЕМИСС www.fedstat.ru )

Решение:

Для решения этой задачи применим формулу сложных процентов: . Примем население города, которое было, за а = 268 946, тогда А = 272 101 – это население, которое стало, х -неизвестно.

р= (0,3%

Сделав подстановку в формулу, получим

268 9461,5 =

Чтобы решить это показательное уравнение прологарифмируем его.

xlg 1,003=lg1,5, откуда x =lg 1,5 /lg1,003

Найдя по таблице lg1,5 и lg1,003 , получим

x=0,18/0,001≈180.

Ответ : примерно через 180 лет

Логарифмическая функция в науке: ЭКОНОМИКА

Широкое применение нашла логарифмическая функция и в экономике. Например, капитал, приносящий 5%, увеличивается ежегодно в 1,05 раза – не слишком впечатляющее возрастание, но если рассматривать его на промежутке в несколько лет, а также рассматривать размер этой суммы через более долгий срок, то увеличение будет более чем значительным.

ЗАДАЧА (стр. 238): Как известно, двухпроцентный вклад в сбербанк, равный а рублям, через n лет становится равным a (1,02)ⁿ, а трехпроцентный вклад становится равным а (1,03)ⁿ (по формуле сложных процентов)Через сколько лет каждый из вкладов удвоится?

Решение:

1) Для первого вклада 2а = а(1,02)ⁿ, откуда (1,02)ⁿ = 2, n=log_1,022. Проведя вычисления на микрокалькуляторе, получим log_1,022  35,002788.

2) Для второго вклада n = log_1,032. Вычисления на микрокалькуляторе показывают, что log_1,032  23,449772.

Ответ: по первому вкладу примерно через 35 лет, а по второму – через 23,5 года.

График изменения вклада построен, наблюдается увеличение вклада в соответствии со свойствами логарифмической функции с основанием, большим 1.

Задача № 68 стр. 240:

Для приближённого вычисления значения числа e используется формула:

e

Для вычисления e предлагается использовать микрокалькулятор, но для его вычисления можно использовать язык Паскаль.

program prog;

var e,c: real; n,i: integer;

begin

e:=2; c:=1;

readln(n);

for i:=1 to n-1 do begin

c:=c*1/(i+1);

e:=e+c;

end;

writeln('e=',e); end.

Задавшись целью выявить науки и области человеческой деятельности, в которых степенная, показательная и логарифмическая функции нашли свое практическое применение и определив задачи (найти сведения из истории развития степенной, показательной и логарифмической функций, узнать имена великих математиков, которые занимались изучением этих функций; рассмотреть применение степенной, показательной и логарифмической функций в точных и естественных науках) мы провели исследовательскую работу и выяснили, что степенная, логарифмическая и показательная функции имеют прикладное значение в следующих областях естествознания: физике, химии, биологии, географии, астрономии, экономике. Еще мы решили наиболее важные на наш взгляд задачи практического содержания, в которых нашли применение степенная, логарифмическая и показательная функции и их свойства.