Доклад "Решение банковских задач"

Как научиться решать любую банковскую задачу?

В ЕГЭ по профильной математике есть задача под номером 16, к которой школьник почти готов сразу после освоения материала для первых 12-ти заданий.

Как научиться решать экономическую (банковскую) задачу в ЕГЭ по математике

Прототипы для 16-го номера делятся на три большие группы: 

• банковские задачи, 

• на ценные бумаги,

• задачи на оптимальный выбор. 

Сегодня я расскажу, как научиться структурировать условие любой банковской задачи, как составить по этим данным математическую модель и найти решение.

Главная трудность — школьник плохо понимает условие, ведь с кредитами и вкладами он пока не сталкивался.

• Как работает процент по кредиту?

• На какую сумму начисляется?

• Из каких частей состоит платеж?

• Как уменьшается долг?

С чего начать разбор экономической (банковской) задачи в ЕГЭ по математике

Экзамен немного утрирует реальную ситуацию, в жизни кредит работает сложнее. Однако грустно упускать возможность узнать что-то из реальности! Вот кое-какие сведения из опыта кредитования:

• Например клиенту придется сверх купить страховку на случай потери работоспособности, ведь банк не хочет терять прибыль даже если на заемщика кирпич упадет. Вы знаете, как работает страховка?

• Механизм аннуитетного платежа: часть денег банк забирает себе в качестве дохода, то есть на погашение процентов за пользование кредитом; а на вторую часть уменьшает ваш долг. В реальности это разделение считается по специальной формуле, и совсем не в пользу заемщика.

• Например в ипотеке на 10 лет из 20 тысяч ежемесячного платежа на первых порах всего 5 000 рублей идет в счет уменьшения долга, а 15 000 — забирает себе банк! Но каждый раз платеж чуть ребалансируется, и в счет долга идет чуть больше. Так в последних платежах через 10 лет в счет процентов идет буквально пара сотен, а все остальное гасит долг. 

Сейчас я поделюсь методическими находками, которые я применяю при изучении данных задач.

Знакомство с экономическими задачами повышенного уровня сложности я начинаю с решения простейших задач на проценты. Вначале мы вспоминаем, что 1% — это одна сотая часть от чего-либо. В задачах, и в жизни часто говорится об изменении какой-либо величины на определенный процент. Разбираем, что это значит?

Понижение цены на 27% означает, что от прежней цены Х убрали 0,27х или прежнюю цену х умножили на 0,73. Наоборот, повышение на 19% означает, что прежняя цена увеличилась на 19%. Если цена была Х, то новая цена составит х + 0,19х = 1,19х. Это является основой для решения простых экономических задач ЕГЭ, причем в условиях задач даны определенные жизненные ситуации из жизни, с которыми ученики уже встречались или им предстоит встретиться в ближайшем будущем.

Рассмотрим примеры задач разного типа из открытого банка заданий ЕГЭ:

1. Пачка сливочного масла стоит 120 рублей. Пенсионерам магазин делает скидку 5%. Сколько рублей стоит пачка масла для пенсионера?

Решение.

Скидка на пачку сливочного масла составляет 120 · 0,05 = 6 рублей. Значит, пенсионер за пачку масла заплатит 120 − 6 = 114 рублей.

Ответ: 114.

2. Кроссовки стоили 1600 рублей. После снижения цены они стали стоить 1360 рублей. На сколько процентов была снижена цена на кроссовки?

Решение.

Цена на кроссовки была снижена на 1600 − 1360 = 240 рублей. Разделим 240 на 1600:

240 : 1600 = 0,15.  Значит, цена на кроссовки была снижена на 15%.

Ответ: 15.

Легко? Да, легко. Однако не будем спешить. Даже среди подобных задач встречаются интересные и не столь простые задачи, вот пример такой задачи:

В городе N живет 300000 жителей. Среди них 20% детей и подростков. Среди взрослых 35% не работает (пенсионеры, студенты, домохозяйки и т.п.). Сколько взрослых жителей работает?

Решение.

Численность детей в городе N составляет 300 000 · 0,2 = 60 000. Численность взрослого населения 300 000 − 60 000 = 240 000 человек. Из них не работает 240 000 · 0,35 = 84 000 человек. Значит, работает 240 000 − 84 000 = 156 000 человек.

 Ответ: 156 000.

Для закрепления подобных задач прорешиваем достаточное количество заданий ЕГЭ из открытого банка и только потом переходим к решению сложных задач.

Для решения задач с экономической направленностью повышенного уровня я формулирую несколько важных правил:

1. За 100% мы принимаем ту величину, с которой сравниваем.

2. Если величину х увеличить на р процентов, получим

3. Если величину х уменьшить на р процентов, получим

4. Если величину х увеличить на р процентов, а затем уменьшить на q процентов, получим

5. Если величину    дважды увеличить на    процентов, получим

6. Если величину    дважды уменьшить на    процентов, получим

Затем мы применяем эти формулы для решения задач из профильного ЕГЭ.

1. В 2021 году в городском квартале проживало 40 000 человек. В 2022 году, в результате строительства новых домов, число жителей выросло на 8%, а в 2023 году на 9% по сравнению с 2022 годом. Сколько человек стало проживать в квартале в 2023 году?

Решение.

По условию, в 2022 году число жителей выросло на 8%, то есть стало равно 40000 · 1,08, а в 2023 году число жителей выросло на 9%, теперь уже по сравнению с 2022 годом, значит в 2024 году в квартале стало проживать 40000 · 1,08 · 1,09 = 47088 жителей.

Ответ: 47 088.

  2. В понедельник акции компании подорожали на некоторое количество процентов, а во вторник подешевели на то же самое количество процентов. В результате они стали стоить на 4% дешевле, чем при открытии торгов в понедельник. На сколько процентов подорожали акции компании в понедельник?

Решение.

Пусть при открытии торгов в понедельник акции стоили х рублей.

К вечеру понедельника они подорожали на р % и стали стоить 

Теперь уже эта величина принимается за 100%, и к вечеру вторника акции подешевели на р% по сравнению этой величиной. По условию, акции в итоге подешевели на 4%. Получаем, что 

Поделим обе части уравнения на х (ведь он не равен нулю) и применим в левой части формулу сокращенного умножения.

По смыслу задачи, величина р положительна.
Получаем, что р = 20.

Ответ: Подорожали на 20%.

На решение таких задач уходит много времени, поэтому я предлагаю учащимся дома ознакомиться с условием задачи, которую мы будем решать на следующем занятии и наметить план решения. А уже затем мы вместе обсуждаем предложения  и идеи учащихся, учимся искать нужную информацию в тексте, аргументировать свою точку зрения. Разбираем, какие ошибки допущены в решении, какие можно было допустить и каким образом не допустить этих ошибок, обсуждаем возможности  решения другими  способами.

Я заметила, что большую часть экономических заданий составляют банковские задачи на кредиты и вклады, а также начисление процентов.

Поэтому на своих занятиях перед решением таких задач мы рассматриваем основные понятия и формулы, которые используются в задачах. Также к отдельным задачам привожу дополнительную информацию, разъясняющую условие и способы решения задач.

Прежде чем браться за реальные задания ЕГЭ, рассмотрим – как вообще работает банк?

Доход банка образуется в виде разницы между процентом кредита и процентом вклада. Например, клиент банка положил на свой сберегательный счет 100 тысяч рублей под 10% годовых – то есть открыл вклад. Через год он может получить в банке 100 · 1,1 = 110 тысяч рублей. Другому клиенту, наоборот, нужны 100 тысяч рублей. Банк выдает ему кредит под 30% годовых, и теперь этот клиент должен вернуть банку 100 · 1,3 = 130 тысяч рублей. Таким образом, прибыль банка составит 130 – 110 = 20 (тысяч рублей).

Конечно же, процентные ставки банка по кредиту выше, чем процентные ставки по вкладу.

Рассмотрим следующую задачу на кредиты.

В июле 2024 года планируется взять кредит на пять лет на сумму 1100 тыс. рублей. Условия его возврата таковы:

- каждый январь долг будет возрастать на 20% по сравнению с концом предыдущего года;

- с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга;

- в 2025, 2026 и 2027 годах сумма долга не изменяется;

- платежи в 2028 и в 2029 годах должны быть равны;

- к июлю 2029 года долг должен быть выплачен полностью.

На сколько рублей будут отличаться первый и последний платежи?

Мне удобнее при решении задач данного типа представить ситуацию, описанную в задаче и её моделирование с помощью таблицы.

Решение.

Кредит взят в июле 2024 года, то есть в этот год не производятся никакие выплаты и не начисляются проценты. Обозначим равные в 2028 и 2029 годах выплаты за S₁ тыс. рублей.

По условию в 2025, 2026 и 2027 годах долг остается равным S = 1100 тыс. рублей.

Составим таблицу на основе этих данных:

По условию задачи долг был погашен полностью, значит,

1,2(1,2S - S1) - S1 = 0 → S1 = 36/55 S

Первый платеж был равен 0,2S, а последний был равен 36/55 S, значит, их разность равна

36/55 S - 0,2S = 500 (по условию S = 1100)

500 000р

1,2(1,2S – S₁) - S₁ = 0

Я познакомила вас только с некоторыми методическими приемами по решению экономических задач. На уроках математики я решаю простые экономические задачи, что помогает более эффективно на занятиях элективного курса решать задачи более сложного уровня. К сожалению за 15 минут невозможно поделиться всем тем, что я использую на своем элективном курсе.